彈性力學中的一個問題

不懂的太多xx · 發表于 2016-5-26 14:10:47

關于我自己糾結的點，我已經解決，證明過程放出來了。首先感謝云俠和零俠的回帖。特別感謝一下零俠。

云制造 · 發表于 2016-5-26 19:28:37

不懂的太多xx 發表于 2016-5-26 14:10
; [4 `4 r1 u B; x) Q# o關于我自己糾結的點，我已經解決，證明過程放出來了。首先感謝云俠和零俠的回帖。特別感謝一下零俠。

這個是沒有問題的，只不過相當于樓主繞了個彎，d''d'''其實就是環向位移，如果沒有環向位移，旋轉a'到a''，那d'就會到d''。所以繞了一圈，還是跟原來的物理過程是一樣的。跟單獨考慮徑向位移和環向位移再綜合是一樣的。

另外樓主要注意的是，嚴格意義上其實d'和d''不是在半徑為(r+u)的同一個圓弧上，d''是距離這個圓弧有一個小的增量，因為是dr和dθ都是無窮小量，可以認為d'和d''在同一個圓弧上。

這也是我那個數學方程推導過程的分母直接是rdθ，實際上嚴格意義上是點（r，θ）和點（r+dr，θ+dθ）的距離，是省去了高階小量。

其實我那個就是純數學推導，只是在最后求偏導數時用圖作了說明，（針對僅徑向位移）。

另外我為什么強調單個點的位移意義不大，是因為存在剛體位移或者其他位移情況下，即使有位移，也沒有變形，（或者大位移，小變形），所以我強調兩點變形前后位移差。（就像這個極坐標下，所有點繞著軸線旋轉，有位移，無應變）。

另外這些方程都是針對小變形，10的負幾次方的量級。對于大變形，比如橡膠之類物質，就不是這樣的方程。

不懂的太多xx · 發表于 2016-5-26 20:08:02

云制造發表于 2016-5-26 19:28
# W( k% V- E0 |! U這個是沒有問題的，只不過相當于樓主繞了個彎，d''d'''其實就是環向位移，如果沒有環向位移，旋轉a'到a'' ...

我一直也說，理解這個借助物理模型和不借助都得一樣，而我一直只想從應變的最基本定義來推倒，過程中我旋轉只是借助一種數學方式來計算這個。
大俠有一點錯誤，并不是（r，sita）和(r+dr, Sita+d Sita)的距離，而是和（r，sita+d sita），dr和dsita是定義這個微單元的微小量。
四個點，變形前坐標是（r，sita），（r，sita+dsita），（r+dr，sita），（r+dr，sita+dsita）
變形后（r+u，sita+a），（r+u+X，sita+a+b），（r+u+dr，sita+a），（r+u+dr+X，sita+a+b），其中X是u對sita的偏導數乘以dsita，a是點a轉過的角度，b是變形后dsita的增加的角度，嚴格來說前后角度也是不一樣的。而這也是建立在忽略ab邊的剪切角，這個是因為v對r的偏導數乘以dr產生的，之所以忽略是因為這些都是高階微量。其實同樣的，滿復雜的我也已經證明，只不過圖太亂，不好看清。

不懂的太多xx · 發表于 2016-5-26 20:20:28

本帖最后由不懂的太多xx 于 2016-5-26 20:39 編輯

云制造發表于 2016-5-26 19:28
6 q- i) U, h# F( H1 ^8 `這個是沒有問題的，只不過相當于樓主繞了個彎，d''d'''其實就是環向位移，如果沒有環向位移，旋轉a'到a'' ...

大俠用v（r+dr，sita+dsita）-v（r，sita）表示ad線段的伸長量有點突兀。從你的第一個公式來看，你是想求應變，分母是rdsita，但是分子確實c點環向位移減去a點環向位移，分子表示的還是ad線段的伸長量，兩個點還不在微單元的任何一個邊上，這個得需要證明。
大俠v對sita的偏導數求解沒有任何問題。
關于這個理解，我想問大俠一個問題，對于在笛卡爾坐標系下的長方體微單元和極坐標下的微單元，關于應變的算法和表示的意義。在笛卡爾下，左右兩邊線段的伸長都可以表示y向應變；在極坐標下用ad線段應變代表環向應變，有沒有想過用bc線段應變代表環向應變，兩者是否相同，有沒有算過？為什么書中用ad線段表示，而不用bc線段表示？

云制造 · 發表于 2016-5-27 09:04:06

不懂的太多xx 發表于 2016-5-26 20:08
0 n. x, _5 f) \7 D我一直也說，理解這個借助物理模型和不借助都得一樣，而我一直只想從應變的最基本定義來推倒，過程中我旋 ...

不是 4個點，我推導過程就是在（r，θ）點附件取一個點，這個點就用（r+dr，θ+dθ）表示，就像y=f（x），求它的導數就是x=x0附件取一個點，這個點的位置是x0+Δx，增量是Δy。所以我的那個式子表示，（r，θ）和（r+dr，θ+dθ）之間v的增量Δv，除以原始的兩點之間的長度rdθ（忽略高階小量）。

另外你問的，ad和bc，其實就是偽命題。你自己推導的過程切應變用的ad線段，而不是是取微元體，其實ad可以任意取，ad也可以取在bc的位置。另外要有這個概念，這個時候的ad和bc其實是非常近的，只不過畫圖作為說明，把距離劃的很大，好像兩處的應變不一樣。應變是有連續性的，不會在一點的左側和右側有突變，bc是無限接近ad，（微元體到底有多微？要有極限的場景理解），其實既然是取微元體，就可以認為在微元體內的量是常量（或者可以認為取的微元體的平均量），如果還認為比如長方形微元體的正應變沿著斜邊不是常量，就沒必要。即使有細微的變化，也是高階小量。所以你說的ad和bc的區別就是偽命題。

不懂的太多xx · 發表于 2016-5-27 11:21:18

云制造發表于 2016-5-27 09:04% R2 }; k; n& [/ b
不是 4個點，我推導過程就是在（r，θ）點附件取一個點，這個點就用（r+dr，θ+dθ）表示，就像y=f（x） ...

首先，應變都是針對單元體來的，單元體的某個方向的應變（比如y向），則是用線段的伸長量除以原始長度得來的，這是最初的應變定義。我一直說從應變的基礎定義來證明計算。就是先切的微元體，然后求的微元體的某條邊的伸長量。
彈性力學，計算應力和應變都會說取一個微單元，之后計算該微單元的某向線段兩點的位移，計算應變。大俠取的（r+dr，θ+dθ）和（r，θ）兩點，數學角度的基本定義咱沒必要說，大俠用的是全微分和斜率。就說從力學角度，這兩個點表示的是哪個微單元中的哪個線段？我的意思是這個要弄清楚，先確定一個用來表示線段的數學模型。ε=δ/L，這是力學中的計算應變的最基本模型，大俠當中的δ是哪一個？L是哪一個？從這個模型配對來類推，大俠的δ是v（r+dr，θ+dθ）-v（r，θ），L是rdθ。
位移函數是原始坐標的函數，v（r+dr，θ+dθ）是（r+dr，θ+dθ）處的位移，v（r，θ）是（r，θ）處的位移。若想用ε=δ/L這個模型，對a點取的這個微單元來說，徑向應變只能用ab線段，切向應變只能用ad線段。而大俠的v（r+dr，θ+dθ）-v（r，θ）表示的又是哪一個？
大俠用的全微分，表示的是在a點切向位移v對r和θ的全微分（也就是v的增量），而只是針對v這個二元函數，該點的微增量；這一步是單純從v函數來求解的。而后面除以的rdθ又是從極坐標中的兩點計算來的，先不管別的（這個別的我后面），順著你的思路，兩點之間的長度是多少？是(rdθ)2+(dr)2在開方。這個存在質疑。
現在說那個‘別的’，證明應該有兩種：1、純數學證明，完全用v函數來證明；2、在極坐標中，用線段的伸長量來證明。大俠這個證明，v的增量用的是v函數的全微分，前面的思路是用函數來求該點的增量，后面又轉到兩點之間線段的長度（極坐標）下，我覺得這樣不嚴謹。大俠既然想用函數證明，就應該徹底的用該點的函數證明，先增量，后在一個三維坐標系中描述出該點的位置，計算微段斜率，利用斜率來計算應變。
再就是ab和bc的問題，微積分這門數學的基本思路，相信大家都知道，咱們暫時不討論這個。力學取微單元的基本假設：單元內部的應力和應變都是均勻分布的，這個相信大家也都知道。就說在極坐標中的微單元，不管多微小，在計算過程中ad和bc就是不一樣，因為自變量是θ角度。而兩個長度不一樣，在用兩個線段算應變的時候就是不一樣。
理論上應變是連續的，從推出來的應變公式表象上看，取ab邊和取bc是不同的，但最終求的是a這個質點處的單元體的應變，所以最終應該是相同的。我提這個問題，只是想說應該從線段伸長量來證明（就是應變的基礎定義）。

不懂的太多xx · 發表于 2016-5-27 11:33:48

云制造發表于 2016-5-27 09:04
% z8 ?' R# K5 I7 o) f' c4 t不是 4個點，我推導過程就是在（r，θ）點附件取一個點，這個點就用（r+dr，θ+dθ）表示，就像y=f（x） ...

與大俠討論挺好，大俠還可以對兩個問題說說自己得看法。
1、力學中，單元體的每個對稱的正應力和切應力是相等的；在推倒靜力平衡方程時，具有相同法線的兩個面的正應力和切應力則不相等。兩者都是取的某點處的微單元，大俠可否說說自己對這兩者的看法以及這兩者應該用在什么地方？
2、大俠看下面截圖中，三角棱形體的體力可以忽略，而長方體的體力不可忽略，這又是為何？
大俠發表一下自己的認識。

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