彈性力學中的一個問題

zerowing

看你的思維很混亂的說。
  Q3 ?( z3 g/ | 分清什么是切應力什么是正應力。要明白分別由什么產生。徑向位移產生的弧長變化對應的是周向切應力。而周向位移對應的弧長變化對應的是周向正應力。以此類推。

不懂的太多xx

zerowing 發表于 2016-5-24 14:50
  h9 B  F; _$ w# S3 |1 x; _看你的思維很混亂的說。
4 N% t9 N" {0 B: x5 X; u; K 分清什么是切應力什么是正應力。要明白分別由什么產生。徑向位移產生的弧長變化 ...

零俠，位移是一個單元一個單元的應變疊加來的，就切出來的圓盤上的一個微小塊來說，徑向應變是由徑向正應力引起的，環向應變是由環向正應力引起的。我沒有覺得我的思維混亂，就是按照彈性理論推出來的總的環向應變，和假設位移函數V已經存在推出來的環向應變差u/r項。上樓大俠說的好，結合物理場景有助于理解數學模型，但同理在不參考物理模型，單純按數學模型推倒，兩者的最終結果應該一樣。現在，我的腦子中兩個結果就差一項。
零俠，給俺解釋一下最后一個圖中總應變“u/r”這部分，按書中的方式可以理解，為什么我按照9#和10#的方式理解就少了u/r這一部分？

云制造

不懂的太多xx 發表于 2016-5-24 09:28
我知道按書理解可以理解，帖子中我也說明了，書中的理解方式清楚。
: z. x$ h5 z4 G) x! G4 w咱們換一個方式，環向位移V是關于r和 ...

8 g4 R2 g5 J# b因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）兩點的弧長差的想法，但是這個一個是變形前的坐標參照，一個是變形后的，肯定不對。

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這個不是這樣的，都是變形前的坐標。是v(r,θ)和v（r+dr，θ+dθ）兩點弧長差，r是自變量，u是因變量，不要搞混淆了，所以不是v（r+u，θ+dθ）。u只是位移的大小，不是坐標值。
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zerowing

不懂的太多xx 發表于 2016-5-24 15:51
零俠，位移是一個單元一個單元的應變疊加來的，就切出來的圓盤上的一個微小塊來說，徑向應變是由徑向正應 ...

2 w* p* C2 U, d: m( x這樣回復你吧。
' x6 H+ }8 M: c" `# \1。V函數是周向位移，周向位移必然伴隨夾角的變化，以及由此產生的部分切應變。
2。U函數是徑向位移。徑向位移不產生夾角變化，即不產生V變化。在極坐標系中，徑向位移產生第二部分的切應變。
5 L8 q: b4 ~- ~- x( d4 X3。研究總切應變不可能只靠一個V函數解算。所以，我一直都搞不懂你為啥揪著個V不放，卻一直不理Ｕ函數。
; r" v3 q* Z$ u) g5 ?) B7 n所以，我始終沒有看到你說的矛盾點。你只考慮V影響，自然不會有u/r的相。
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zerowing

4 u. t* C1 K1 Y; g8 X5 H再回答你10樓的問題。
如果你10樓里的V函數是一個綜合函數，不是分量函數（不是單純的周向位移函數），如你寫的 V=v（r,θ)。那么最終位移之后的a,d坐標會是r? 一定是r+u。
0 j: j0 j( a# u, @+ d
$ ^1 {. D5 y; K, |而如果你的V函數是分量函數，比如周向函數，那么V=v（θ）。跟r是毫無關系的。你這么寫這個函數本身就有問題了。
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2 I0 {; f- Z- W這么說能否清楚？

不懂的太多xx

zerowing 發表于 2016-5-24 22:57
. d7 O9 b! [1 z這樣回復你吧。
1。V函數是周向位移，周向位移必然伴隨夾角的變化，以及由此產生的部分切應變。
2。U函 ...

零俠，感謝這么晚還回復我。
你和云俠說的意思是一樣的，跟書上的解說方式一模一樣，我都能看懂和理解。
; Y! M  o* q) A& W+ j! K首先是你假設的v只與sita角相關，與r不相關，用v（r，sita）表示有問題。我覺得沒問題，v（r，sita）包含v（sita），若一種方法能夠處理前者，那么必然能夠處理后者。
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云制造

云制造 發表于 2016-5-24 17:12
( h3 D: [* A! b; c因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）兩點的弧長差的想法，但是這個一個是變形前的坐標參照，一個是變形 ...

3 Y$ x: {+ ]% [' I0 O2 y; z假設環向位移函數V=v（r，θ），分別帶入d點和a點的坐標，那么d點處的環向位移Vd=v（r，θ+dθ），a點處的環向位移Va=v（r，θ）。那么弧長ad的增長量δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ），應變ε=δ/rdθ
' K+ {. F4 D9 u+ Hδ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=（v對θ的偏導數）*dθ（帖子中打不出來偏導數符號，我就暫時用Χ表示該偏導數）=Χdθ
' Y# p) Q+ J( G5 h那么總應變ε=Χ/r，其中并不包括u/r。
, j1 z4 B8 @! W, V- f0 B  l$ }
樓主這個求的就不是總應變，你這個首先就嘉定了r是常量，而不是變量，這只是切向位移引起的應變。就好像是a和d點沿著半徑為r 的圓弧移動（切向位移），實際的運動還包含徑向位移（引起應變u/r）。樓主要有自變量和因變量思維。r和θ都是自變量，u和v是因變量。不要將u和搞混，如果你學過流體力學就更有物理場景的理解，所以原始坐標，就是做標記用的。流體中有些粒子就是自由遷移的，固體中的粒子還好，變形前后都是挨著在一起，移動到某一個點就是變形前某一個粒子的初始點，這是重疊的，不要搞混。關鍵是要變形前后，兩個相同粒子之間的位移差，而不是同一個粒子變形前后的位移差。樓主的r+u就是同一個粒子從r移動了u。我暫且認為樓主是這樣搞混的
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云制造

數學推導過程

云制造

云制造 發表于 2016-5-25 08:56
數學推導過程

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云制造

云制造 發表于 2016-5-25 09:00

v(r,sita)是a點的環向位移，r dsita 是ad段的原始弧長，討論的不是相等，二是兩者之間的差相等，看來樓主還是沒有明白。兩個點變形后的位移差，就是等于兩個點變形后的長度，減去變形前的長度，變形前dθ很小，a，d之間的環向距離就是rdθ，樓主應該清楚推導過程的dr和dθ都是無窮小量。甚至一些高階小量都會省去，比如（r+dr）dθ，這個時候rdθ比drdθ高一階，drdθ就可以忽略。這些樓主應該清楚，我也沒有特意強調。

我覺得我這個講的很清楚了，包括前面的帖子也強調了。關鍵是兩個點變形前后的位移差。單個點的v是沒有意義的，二是兩個點v的差，而兩個點v的差。v（r，θ）是不等于rdθ，v（r+dr，θ）也不等于（r+u）dθ，而是v（r+dr，θ）和v（r，θ）的差，是等于（r+u）dθ與rdθ的差。推導偏導數的過程也是強調這個時候θ是常量，旁邊也畫了個圖，做說明

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樓主自己再多思考思考，腦子里要有物理場景，也要知道這個時候的dr和dθ都是非常小的。這個本來就是基本的公式，我覺得我已經講的比較清楚了。書中是從僅徑向和僅環向兩者單獨推導再綜合的，這個是為了簡單明了，而位移是可以分解的，可以認為變形是先徑向移動，再環向移動。跟路徑無關，但最終的變形是一樣的。而將徑向位移和環向位移同時考慮進來，畫圖出來就不直白。
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