彈性力學中的一個問題

不懂的太多xx

這兩天重溫彈性力學，又把之前沒解決的問題給想起來了，連著三四天自己沒法給出解釋，陷進黑洞自己出不來了，睡覺都不香了，現在求大俠抽醒。
極坐標下的應變問題，
圖中的這個環向的應變，大俠們肯定都知道。現在就是前面"v/r”這部分應變問題。照本宣科，照書的方式理解沒有問題。
但就我自己想，想出問題來了。位移函數v是r和θ的函數，a點的環向位移v（a）=v(r,θ)，d點的環向位移v（d）=v（r，θ+dθ），dv按第二個圖。
, {6 J- K. w# o- ]& l0 A# Z7 Z8 n/ D
這建立在位移函數的r和θ的兩個變量是沒有變形前的坐標，在沒有變形前a的坐標就是(r,θ)，d點的坐標就是（r，θ+dθ），兩點的變化只有dθ的變化。

9 d) Y7 d# q% I4 |+ o& J7 E; L難道是我認識出錯誤了，位移函數是變形后的坐標？既如此，dv應該是第三個圖。
, y( x5 g  x0 w- s
! ?  R  a# E+ ?; t9 G也是沒有v/r項。
# C/ y7 l, [# d/ [5 }
$ f. i. D# W) W: }+ l照書中理解，這個環向位移是坐標點v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）倆點引起的弧長差，這兩個坐標一個是變形前的圓盤a的坐標，一個是變形后的圓盤d點的坐標。
, e7 a/ E: B2 A/ W
矛盾點是，單從函數v(r,θ)上說，無論r和θ表示的是變形前圓盤定的坐標，還是變形后圓盤定的坐標，dv都沒有v/r，除非一個是變形后的坐標一個是變形前的坐標。求大俠把我從牛角尖里拉出來。

4 P1 L. L3 P& ]
補充內容 (2016-5-24 09:00):
發帖，錯把u/r打成v/r。

補充內容 (2016-5-27 12:31):
糾結已經解決

云制造

照書中理解，這個環向位移是坐標點v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）倆點引起的弧長差，這兩個坐標一個是變形前的圓盤a的坐標，一個是變形后的圓盤d點的坐標。

* d$ O3 X0 I* s7 h你這個就理解錯誤了，沒弄懂書中意思。環向位移是v(r,θ)和v(r,θ＋dθ)兩點變形后的弧長差。

& M, z: {% ^$ V# z" J7 x位移函數是變形后的坐標？這個你也理解錯了，位移函數描述的是變形的大小，跟變形后的坐標沒有關系，要有關系也是一個點變形后的坐標是原始坐標加上位移函數的值
/ m' M* [1 X5 H% u- O+ W! g

云制造

兩點的長度變化是dv，原始長度是rdθ，所以只有環向位移引起的應變為dv/rdθ，不知道樓主糾結的v/r，在哪里出現？

云制造

如果是圖上的v/r，這只是表示一個點的切向角度變化。跟切向應變不是一回事。因為rdθ=v

云制造

v/r只是表示每一個點的角度位移，就是說，每個點移動了多少度。v=2πr，說明一個點旋轉了一周，樓主說過的 v/r”這部分應變問題，理解就錯了，這不是應變。跟徑向應變一樣，要求的是兩點變形前后的長度差，而不是一個點的位移，如果兩個點同時位移為du，應變就是0。不要將位移和應變混為一談。比如剛體位移，就沒有應變。

云制造

云制造 發表于 2016-5-24 08:46
9 M/ B% g* ?' [- M$ ^如果是圖上的v/r，這只是表示一個點的切向角度變化。跟切向應變不是一回事。因為rdθ=v

u/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u，則兩點都沿著原來不變的角度移動u，則r就變成了r+u，這個時候，兩點之間的弧長，不就是（r+u）dθ，而原來兩點之間的弧長是rdθ，所以應變是兩者之間的差值再除以rdθ，就是u/r
% k0 t5 x* L! J+ T5 A# {; a

云制造

樓主要用物理場景來理解，有物理場景，能更好的理解數學推導過程。這個極坐標應變應該是很好理解的。你說的u/r。就想象是一個固定頂角（dθ）的三角形，而三角形的底邊在向外移動的過程（就是u增大），是不是底邊會不斷拉長，應變不斷增大

云制造

底邊不斷拉長，應變不斷增大。就是切向應變不斷增大。三角形的底邊長就是切向的長

不懂的太多xx

云制造 發表于 2016-5-24 09:03
  T  ^* v) @2 F0 x" ~) n% hu/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u，則兩點都沿著原來不變的角度移動u，則r就變成了r+u，這個時候，兩點 ...

4 X1 x9 _) K3 t% Y' \0 y+ t, o4 n我知道按書理解可以理解，帖子中我也說明了，書中的理解方式清楚。
% s+ m& [$ m. m. a咱們換一個方式，環向位移V是關于r和θ的函數，r和θ是原始坐標（沒有加載荷的時候）。經過平衡條件、邊界條件、相容條件，我們可以把應力函數和位移函數都推導出來，關于r和θ的函數（注意，r和θ是原始坐標）。
假設環向位移函數V=v（r，θ），分別帶入d點和a點的坐標，那么d點處的環向位移Vd=v（r，θ+dθ），a點處的環向位移Va=v（r，θ）。那么弧長ad的增長量δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ），應變ε=δ/rdθ
7 H- f4 f) h$ d/ }, l6 X. L  N$ cδ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=（v對θ的偏導數）*dθ（帖子中打不出來偏導數符號，我就暫時用Χ表示該偏導數）=Χdθ
, N/ v; r# t  `( F; s& T( R/ F  ~那么總應變ε=Χ/r，其中并不包括u/r。
這是建立在r和θ原始坐標，假設位移函數V情況下，從偏導數定義推出來的。
. V/ K( P5 N1 c& p% h: v4 _6 q0 Q4 o因此，這個時候我就假設的把V看成是r和θ變形后的函數，這樣推出來也不對。（帖子中的第二步）
若想包括u/r這一項，單獨的從環向位移函數V的偏導數中我找不出來，我就試一下全微分，因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）兩點的弧長差的想法，但是這個一個是變形前的坐標參照，一個是變形后的，肯定不對。這就是我現在的矛盾點，腦子繞在這里出不來了。
不知道大俠看懂我的矛盾點了沒？
- A% @4 `6 b# L% B* x+ _

不懂的太多xx

云制造 發表于 2016-5-24 09:03
! W! _3 y% P4 D4 [u/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u，則兩點都沿著原來不變的角度移動u，則r就變成了r+u，這個時候，兩點 ...

0 ^3 {2 G8 v  A. E/ ]9 N3 c! x$ x, g再補充一下，我們知道一個函數V=v（r，θ），這個函數表示的是位移，現在求a點（r，θ）和d點（r，θ+dθ）兩點的位移，怎么求？帶進去，分別是v（r，θ）和v（r，θ+dθ）
那這兩點的函數之差（位移之差）怎么求？v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=Χdθ。。。。。Χ表示v對θ的偏導數
2 B9 F& }' r3 K& G0 C: p這個位移之差是什么？變形量δ。
5 D$ K& q& m$ N# j應變ε=δ/rdθ=Χ/r。不包含u/r項。

/ y, m+ s6 C. Z這是在已知函數V的情況下
% M+ p) H( o* p5 \0 _1 E
; A, ~: N. a5 F2 d! K3 Y0 m, m  N