彈性力學中的一個問題

不懂的太多xx

這兩天重溫彈性力學，又把之前沒解決的問題給想起來了，連著三四天自己沒法給出解釋，陷進黑洞自己出不來了，睡覺都不香了，現在求大俠抽醒。
極坐標下的應變問題，
圖中的這個環向的應變，大俠們肯定都知道。現在就是前面"v/r”這部分應變問題。照本宣科，照書的方式理解沒有問題。
但就我自己想，想出問題來了。位移函數v是r和θ的函數，a點的環向位移v（a）=v(r,θ)，d點的環向位移v（d）=v（r，θ+dθ），dv按第二個圖。

) M+ j0 U; \4 y! w0 ]這建立在位移函數的r和θ的兩個變量是沒有變形前的坐標，在沒有變形前a的坐標就是(r,θ)，d點的坐標就是（r，θ+dθ），兩點的變化只有dθ的變化。
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) H) l( ?5 z9 O- ^# j/ n難道是我認識出錯誤了，位移函數是變形后的坐標？既如此，dv應該是第三個圖。
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也是沒有v/r項。
: r. H! i: U2 x' N7 |
照書中理解，這個環向位移是坐標點v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）倆點引起的弧長差，這兩個坐標一個是變形前的圓盤a的坐標，一個是變形后的圓盤d點的坐標。

矛盾點是，單從函數v(r,θ)上說，無論r和θ表示的是變形前圓盤定的坐標，還是變形后圓盤定的坐標，dv都沒有v/r，除非一個是變形后的坐標一個是變形前的坐標。求大俠把我從牛角尖里拉出來。


. m/ x( f& `: J: O補充內容 (2016-5-24 09:00):
( U; `6 J" G% L; B3 u( A( s' S2 n發帖，錯把u/r打成v/r。
" \0 n/ V/ U8 g$ a
" q4 Y4 Z0 b% i/ }2 }. ~補充內容 (2016-5-27 12:31):
" c% e) \7 b3 i8 N( H8 q" ]糾結已經解決

云制造

照書中理解，這個環向位移是坐標點v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）倆點引起的弧長差，這兩個坐標一個是變形前的圓盤a的坐標，一個是變形后的圓盤d點的坐標。
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你這個就理解錯誤了，沒弄懂書中意思。環向位移是v(r,θ)和v(r,θ＋dθ)兩點變形后的弧長差。

位移函數是變形后的坐標？這個你也理解錯了，位移函數描述的是變形的大小，跟變形后的坐標沒有關系，要有關系也是一個點變形后的坐標是原始坐標加上位移函數的值
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云制造

兩點的長度變化是dv，原始長度是rdθ，所以只有環向位移引起的應變為dv/rdθ，不知道樓主糾結的v/r，在哪里出現？

云制造

如果是圖上的v/r，這只是表示一個點的切向角度變化。跟切向應變不是一回事。因為rdθ=v

云制造

v/r只是表示每一個點的角度位移，就是說，每個點移動了多少度。v=2πr，說明一個點旋轉了一周，樓主說過的 v/r”這部分應變問題，理解就錯了，這不是應變。跟徑向應變一樣，要求的是兩點變形前后的長度差，而不是一個點的位移，如果兩個點同時位移為du，應變就是0。不要將位移和應變混為一談。比如剛體位移，就沒有應變。

云制造

云制造 發表于 2016-5-24 08:46
如果是圖上的v/r，這只是表示一個點的切向角度變化。跟切向應變不是一回事。因為rdθ=v

u/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u，則兩點都沿著原來不變的角度移動u，則r就變成了r+u，這個時候，兩點之間的弧長，不就是（r+u）dθ，而原來兩點之間的弧長是rdθ，所以應變是兩者之間的差值再除以rdθ，就是u/r

云制造

樓主要用物理場景來理解，有物理場景，能更好的理解數學推導過程。這個極坐標應變應該是很好理解的。你說的u/r。就想象是一個固定頂角（dθ）的三角形，而三角形的底邊在向外移動的過程（就是u增大），是不是底邊會不斷拉長，應變不斷增大

云制造

底邊不斷拉長，應變不斷增大。就是切向應變不斷增大。三角形的底邊長就是切向的長

不懂的太多xx

云制造 發表于 2016-5-24 09:03
u/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u，則兩點都沿著原來不變的角度移動u，則r就變成了r+u，這個時候，兩點 ...

! o! w/ M8 n, i0 p我知道按書理解可以理解，帖子中我也說明了，書中的理解方式清楚。
5 o8 c, u2 }( L! K  B3 X" U  e咱們換一個方式，環向位移V是關于r和θ的函數，r和θ是原始坐標（沒有加載荷的時候）。經過平衡條件、邊界條件、相容條件，我們可以把應力函數和位移函數都推導出來，關于r和θ的函數（注意，r和θ是原始坐標）。
假設環向位移函數V=v（r，θ），分別帶入d點和a點的坐標，那么d點處的環向位移Vd=v（r，θ+dθ），a點處的環向位移Va=v（r，θ）。那么弧長ad的增長量δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ），應變ε=δ/rdθ
3 ?, U' w% j; i) |7 ]) \2 ~δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=（v對θ的偏導數）*dθ（帖子中打不出來偏導數符號，我就暫時用Χ表示該偏導數）=Χdθ
那么總應變ε=Χ/r，其中并不包括u/r。
這是建立在r和θ原始坐標，假設位移函數V情況下，從偏導數定義推出來的。
! G" ?- I# L: X因此，這個時候我就假設的把V看成是r和θ變形后的函數，這樣推出來也不對。（帖子中的第二步）
% W) d$ i$ u* J, C. m若想包括u/r這一項，單獨的從環向位移函數V的偏導數中我找不出來，我就試一下全微分，因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）兩點的弧長差的想法，但是這個一個是變形前的坐標參照，一個是變形后的，肯定不對。這就是我現在的矛盾點，腦子繞在這里出不來了。
5 ~0 c& `; t1 y# A# @不知道大俠看懂我的矛盾點了沒？

不懂的太多xx

云制造 發表于 2016-5-24 09:03
) k" Y) K5 q, u. T5 J( tu/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u，則兩點都沿著原來不變的角度移動u，則r就變成了r+u，這個時候，兩點 ...

再補充一下，我們知道一個函數V=v（r，θ），這個函數表示的是位移，現在求a點（r，θ）和d點（r，θ+dθ）兩點的位移，怎么求？帶進去，分別是v（r，θ）和v（r，θ+dθ）
" U! h% V. ^2 p7 m那這兩點的函數之差（位移之差）怎么求？v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=Χdθ。。。。。Χ表示v對θ的偏導數
這個位移之差是什么？變形量δ。
4 t0 X5 ]+ h- _' Q應變ε=δ/rdθ=Χ/r。不包含u/r項。

這是在已知函數V的情況下