如果不是數(shù)學(xué)狂熱分子，建議你別搞測(cè)度論

crazypeanut

（一）關(guān)于無(wú)窮

當(dāng)我們使用“無(wú)窮”這個(gè)詞的時(shí)候，我們必須時(shí)刻謹(jǐn)記，這個(gè)詞有兩種截然不同的意義——不，我這里說(shuō)的不是亞里士多德關(guān)于實(shí)無(wú)窮和潛無(wú)窮的那些繞口令，而是某些重要得多的本質(zhì)問(wèn)題，對(duì)他們的清晰闡釋開(kāi)始于偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家康托Georg Cantor (1845-1918)：當(dāng)我們說(shuō)一個(gè)集合有無(wú)窮多個(gè)元素的時(shí)候，我們必須指明這里的無(wú)窮是哪一種，是“可數(shù)無(wú)窮”還是“不可數(shù)無(wú)窮”。雖然都是無(wú)窮集合，但是它們會(huì)體現(xiàn)出截然不同的性質(zhì)。

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為了說(shuō)明這一問(wèn)題，我們引進(jìn)集合的“勢(shì)（cardinality）”的概念。簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，勢(shì)就是集合的元素的個(gè)數(shù)。一個(gè)集合有三個(gè)元素，我們就稱其勢(shì)為3。兩個(gè)集合如果元素個(gè)數(shù)相等，我們就稱它們?yōu)榈葎?shì)的。——很顯然，要判斷兩個(gè)集合是不是等勢(shì)，只需要看這兩個(gè)集合之間能不能建立起元素的一一對(duì)應(yīng)即可，如果可以的話，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合的元素是一樣多的。

到這里為止都顯得很簡(jiǎn)單。可是最有趣的部分馬上就要出現(xiàn)了：康托指出，不但對(duì)于有限個(gè)元素的集合我們可以討論它們的勢(shì)，對(duì)于無(wú)窮個(gè)元素的集合，我們同樣可以討論它們之間是否等勢(shì)。換句話說(shuō)，我們可以討論兩個(gè)無(wú)窮集合的元素是不是一樣多！

之所以如此，是因?yàn)榧现g的“一一對(duì)應(yīng)”本質(zhì)上只是個(gè)數(shù)學(xué)概念，是可以被精確研究的對(duì)象（請(qǐng)回憶高中數(shù)學(xué)課本關(guān)于映射的那一章）。從而，隨便拿兩個(gè)集合來(lái)，它們之間是否能建立一一對(duì)應(yīng)只是數(shù)學(xué)上的問(wèn)題而已。

以下是一些最基本也是最著名的例子和命題，請(qǐng)盡量耐心的閱讀。所有這些陳述都是可以基于最簡(jiǎn)單的形式邏輯給出嚴(yán)格證明的，證明可以在參考文獻(xiàn)[1]上查到：

• 每一個(gè)集合都和它自身等勢(shì)。
  

  注：廢話。

• 全體正整數(shù)的集合和全體正偶數(shù)的集合等勢(shì)。
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  注：這是第一個(gè)有趣然而迷惑人的結(jié)果。我們等于是在說(shuō)：一個(gè)集合可以和它的一部分一樣多！——但是這并不是一個(gè)悖論。我們通常覺(jué)得一個(gè)集合不能和它的一部分一樣多只是針對(duì)有限集合而言的，本來(lái)就沒(méi)人說(shuō)過(guò)無(wú)限集合不能和它的一部分一樣多，只是有時(shí)候大家會(huì)不自覺(jué)地有這個(gè)誤解而已。

• 全體正整數(shù)的集合和全體有理數(shù)的集合等勢(shì)。（什么是有理數(shù)來(lái)著？查書去！）
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  注：這是在數(shù)學(xué)上很重要的一個(gè)例子，說(shuō)明一個(gè)實(shí)數(shù)中的稠密集可以和一個(gè)離散集等勢(shì)，不過(guò)大家看到這里大概已經(jīng)開(kāi)始打瞌睡了……跳過(guò)這個(gè)例子！

• 全體正整數(shù)的集合和全體實(shí)數(shù)的集合不等勢(shì)。
  

  注：睜大眼睛，迄今為止最重要的一句話出現(xiàn)了！你永遠(yuǎn)不可能在全體正整數(shù)的集合和全體實(shí)數(shù)的集合之間建立起一一對(duì)應(yīng)來(lái)。對(duì)這個(gè)陳述的證明是數(shù)學(xué)上最有趣也最迷人的證明之一，可惜的是篇幅所限我不能在這里證明給大家看。那么只討論結(jié)論好了：并不是所有的無(wú)窮集合都是等勢(shì)的，有一些無(wú)窮集合比另一些無(wú)窮集合的元素更多，換句話說(shuō)，無(wú)窮之間也是有大小的。

• 任給一個(gè)無(wú)窮集合，我們都能夠造出一個(gè)集合包含它，而且和它不等勢(shì)。
  

  注：換句話說(shuō)，無(wú)窮和無(wú)窮相比，沒(méi)有最大，只有更大。——但是請(qǐng)注意，雖然我們能夠造出越來(lái)越大的無(wú)窮集合，但是我們并不真正對(duì)那些太大的無(wú)窮感興趣，因?yàn)楹瓦@個(gè)世界沒(méi)什么關(guān)系。

• 如果兩個(gè)集合都和第三個(gè)集合等勢(shì)，那么它們彼此也等勢(shì)。
  

  注：好像也是廢話，但是它引出了下面的重要陳述。

• 有很多集合都和全體正整數(shù)的集合等勢(shì)，從而它們彼此也等勢(shì)，我們稱所有這樣的集合為“可數(shù)無(wú)窮的（countably infinite）”。有很多無(wú)窮集合比全體正整數(shù)的集合的勢(shì)更大，我們稱所有這樣的集合為不可數(shù)無(wú)窮的（uncountably infinite）。但是，不存在無(wú)窮集合的勢(shì)比全體正整數(shù)的集合的勢(shì)更小。
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  注：我們待會(huì)兒再來(lái)討論為什么起這么兩個(gè)名字。前面的例子告訴我們，全體正偶數(shù)的集合是可數(shù)無(wú)窮的，全體有理數(shù)的集合是可數(shù)無(wú)窮的，但是全體實(shí)數(shù)的集合是不可數(shù)無(wú)窮的。

• 在不可數(shù)無(wú)窮集合中間，有些集合是和全體實(shí)數(shù)的集合等勢(shì)的，這些集合被稱為“連續(xù)統(tǒng)（continuum）”
  

  注：好了，現(xiàn)在我們對(duì)全體無(wú)窮集合建立了一個(gè)簡(jiǎn)單的分類。最小的一類稱為可數(shù)無(wú)窮集。剩下的都叫不可數(shù)無(wú)窮集。不可數(shù)無(wú)窮集里面又有特殊的一類叫作連續(xù)統(tǒng)，剩下當(dāng)然還有一些非連續(xù)統(tǒng)的不可數(shù)無(wú)窮集，但是它們幾乎和真實(shí)世界沒(méi)有任何關(guān)系，所以忽略之。（有人不愿意忽略它們，非要去研究里面的一些麻煩的問(wèn)題，于是產(chǎn)生了數(shù)學(xué)中間最讓人頭暈的一部分結(jié)論，比如什么哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碇悺@個(gè)定理偏偏還特別著名，很多人都問(wèn)過(guò)我它究竟說(shuō)的是啥。相信我，你不可能弄明白的。）

• 也就是說(shuō)，我們真正關(guān)心的是兩類特殊的無(wú)窮集合，一類稱為可數(shù)無(wú)窮集，一類稱為連續(xù)統(tǒng)。所有的可數(shù)無(wú)窮集彼此等勢(shì)，所有的連續(xù)統(tǒng)彼此等勢(shì)，但是任何可數(shù)無(wú)窮集和連續(xù)統(tǒng)之間不等勢(shì)，后者總是更大一些……真繞嘴阿。

  下面是一些可數(shù)無(wú)窮集和連續(xù)統(tǒng)的例子：

  可數(shù)無(wú)窮集：

  自然數(shù)集，整數(shù)集，有理數(shù)集。（基本上，如果你在平面上或者直線上隨手點(diǎn)無(wú)窮個(gè)點(diǎn)，并且這些點(diǎn)彼此都不挨著，那么它們的總數(shù)就是可數(shù)無(wú)窮的。但是也存在一些不這么簡(jiǎn)單的可數(shù)無(wú)窮集。）

  連續(xù)統(tǒng)：

  實(shí)數(shù)集，直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)，平面上點(diǎn)的個(gè)數(shù)，一個(gè)正方形里點(diǎn)的個(gè)數(shù)，或者簡(jiǎn)而言之，一切幾何對(duì)象里的點(diǎn)的個(gè)數(shù)都是連續(xù)統(tǒng)。（這里一個(gè)常常被人提到的推論就是直線上的點(diǎn)和平面上的點(diǎn)一樣多，——都是連續(xù)統(tǒng)那么多。其實(shí)證明很簡(jiǎn)單，但是一言難盡，請(qǐng)查書去。）

  好了，現(xiàn)在我們可以討論這兩個(gè)名字是怎么來(lái)的了。請(qǐng)注意，所有的可數(shù)無(wú)窮集都是可以和正整數(shù)建立起一一對(duì)應(yīng)的，這是什么意思呢？這意味著，我們可以把一個(gè)可數(shù)無(wú)窮集中的每個(gè)元素都對(duì)應(yīng)到一個(gè)正整數(shù)，這相當(dāng)于給他們編了號(hào)碼，從而我們可以去數(shù)它們（這就是可數(shù)這個(gè)詞的來(lái)歷）。也就是說(shuō)，我們可以按照1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)這么一直數(shù)下去，雖然總數(shù)是無(wú)窮的，但是只要我們?cè)诶碚撋弦恢睌?shù)完所有的自然數(shù)，我們就能真正數(shù)遍這個(gè)集合的所有元素（至少在想像里是這樣）。

  而連續(xù)統(tǒng)集合卻不是這樣。一個(gè)直線上的點(diǎn)是連續(xù)統(tǒng)，這就是說(shuō)，無(wú)論怎么巧妙的給這些點(diǎn)編號(hào)，我們都是不可能給所有的點(diǎn)都編上號(hào)碼然后一個(gè)一個(gè)的數(shù)下去把它們都數(shù)完的。它們是“不可數(shù)”的。

  有人會(huì)說(shuō)，這不是自欺欺人么？反正都是無(wú)窮個(gè)，反正事實(shí)上總也不可能數(shù)得完，那么在理論上區(qū)分“想像中數(shù)得完”和“想像中也數(shù)不完”有什么實(shí)際意義呢？

  有的。正是這一點(diǎn)微妙的差別，使得有些事情我們能夠?qū)蓴?shù)集去做卻不能對(duì)連續(xù)統(tǒng)集合去做，也正是這一點(diǎn)差別，促成了從沒(méi)有大小的點(diǎn)到有大小的直線和平面之間的巨大的飛躍。

  
  

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（二）測(cè)度的建立

讓我們暫時(shí)放下關(guān)于無(wú)窮的那些討論，回到主題：我們通常所說(shuō)的長(zhǎng)度面積體積這些詞，究竟是什么意思？

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為了更清楚的闡明這個(gè)主題，讓我們把目光只集中在最簡(jiǎn)單的一維情形，也就是說(shuō)，我們只考慮“長(zhǎng)度” 這個(gè)詞。我們希望，取出直線上的一部分，就有一個(gè)“長(zhǎng)度” 存在。如果能做到這一點(diǎn)，那么類似的，面積和體積之類的高維詞匯也可以類似的得以理解。

我們把目前要回答的問(wèn)題列在下面：

• 什么是長(zhǎng)度？
• 是不是直線上任何一部分都可以有長(zhǎng)度？
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  直線上的一個(gè)線段當(dāng)然應(yīng)該有長(zhǎng)度，直線上的兩段分離的線段也有總長(zhǎng)度，單點(diǎn)有沒(méi)有長(zhǎng)度呢？隨便從直線上挖出一些點(diǎn)來(lái)得到的也許是虛虛實(shí)實(shí)的一個(gè)“虛線段”有沒(méi)有長(zhǎng)度？是不是我們從直線上任意取出一個(gè)子集合(線段啦單點(diǎn)啦都可以看成是直線的特殊的子集合)，都可以定義它的長(zhǎng)度？——這件事無(wú)論在數(shù)學(xué)上還是應(yīng)用上都是重要的，如果能夠給直線的任何子集定義長(zhǎng)度，那就太方便了。

• 如果上面這件事是可以的話，那么隨便給一個(gè)直線上的點(diǎn)集，長(zhǎng)度怎么計(jì)算？
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等等等等。

事實(shí)上，在數(shù)學(xué)中這些問(wèn)題都能夠得到解答，但是首先讓我們把上面問(wèn)題里的“長(zhǎng)度” 這個(gè)詞都換成更準(zhǔn)確的一個(gè)術(shù)語(yǔ)：測(cè)度(measure)。之所以要采用這么一個(gè)新造的詞，首先是因?yàn)椤伴L(zhǎng)度”有時(shí)候有局限性。一個(gè)線段的長(zhǎng)度好理解，一個(gè)復(fù)雜的點(diǎn)集，說(shuō)長(zhǎng)度就會(huì)顯得很奇怪；不僅如此，在二維情形下我們還要研究面積，三維還要研究體積，四維還要研究不知道什么積……為了省去發(fā)明一個(gè)又一個(gè)新詞的苦惱，我們把這些東西統(tǒng)一叫做二維測(cè)度，三維測(cè)度……一了百了。

好吧，那么，我們來(lái)定義(一維)測(cè)度。

——不，不要誤會(huì)，我并不是要在此刻寫出一大段難懂的話，告訴大家“測(cè)度就是什么什么什么什么。” 或者更謙遜一點(diǎn)，說(shuō)“我認(rèn)為，測(cè)度就是什么什么什么什么。” ——也許這是一般人看來(lái)自然不過(guò)的工作方式，但不是數(shù)學(xué)家的。

這是因?yàn)椋覀儸F(xiàn)在要定義的是某種特別基礎(chǔ)的概念。也許在定義某些很復(fù)雜的高層概念的時(shí)候這種方式很自然，可是概念越基礎(chǔ)，這種方式帶來(lái)的問(wèn)題就越大。關(guān)于測(cè)度這種層次的概念幾乎必然伴隨著用語(yǔ)言難于精確描述的種種晦澀的思考，一旦一個(gè)人試圖把他對(duì)這個(gè)詞的理解宣諸筆墨，那么無(wú)論他多么小心翼翼的整理他的陳述，在別人看起來(lái)他的定義都必然漏洞百出，有無(wú)數(shù)可以商榷的地方。——而因?yàn)檫@個(gè)概念在整個(gè)邏輯體系中的位置過(guò)于基礎(chǔ)，任何商榷又都必然說(shuō)起來(lái)云山霧罩，像哲學(xué)家們通常進(jìn)行的關(guān)于基礎(chǔ)概念的爭(zhēng)論一樣令人頭昏腦脹。如果數(shù)學(xué)家們要開(kāi)會(huì)用這種方法給出測(cè)度的定義，那一百個(gè)數(shù)學(xué)家一定會(huì)提出一百零一種定義來(lái)，最終的結(jié)果是什么有效的結(jié)論也得不到。

數(shù)學(xué)家們采用的是完全不同的方式：我們先不要貿(mào)然去說(shuō)“什么是測(cè)度”，而是先問(wèn)問(wèn)自己，當(dāng)我們想發(fā)明一個(gè)新的定義的時(shí)候，我們?cè)谶@個(gè)定義的背后是想達(dá)到怎樣一種目的？換句話說(shuō)，我們想讓這個(gè)定義實(shí)現(xiàn)哪些事情？

首先，測(cè)度——不管它具體怎么定義，其作用的對(duì)象按照我們的期望是直線上的任意一個(gè)子集，而最后得到的測(cè)度應(yīng)該是一個(gè)具體的數(shù)字。也就是說(shuō)，所謂定義測(cè)度，就是我們需要找到一種方法，使得隨便拿來(lái)直線上的一個(gè)子集，我們都能夠最終得到一個(gè)數(shù)字作為其“長(zhǎng)度”。 （在這里我們把無(wú)窮大也看成是數(shù)字，例如整根直線的測(cè)度就是無(wú)窮大。）

然后，這種方法總要滿足一些必要的約束。——不能隨便給一個(gè)線段標(biāo)上一個(gè)數(shù)字，就說(shuō)它是測(cè)度了。這些約束有哪些呢？

第一，空集（注意是說(shuō)空集而不是說(shuō)單點(diǎn)集）本身也是直線的子集，也應(yīng)該有個(gè)測(cè)度。我們應(yīng)當(dāng)保證空集的測(cè)度是零。這是很顯然的，否則這個(gè)測(cè)度就毫無(wú)實(shí)際意義了。

第二，既然每個(gè)子集都有一個(gè)測(cè)度，那么把兩個(gè)彼此本身不相交的子集并在一起得到的新的子集也應(yīng)該有個(gè)測(cè)度，并且這個(gè)測(cè)度應(yīng)該等于兩者之和。——這也是很直觀的要求。兩個(gè)線段如果不相交，那么他們的總長(zhǎng)度應(yīng)該等于兩者長(zhǎng)度之和。更高維的情況也一樣，兩個(gè)二維圖形如果不相交，那么總面積應(yīng)當(dāng)?shù)扔诟髯悦娣e之和，諸如此類。

更進(jìn)一步，三個(gè)不相交子集的測(cè)度之和也應(yīng)該等于這三個(gè)子集并起來(lái)的集合的測(cè)度，四個(gè)也對(duì)，五個(gè)也對(duì)，依此類推，無(wú)窮個(gè)不相交子集的測(cè)度之和也應(yīng)該等于把它們并起來(lái)得到的集合的測(cè)度。——注意，是可數(shù)無(wú)窮個(gè)！

(為什么呢？直接說(shuō)任意無(wú)窮個(gè)不好么？干嘛只限定是可數(shù)無(wú)窮個(gè)？)

數(shù)學(xué)家是很謹(jǐn)慎的。上面這個(gè)性質(zhì)被稱為可數(shù)無(wú)窮個(gè)集合的測(cè)度的“可加性” ，承認(rèn)可數(shù)無(wú)窮個(gè)集合有可加性是不得不為之，因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中我們確實(shí)常常會(huì)遇到對(duì)可數(shù)無(wú)窮個(gè)子集求總測(cè)度的問(wèn)題，可是任意無(wú)窮個(gè)子集的測(cè)度也能相加，這個(gè)陳述就太強(qiáng)大了，我們一時(shí)還說(shuō)不好測(cè)度有沒(méi)有這么強(qiáng)的性質(zhì)，還是先只承認(rèn)可加性對(duì)可數(shù)無(wú)窮個(gè)集合成立好了。

第三……

“且慢” ，數(shù)學(xué)家說(shuō)，“先別找太多的約束，看看這兩條約束本身能夠在多大程度上給出測(cè)度的定義好了。”

(什么嘛，這兩條約束根本什么都沒(méi)說(shuō)。第一條是廢話，第二條也是很顯然的性質(zhì)，要是只滿足這兩條就可以叫做測(cè)度，那測(cè)度的定義也太寬松了，我隨隨便便就能構(gòu)造出好多種不同的測(cè)度出來(lái)。)

也許是這樣，可是到時(shí)候再添上新的約束也不遲。這也是數(shù)學(xué)家們常用的辦法，先定義盡量寬松的概念，然后再一點(diǎn)一點(diǎn)的附加條件，得到更細(xì)致和特殊的子概念。就目前的情況來(lái)說(shuō)，看起來(lái)這兩條約束確實(shí)是寬松了點(diǎn)……

不幸的是——也許出乎你的意料——這兩條約束不是太寬松，而是已經(jīng)太嚴(yán)苛了。我們可以證明，給直線的每個(gè)子集都標(biāo)上數(shù)字作為測(cè)度，保證空集的測(cè)度是零，并且測(cè)度滿足可數(shù)無(wú)窮個(gè)集合的可加性，這件事情在邏輯上并無(wú)內(nèi)在的矛盾，但是這樣的測(cè)度必然具有一些數(shù)學(xué)上非常古怪的性質(zhì)。也就是說(shuō)，這樣的測(cè)度根本不能用來(lái)作為對(duì)長(zhǎng)度的定義！

（關(guān)于這件事的證明其實(shí)很簡(jiǎn)單，但是需要一點(diǎn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才能讀懂，詳情可以參考文獻(xiàn)[1]。關(guān)于什么是“古怪的性質(zhì)”，后面還會(huì)提及。）

在這種情形下，我們只好退而求其次，減少對(duì)測(cè)度這個(gè)概念的期望。——可是前面提到的兩條性質(zhì)都再基本不過(guò)了，如果連它們都不能滿足，我們定義出來(lái)測(cè)度又有什么用呢？——于是數(shù)學(xué)家們另辟蹊徑，不是放松這兩條限制，而是放松它們的適用范圍：我們不去強(qiáng)求測(cè)度能對(duì)直線的每個(gè)子集都有定義，也就是說(shuō)，我們只挑出直線的一些子集來(lái)定義測(cè)度，看看能不能避免邏輯上的困境。

需要挑出那些子集呢？很顯然，我們希望對(duì)于平時(shí)人們能接觸到的各種常見(jiàn)的子集都能定義測(cè)度，所以單點(diǎn)集是需要的，線段也是需要的，而若干線段的交集或并集（這里若干還是指至多可數(shù)個(gè)）也是需要的，對(duì)它們的交集或并集再作交集或者并集也是需要的……

在數(shù)學(xué)中，我們把所有線段反復(fù)做交集或并集生成的這一大類集合稱為可測(cè)集（當(dāng)然它有更嚴(yán)格的定義，不過(guò)大概就是這個(gè)意思）。不要小看這種生成方式，事實(shí)上，你能想象得到的直線的子集其實(shí)都是可測(cè)集，——要找出一個(gè)非可測(cè)集的集合反倒是有點(diǎn)困難的事情。雖然可測(cè)集不包括直線的全體子集，但是如果我們能對(duì)所有可測(cè)集定義合理的測(cè)度，那這個(gè)測(cè)度也足以應(yīng)付人們的需要了。

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所幸的是這確實(shí)是可以做到的。在測(cè)度論中有很大的一部分篇幅是用來(lái)論述測(cè)度是怎么對(duì)可測(cè)集得以建立的，這部分內(nèi)容一般被表述為一個(gè)稱為Caratheodory’s theorem的理論。言簡(jiǎn)意賅地說(shuō)：是的，只針對(duì)可測(cè)集定義的，滿足前面那兩條假設(shè)的“合理”測(cè)度總是能夠建立得起來(lái)的。

這里所謂的“合理”，就是說(shuō)它能夠用來(lái)作為我們心目中那個(gè)“長(zhǎng)度”而存在。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，讓我們想想我們離我們的目的地還差多遠(yuǎn)：直到現(xiàn)在為止，我們還是完全不知道一個(gè)測(cè)度究竟是什么樣子。舉例來(lái)說(shuō)，按照我們的想法，一個(gè)單點(diǎn)集的測(cè)度應(yīng)當(dāng)是零（對(duì)應(yīng)于點(diǎn)沒(méi)有長(zhǎng)度的直觀），而實(shí)數(shù)軸上從0點(diǎn)到1點(diǎn)的線段的測(cè)度應(yīng)當(dāng)是1，更一般地，從a點(diǎn)到b點(diǎn)的線段的測(cè)度應(yīng)當(dāng)是b-a，——可是這一切我們統(tǒng)統(tǒng)還不知道呢！

這一切確實(shí)還未曾得到說(shuō)明，而且更關(guān)鍵的是，僅僅有前面給出的那兩條假設(shè)，我們也確實(shí)無(wú)法推理得出上面那些結(jié)論。這也是數(shù)學(xué)家們的通常做法：先有一個(gè)一般的概念，然后通過(guò)給它添上一些新的獨(dú)立約束來(lái)構(gòu)造出更細(xì)致的概念。

我們現(xiàn)在已經(jīng)有了一個(gè)一般的測(cè)度的概念，把它總結(jié)一下，就是說(shuō)：

對(duì)于直線的一大類子集（也就是可測(cè)集，謝天謝地，我們?cè)趹?yīng)用中真正關(guān)心的集合都屬于可測(cè)集），我們能夠在不傷害邏輯的自洽性的前提下，給他們中的每個(gè)都標(biāo)上一個(gè)數(shù)字，稱為測(cè)度，并且這些數(shù)字滿足下面兩條性質(zhì)：

• 空集對(duì)應(yīng)的數(shù)字（空集的測(cè)度）是零。
• 若干個(gè)（但是至多可數(shù)無(wú)窮個(gè)）彼此不相交的子集，它們并在一起得到的子集的測(cè)度，剛好等于這些子集各自測(cè)度之和。
  

我們只知道這樣的測(cè)度是存在的，但是很顯然并不唯一，因?yàn)槲覀兾丛鴮?duì)這些具體的數(shù)值作過(guò)任何限定。為了使測(cè)度能夠符合我們心目中的那個(gè)“長(zhǎng)度”的概念，我們需要進(jìn)一步添上一條需要滿足的性質(zhì)：

• 如果把直線看作實(shí)數(shù)軸，那么從數(shù)軸上a點(diǎn)到b點(diǎn)的線段（這是直線的一個(gè)子集）對(duì)應(yīng)的測(cè)度應(yīng)當(dāng)?shù)扔赽-a，例如，數(shù)軸上從2到3的這一段線段的測(cè)度應(yīng)該等于1。
  

乍一看這好像只是個(gè)不完全的限定，我們只規(guī)定了最簡(jiǎn)單的線段的測(cè)度，卻沒(méi)有規(guī)定剩下那許多奇奇怪怪的集合的測(cè)度，可是好在有數(shù)學(xué)推理來(lái)替我們包辦剩下的一切：只要添上這條約束，那么所有的可測(cè)集的測(cè)度的具體大小就會(huì)以唯一不導(dǎo)致邏輯上的矛盾的方式被確定下來(lái)。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)可測(cè)集，我們都有辦法算出它所對(duì)應(yīng)的那個(gè)唯一可能的測(cè)度來(lái)。（怎么算的？如果你不想看到數(shù)學(xué)式子的話就別問(wèn)了……）

需要說(shuō)明的是，同樣也是根據(jù)這三條，我們就能夠發(fā)現(xiàn)單點(diǎn)的測(cè)度必須是零（否則就會(huì)導(dǎo)致計(jì)算上的矛盾）。注意：這里的邏輯完全是數(shù)學(xué)的而不是哲學(xué)的，也就是說(shuō)，我們是可以“推導(dǎo)”出單點(diǎn)的測(cè)度是零這樣的結(jié)論的。

各位看到這里可能會(huì)很疑惑，我究竟在干什么？我并沒(méi)有回答事先許諾要回答的任何一個(gè)問(wèn)題（為什么點(diǎn)的長(zhǎng)度是零而線段就不是，諸如此類），而是蠻橫無(wú)理的把它們作為規(guī)定和規(guī)定的推論強(qiáng)制性的擺在這里，作為測(cè)度的定義的一部分。這算什么回答？

請(qǐng)?jiān)试S我把對(duì)此的解釋（以及對(duì)前面所有那些哲學(xué)性問(wèn)題的解釋）放在后面，先暫且回到測(cè)度的定義本身上來(lái)。

前面說(shuō)了，只要能滿足頭兩條性質(zhì)，我們就稱定義出來(lái)的那個(gè)東西為測(cè)度，加上第三條只是為了讓這個(gè)測(cè)度符合我們對(duì)長(zhǎng)度的具體數(shù)值的要求。也就是說(shuō)，加上第三條性質(zhì)后，我們定義出的應(yīng)當(dāng)只是測(cè)度中的具體某一種，一般把它稱為勒貝格測(cè)度（Lebesgue measure）。再?gòu)?qiáng)調(diào)一遍，正如前面所說(shuō)的那樣，勒貝格測(cè)度并不能定義在直線的所有子集上而只能定義在其中的可測(cè)集上。但是我們?cè)跀?shù)學(xué)中和應(yīng)用中能夠遇到的集合差不多全是可測(cè)集。

（那就總還有幾個(gè)不可測(cè)集了？是的，確實(shí)存在一些特別詭異的集合是不可測(cè)集。關(guān)于不可測(cè)集的構(gòu)造和性質(zhì)一直是數(shù)學(xué)上一個(gè)有趣的話題，——雖然并不重要，因?yàn)槭聦?shí)上在真實(shí)世界里我們遇不到它，它們只是作為抽象的數(shù)學(xué)構(gòu)造出現(xiàn)的。我們后面還會(huì)再次談及這個(gè)問(wèn)題。）

既然勒貝格測(cè)度只是測(cè)度的一種，那就是說(shuō)，數(shù)學(xué)上是承認(rèn)不同于勒貝格測(cè)度的更一般的測(cè)度存在的。這些測(cè)度只滿足三條性質(zhì)的前兩條，而未必滿足第三條，也就是說(shuō)，這些“測(cè)度”并不保證從0點(diǎn)到1點(diǎn)的線段的測(cè)度是1，甚至也未必保證單點(diǎn)集的測(cè)度是零。它們的性質(zhì)可能和通常人們對(duì)長(zhǎng)度的理解很不相同。

（為什么呢？既然明顯和常識(shí)相悖，為什么還要保留這些人造的概念呢？）

這是因?yàn)椋M管數(shù)學(xué)家發(fā)明測(cè)度的概念的初衷確實(shí)只是想把“長(zhǎng)度”的概念精確化和邏輯化，（事實(shí)上也確實(shí)做到了，就是勒貝格測(cè)度），但是人們很快發(fā)現(xiàn)，那些更一般的測(cè)度雖然未必還符合人們對(duì)“長(zhǎng)度”這個(gè)詞的理解，但是它們作為一種數(shù)學(xué)概念卻能在大量的學(xué)科里得到應(yīng)用，甚至成為很多理論的基礎(chǔ)語(yǔ)言。一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子是概率論，這門古老的學(xué)科在測(cè)度論建立之后就完全被測(cè)度的語(yǔ)言所改寫，以至于今天一個(gè)不懂一般測(cè)度的人完全沒(méi)辦法研究概率論；另一個(gè)例子是著名的狄拉克測(cè)度（Dirac measure），這個(gè)曾經(jīng)令數(shù)學(xué)家也有點(diǎn)頭痛的非正常測(cè)度在物理學(xué)和信號(hào)處理等領(lǐng)域里扮演了非常關(guān)鍵的角色。

——不過(guò)，這是后話了。

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（三）長(zhǎng)度的意義

回到我們的主題：“長(zhǎng)度”的意義上來(lái)。

先總結(jié)一下我們已經(jīng)知道了的事情：

所謂（一維）測(cè)度，就是要給直線上的每個(gè)子集標(biāo)上一個(gè)數(shù)字，使得它們滿足下面兩條性質(zhì)：

• 空集對(duì)應(yīng)的數(shù)字（空集的測(cè)度）是零。
• 若干個(gè)（但是至多可數(shù)無(wú)窮個(gè)）彼此不相交的子集，它們并在一起得到的子集的測(cè)度，剛好等于這些子集各自測(cè)度之和。
  

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這樣的測(cè)度存在很多種，而且?guī)缀跞夹袨楣殴帧榱烁玫姆稀伴L(zhǎng)度”的概念，我們添上第三條要求：

• 如果把直線看作實(shí)數(shù)軸，那么從數(shù)軸上a點(diǎn)到b點(diǎn)的線段（這是直線的一個(gè)子集）對(duì)應(yīng)的測(cè)度應(yīng)當(dāng)?shù)扔赽-a。
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滿足這三條性質(zhì)的對(duì)直線上的每個(gè)子集定義的測(cè)度是不存在的。但是，如果放松要求，不對(duì)直線的每個(gè)子集定義而只對(duì)直線的可測(cè)子集定義測(cè)度，那么這樣的測(cè)度存在并且唯一，數(shù)學(xué)上稱為勒貝格測(cè)度。靠一系列定理的幫助，對(duì)直線的任何一個(gè)可測(cè)集（一般來(lái)說(shuō)你能想象到的任何子集都是可測(cè)集），都有一套嚴(yán)密定義的公式能夠把這個(gè)測(cè)度的具體大小算出來(lái)。

于是，數(shù)學(xué)家鄭重宣布：

勒貝格測(cè)度就是人們通常所說(shuō)的“長(zhǎng)度”的嚴(yán)密定義，而且是唯一正確的定義。

“什么？”我們的哲學(xué)家朋友們一定要跳起來(lái)了。“你上面繞來(lái)繞去的說(shuō)了一大堆讓人聽(tīng)不懂的話也就罷了，你怎么能說(shuō)這是關(guān)于長(zhǎng)度唯一正確的定義呢？這頂多是你們數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)詞的理解而已，我最討厭你們學(xué)理科的用這種自以為掌握絕對(duì)真理的口氣說(shuō)話了！”

“是么？”數(shù)學(xué)家回答道，“難道長(zhǎng)度這個(gè)詞還可能有別的理解不成？”

“當(dāng)然可以。”哲學(xué)家憤憤不平地說(shuō)。“亞里士多德說(shuō)過(guò)……，萊布尼茨說(shuō)過(guò)……，康德說(shuō)過(guò)……，江澤民同志說(shuō)過(guò)……，總之，人類對(duì)長(zhǎng)度這個(gè)詞的理解是經(jīng)歷過(guò)漫長(zhǎng)的爭(zhēng)論的，而且必然還會(huì)一直爭(zhēng)論下去。每個(gè)人都有權(quán)提出自己的觀點(diǎn)啊。”

“我不管他們?cè)趺凑f(shuō)，”數(shù)學(xué)家說(shuō)，“我只問(wèn)你心里有沒(méi)有對(duì)長(zhǎng)度的定義？”

“當(dāng)然有了。”哲學(xué)家驕傲地說(shuō)，“我認(rèn)為，長(zhǎng)度就是……”

“慢著，”數(shù)學(xué)家迫不及待的打斷他，“我不想聽(tīng)你的哲學(xué)論文，我只問(wèn)你，在你對(duì)長(zhǎng)度的定義里，空集有沒(méi)有長(zhǎng)度？有的話，是不是零？”

“是……的。”其實(shí)哲學(xué)家暫時(shí)沒(méi)想到空集這么細(xì)節(jié)的事情，但是他覺(jué)得反正這個(gè)無(wú)關(guān)緊要吧，所以先首肯了。

“那么，按照你定義的長(zhǎng)度，數(shù)軸上從2.76這個(gè)點(diǎn)到6.98這個(gè)點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，是不是等于6.98-2.76=4.22？”

“這個(gè)廢話，不然還叫什么長(zhǎng)度啊。”哲學(xué)家有點(diǎn)不耐煩了。

“還有，如果我把可數(shù)無(wú)窮個(gè)有長(zhǎng)度的集合放在一起，總長(zhǎng)度等不等于各自的長(zhǎng)度之和？”

“這個(gè)……”哲學(xué)家對(duì)于“可數(shù)無(wú)窮”這個(gè)詞有點(diǎn)拿不準(zhǔn)，“反正兩個(gè)線段的總長(zhǎng)度是等于它們各自的長(zhǎng)度之和的，至于無(wú)窮個(gè)……好吧就算是吧，那又怎樣？”

“那就結(jié)了。”數(shù)學(xué)家慢條斯理地說(shuō)。“我根本不關(guān)心你關(guān)于長(zhǎng)度的哲學(xué)觀念是怎么建立起來(lái)的，我只想說(shuō)，如果你的觀念沒(méi)有內(nèi)在的邏輯矛盾，那它就一定和我們數(shù)學(xué)家所說(shuō)的勒貝格測(cè)度是一回事。這就是我為什么說(shuō)勒貝格測(cè)度是唯一正確的長(zhǎng)度的定義。——你當(dāng)然可以有你自己的定義，只不過(guò)它一定正好就是勒貝格測(cè)度！”

“什么和什么呀！”哲學(xué)家有點(diǎn)懵了。“可是你什么也沒(méi)有定義啊，你只是自己號(hào)稱證明了一個(gè)所謂勒貝格測(cè)度的存在，可是我們關(guān)心的是為什么！我們哲學(xué)家要問(wèn)的是為什么從2.76這個(gè)點(diǎn)到6.98這個(gè)點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度等于4.22，你卻把它寫在了定義里，這并沒(méi)有回答問(wèn)題本身啊。”

“唉，”輪到數(shù)學(xué)家不耐煩了。“從2.76這個(gè)點(diǎn)到6.98這個(gè)點(diǎn)的線段的‘長(zhǎng)度’當(dāng)然也可以不等于4.22，只要你不取勒貝格測(cè)度而換一種測(cè)度就成了，——問(wèn)題是人們不喜歡那樣啊。不是為什么它的長(zhǎng)度等于4.22，而是你首先要求了4.22這一屬性，然后把它叫做長(zhǎng)度。為什么只有在春天桃花才會(huì)開(kāi)？因?yàn)槭悄惆烟一〞?huì)開(kāi)的那個(gè)季節(jié)叫做春天的！”

哲學(xué)家：“……”

數(shù)學(xué)家：“……”

嗯，我不知道這段對(duì)話是把問(wèn)題講清楚了還是攪得更混亂了。當(dāng)然這里面還有許許多多的細(xì)節(jié)需要闡明，下面讓我們來(lái)更仔細(xì)的討論一下吧。

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“長(zhǎng)度是什么？為什么從2.76這個(gè)點(diǎn)到6.98這個(gè)點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度等于4.22？”正如前面那個(gè)數(shù)學(xué)家所說(shuō)的，這個(gè)問(wèn)法本身就是不合適的。我們給從2.76這個(gè)點(diǎn)到6.98這個(gè)點(diǎn)的線段賦予一種屬性是4.22，給從姚明的頭到姚明的腳的線段賦予一種屬性是2.26米，現(xiàn)在我們把這種屬性叫做長(zhǎng)度，如此而已。——這完全是人為的設(shè)定，沒(méi)有任何先驗(yàn)的意義。數(shù)學(xué)家已經(jīng)說(shuō)了，你當(dāng)然也可以給從2.76這個(gè)點(diǎn)到6.98這個(gè)點(diǎn)的線段賦予另一種屬性是3.86，給從姚明的頭到姚明的腳的線段賦予另一種屬性是0.03米，只要你足夠細(xì)心，這種做法是不會(huì)引起問(wèn)題的，只不過(guò)你自己定義的那種屬性不再被人們稱作“長(zhǎng)度”罷了。你可以把它稱為“短度”或者別的什么，沒(méi)有問(wèn)題。

有趣的是，——測(cè)度論的偉大也就體現(xiàn)在這里，——只要我們承認(rèn)了諸如從2.76這個(gè)點(diǎn)到6.98這個(gè)點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度等于4.22這樣一些樸素的論斷，那么僅僅靠著邏輯推演，我們就能夠給直線的幾乎所有子集——可測(cè)集——計(jì)算出對(duì)應(yīng)的“長(zhǎng)度”來(lái)，哪怕它們已經(jīng)變得不是那么直觀。譬如說(shuō)，單點(diǎn)集的“長(zhǎng)度”是0（不是什么無(wú)窮小，就是0），2到5之間的全體無(wú)理數(shù)的集合的“長(zhǎng)度”是3，某個(gè)廣義康托集（一種有著復(fù)雜分形結(jié)構(gòu)的點(diǎn)集）的“長(zhǎng)度”是2.86……這一切本來(lái)似乎都可以問(wèn)一問(wèn)為什么的事情，其實(shí)都只是邏輯的自然推論罷了，你要是不承認(rèn)它們，就必然導(dǎo)致邏輯上的不自洽。

——為什么這個(gè)東西的長(zhǎng)度是0？那個(gè)東西的長(zhǎng)度是2.3？為什么這個(gè)奇奇怪怪的集合也會(huì)有長(zhǎng)度？為什么它的長(zhǎng)度不等于別的，偏偏等于根號(hào)2？

因?yàn)殚L(zhǎng)度滿足那三條性質(zhì)，所以必然如此。

——為什么長(zhǎng)度要滿足那三條性質(zhì)？

因?yàn)槿藗儼褲M足那三條性質(zhì)的屬性就叫做長(zhǎng)度。你當(dāng)然也可以用別的幾條性質(zhì)定義出來(lái)一個(gè)什么度，只是不能再叫長(zhǎng)度就是了。

這就是“長(zhǎng)度”這個(gè)詞的全部意義。

“可是，”我們的哲學(xué)家還是不甚滿意，“我還是覺(jué)得你沒(méi)有真正回答我想問(wèn)的問(wèn)題。”

“還有什么呢？”數(shù)學(xué)家說(shuō)，“我上面這些理論不都已經(jīng)自圓其說(shuō)了么？”

“就是這個(gè)自圓其說(shuō)讓我特別惱火。”哲學(xué)家說(shuō)。“我總覺(jué)得你繞過(guò)了我真正的問(wèn)題。我問(wèn)為什么長(zhǎng)度要這么定義，你說(shuō)因?yàn)槿藗儼堰@樣定義出來(lái)的屬性就叫長(zhǎng)度，這當(dāng)然沒(méi)錯(cuò)，可是我其實(shí)想問(wèn)的是，為什么會(huì)有這樣一種屬性存在？為什么自然界中的事物可以具有長(zhǎng)度——或者用你的話說(shuō)——這種屬性？你當(dāng)然可以告訴我說(shuō)，因?yàn)閿?shù)學(xué)上證明了你的那什么勒貝格測(cè)度一定存在，可是我不想聽(tīng)你那個(gè)證明，我想聽(tīng)到的是一個(gè)更深入的解釋，為什么長(zhǎng)度是得以存在的？”

“因?yàn)椤驗(yàn)槲覀兡茏C明它實(shí)際上存在……”數(shù)學(xué)家迷惑不解的說(shuō)。

“我不是問(wèn)你它存不存在，我是問(wèn)它為什么存在！”哲學(xué)家怒氣沖沖的說(shuō)。“你不覺(jué)得這是件不太自然的事情么？反正是一堆點(diǎn)，你又說(shuō)了點(diǎn)的長(zhǎng)度是零，可是一旦把點(diǎn)排列起來(lái)得到的線段就有了測(cè)度，在這個(gè)過(guò)程中發(fā)生了什么呢？這個(gè)不為零的長(zhǎng)度是怎么出現(xiàn)的呢？——?jiǎng)e又對(duì)我說(shuō)你能證明它不為零，我要問(wèn)的是為什么，——比證明更本質(zhì)一步的那個(gè)為什么！”

“啊，”數(shù)學(xué)家字斟句酌地說(shuō)，“你想問(wèn)的其實(shí)是為什么線段的測(cè)度不等于簡(jiǎn)單地把點(diǎn)的測(cè)度加在一起對(duì)吧。是啊，這確實(shí)是個(gè)有趣的問(wèn)題……”

這確實(shí)是個(gè)有趣的問(wèn)題。

如果我們仔細(xì)檢查關(guān)于勒貝格測(cè)度的那三條公理，會(huì)發(fā)現(xiàn)關(guān)于第一條和第三條并沒(méi)有什么可多說(shuō)的，可是第二條——至多可數(shù)個(gè)彼此不相交的子集的并集的測(cè)度等于這些子集各自測(cè)度之和——卻多少讓人心生疑惑。這句話讀起來(lái)總是有點(diǎn)別扭。

如果我們把它換成“有限個(gè)彼此不相交的子集的并集的測(cè)度，等于這些子集各自測(cè)度之和”，聽(tīng)起來(lái)就會(huì)舒服多了，可是這里做了某種推廣，從有限到無(wú)限，而且還不是任意無(wú)限個(gè)而是“至多可數(shù)無(wú)窮”個(gè)，這是為什么呢？

首先，這種推廣是必須的：只對(duì)有限個(gè)的子集定義測(cè)度的可加性，這樣得出來(lái)的測(cè)度會(huì)不滿足人們的需要，——不僅僅是給長(zhǎng)度一個(gè)精確定義的需要。測(cè)度論不只是為哲學(xué)家發(fā)明的，它要在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域里以及別的自然科學(xué)領(lǐng)域里得到應(yīng)用，而在這些場(chǎng)合里，我們時(shí)刻會(huì)碰到對(duì)無(wú)窮個(gè)集合的并集的測(cè)度的計(jì)算。我們必須在定義里就保證測(cè)度能夠無(wú)窮相加。

可是另一方面，為什么又偏偏要限制可數(shù)無(wú)窮個(gè)集合才有可加性呢？

事實(shí)上，我們很容易就會(huì)發(fā)現(xiàn)，正是這一點(diǎn)促成了前面那個(gè)問(wèn)題的出現(xiàn)：為什么線段具有長(zhǎng)度？如果我們假設(shè)任意無(wú)窮個(gè)彼此不相交的子集的并集的測(cè)度等于這些子集各自測(cè)度之和，那么，既然線段是由無(wú)窮個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的而點(diǎn)又沒(méi)有長(zhǎng)度，那線段也應(yīng)該沒(méi)有長(zhǎng)度才對(duì)。難道這一條是專門為了避免這個(gè)悖論才設(shè)置的么？

不是。我們很快就能看到，這種對(duì)于可數(shù)性的限制，有著更為本質(zhì)的原因存在。

首先，讓我們想想看把很多數(shù)相加是什么意思。我們一開(kāi)始學(xué)到的加法是針對(duì)兩個(gè)數(shù)而言的，給定任意兩個(gè)數(shù)，我們能夠算出它們的和。進(jìn)而，我們把這一過(guò)程推廣到了三個(gè)數(shù)求和：先對(duì)其中兩者求和，然后再把這個(gè)和同第三者相加。依此類推，我們可以把四個(gè)數(shù)相加，把五個(gè)數(shù)相加……

請(qǐng)注意，這里的過(guò)程完全是遞歸的（inductively）：只有定義了n個(gè)數(shù)的和，我們才能夠繼而定義n+1個(gè)數(shù)的和。然后，這樣一直進(jìn)行下去，我們就能夠?qū)θ我庥邢薅鄠€(gè)數(shù)求和。——只是“任意有限”，還不是“無(wú)限”。

從有限到無(wú)限這一步跨越其實(shí)走得頗為艱難。哲學(xué)家也好別的領(lǐng)域的科學(xué)家也好常常隨心所欲的使用數(shù)學(xué)詞匯而并不特別在意自己是否真的明了它們的嚴(yán)格意義，可是數(shù)學(xué)家卻不能如此自由。真正把無(wú)窮個(gè)數(shù)加起來(lái)，也就是數(shù)學(xué)中所謂的“級(jí)數(shù)”（series），這套理論的嚴(yán)密化在數(shù)學(xué)史上經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間。最終，借助于極限理論的幫助，真正嚴(yán)格的關(guān)于級(jí)數(shù)求和的理論才得以建立。——也就是說(shuō)，事實(shí)上，什么樣的無(wú)窮級(jí)數(shù)可以相加，什么時(shí)候不能相加，相加的時(shí)候要注意什么問(wèn)題，這一切都受到了理論的約束。在這些理論的基礎(chǔ)上，我們才能夠確定當(dāng)我們隨口說(shuō)出“把這無(wú)窮個(gè)數(shù)加在一起”的時(shí)候，我們確實(shí)知道我們?cè)谡f(shuō)什么。

什么是級(jí)數(shù)呢？級(jí)數(shù)就是把有限個(gè)自然數(shù)相加的自然推廣：既然定義了n個(gè)數(shù)的和我們就能夠進(jìn)而定義n+1個(gè)數(shù)的和，那么，把這個(gè)過(guò)程遞歸地進(jìn)行下去，我們就能夠?qū)θ我庥邢薅鄠€(gè)數(shù)求和。當(dāng)有無(wú)窮個(gè)數(shù)需要我們求和的時(shí)候，我們就只對(duì)它們中的前N個(gè)求和，并且讓這個(gè)N不斷變大，如果這一過(guò)程有極限，這個(gè)極限就被我們稱為這個(gè)無(wú)窮數(shù)的和。

請(qǐng)注意上面這段話背后的涵義：當(dāng)我們說(shuō)“對(duì)無(wú)窮個(gè)數(shù)求和”的時(shí)候，我們其實(shí)潛在地要求了這些數(shù)的總個(gè)數(shù)必須能夠通過(guò)n->n+1->n+2……這樣的過(guò)程來(lái)逼近，然后通過(guò)極限的方式定義它們的和。這也就是說(shuō)，這些數(shù)的總個(gè)數(shù)必須是可數(shù)個(gè)！

讓我們回憶一下什么是“可數(shù)個(gè)”：“可數(shù)個(gè)”就是能夠和自然數(shù)集建立起一一對(duì)應(yīng)的那么多個(gè)，用更直觀的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，“可數(shù)個(gè)”就是“可以一個(gè)一個(gè)數(shù)下去”的那么多個(gè)。只有一個(gè)集合里包含可數(shù)個(gè)元素的時(shí)候，我們才能夠?qū)τ谒鼞?yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)閿?shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)就是“一個(gè)一個(gè)數(shù)下去”：當(dāng)一件事對(duì)n成立時(shí)，我們進(jìn)而要求它對(duì)n+1成立，這樣的過(guò)程進(jìn)行下去的極限，就是可數(shù)無(wú)窮。

那么，既然多個(gè)數(shù)的加法本質(zhì)上是個(gè)遞歸過(guò)程，——只有先把n個(gè)數(shù)加起來(lái)，我們才能進(jìn)而加上第n+1個(gè)數(shù)，——所以加法至多能對(duì)“可數(shù)無(wú)窮”個(gè)數(shù)來(lái)定義（也就是級(jí)數(shù)加法）。把“不可數(shù)無(wú)窮個(gè)”數(shù)加在一起，這件事情是毫無(wú)意義的！

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這正是前面所有那些所謂哲學(xué)悖論的根源：當(dāng)人們想當(dāng)然的說(shuō)著“把無(wú)窮個(gè)點(diǎn)的測(cè)度加在一起”的時(shí)候，他們以為他們是在說(shuō)一件自然而然的事情，可是事實(shí)上，除非這無(wú)窮個(gè)點(diǎn)是可數(shù)個(gè)，否則這里的加法根本無(wú)法進(jìn)行。不幸的是，任何線段都偏偏是由不可數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的（它們是連續(xù)統(tǒng)）。

為什么線段是由點(diǎn)構(gòu)成的，而線段的測(cè)度卻不等于組成它的那些點(diǎn)的測(cè)度之和？因?yàn)椤敖M成它的那些點(diǎn)的測(cè)度之和”這個(gè)短語(yǔ)根本沒(méi)有意義，所以兩者也不必相等。

這個(gè)回答也許有些出人意料，可是事情就是如此。很多問(wèn)題之所以令人迷惑，不是因?yàn)樗鼈冋娴氖鞘裁淬Ｕ摚皇且驗(yàn)閱?wèn)題本身沒(méi)有被恰當(dāng)?shù)臄⑹觥Ｈ藗兂３Ｗ砸詾槭堑氖褂煤芏嘣~匯卻罔顧自己是不是了解它們的真實(shí)含義，譬如說(shuō)“求和”。人們隨心所欲地說(shuō)“把若干個(gè)數(shù)加在一起”卻忘了其實(shí)不可能真的把它們“一下子”加在一起，加法是個(gè)遞歸過(guò)程，這就決定了如果要加的東西的個(gè)數(shù)太多（不可數(shù)那么多），它們就加不起來(lái)了。

（不得不補(bǔ)充一點(diǎn)——一個(gè)很掃興的補(bǔ)充——在數(shù)學(xué)中，某些場(chǎng)合下我們真的必須要對(duì)不可數(shù)個(gè)數(shù)定義總和……數(shù)學(xué)家總是這樣，為了各種極端情況而拓展自己的定義。在這些情況下，這種不可數(shù)個(gè)數(shù)的和也是能定義出來(lái)的。但是，這件事并不會(huì)對(duì)上面那些論述造成削弱：這里的特殊意義上的“和”是為了應(yīng)付特別的目的而定義的，它和我們平時(shí)所說(shuō)的求和已經(jīng)不是一個(gè)意思了。）

也許哲學(xué)家還會(huì)追問(wèn)：既然線段的測(cè)度不是組成它的那些點(diǎn)的測(cè)度之和，那么這個(gè)測(cè)度是從哪里來(lái)的呢？

它們不是哪里來(lái)的……它們是線段自己所固有的。這就是為什么我們?cè)诙x長(zhǎng)度的時(shí)候非要加上第三條公理的原因：我們必須在定義里就寫明線段的測(cè)度，否則就沒(méi)有辦法建立起直線的所有可測(cè)子集的測(cè)度的架構(gòu)。事實(shí)上，既然點(diǎn)的長(zhǎng)度是零，根據(jù)可數(shù)可加性我們很容易推出一切可數(shù)集的長(zhǎng)度也都是零，所以在某種意義上說(shuō)來(lái)，“長(zhǎng)度” 是本質(zhì)上只屬于連續(xù)統(tǒng)的一種性質(zhì)。換句話說(shuō)，只有進(jìn)入了連續(xù)統(tǒng)的范疇，不為零的長(zhǎng)度才可能出現(xiàn)。這就是為什么我們不能從單點(diǎn)集出發(fā)定義長(zhǎng)度的原因。

那么，我們現(xiàn)在可以回答那個(gè)著名的“飛矢不動(dòng)”的芝諾悖論了：一支飛馳的箭，在每一個(gè)確定的時(shí)刻都靜止在一個(gè)確定的位置上，為什么經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后會(huì)移動(dòng)一段距離？

答案是：因?yàn)槿魏我欢螘r(shí)間（不管多么短暫）都是一個(gè)連續(xù)統(tǒng)，包含了不可數(shù)個(gè)時(shí)刻，所以箭在每一時(shí)刻的靜止根本不需要對(duì)一整段時(shí)間之內(nèi)的移動(dòng)負(fù)責(zé)。——后者并不是前者的相加，而前者也根本不可能相加。

因?yàn)檫B續(xù)統(tǒng)不可數(shù)，所以我們能夠在每時(shí)每刻里都靜止的存在，同時(shí)又能在一段時(shí)間內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)。這也許是大自然的巧妙安排吧。

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（四）若干注記
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長(zhǎng)度的意義說(shuō)了這么多，到此差不多就可以告一段落了。但是關(guān)于在前面的討論中出現(xiàn)的許多數(shù)學(xué)概念和思想，卻還不妨多說(shuō)幾句。事實(shí)上，測(cè)度論雖然只是數(shù)學(xué)中一個(gè)具體的分支，但是它的發(fā)展和演進(jìn)卻和數(shù)學(xué)史上最有趣的篇章之一——所謂的“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”——聯(lián)系在一起。關(guān)于這樁公案，坊間的科普書目已經(jīng)汗牛充棟，我也并不想在這里再重復(fù)一遍那些隨手就可以找得到的八卦，而只是想針對(duì)某些特別的概念和理論略加說(shuō)明，至少，這對(duì)愿意繼續(xù)閱讀別的數(shù)學(xué)或者數(shù)學(xué)科普著作的朋友來(lái)說(shuō)，會(huì)有點(diǎn)作用吧。

1. 無(wú)窮小。

這個(gè)概念無(wú)疑常常困擾沒(méi)有受過(guò)現(xiàn)代數(shù)學(xué)訓(xùn)練的閱讀者們，這是很自然的事情，因?yàn)樗梢詮闹庇X(jué)上意識(shí)得到，卻又難于精確地把握：無(wú)窮小是什么？是不是可以精確定義的數(shù)學(xué)概念？它是一個(gè)數(shù)？還是一段長(zhǎng)度？能不能對(duì)無(wú)窮小做計(jì)算？諸如此類等等。由于這個(gè)概念幾乎天然的和各種哲學(xué)式的思辨聯(lián)系在一起，使得甚至哲學(xué)家們也對(duì)它頗為關(guān)注，——當(dāng)然，還有數(shù)之不盡的民科們。

關(guān)于無(wú)窮小的討論者，最著名的大概莫過(guò)于萊布尼茨，他花了大把的精力試圖精確闡述無(wú)窮小的概念并且以此作為整個(gè)微積分學(xué)的基石。在萊布尼茨看來(lái)，無(wú)窮小是一個(gè)比任何數(shù)都小但是不等于零的量，對(duì)它可以做四則運(yùn)算，尤為關(guān)鍵的是可以做除法：兩個(gè)相關(guān)的無(wú)窮小量的比值就是一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。以此為基本語(yǔ)言他開(kāi)始建立微積分學(xué)的基本理論，——他基本上成功了。直至今天，數(shù)學(xué)家采用的關(guān)于微分的記號(hào)仍然來(lái)自萊布尼茨，而數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部關(guān)于微積分學(xué)的專門稱呼——“ 分析學(xué)”——也來(lái)自于萊布尼茨自己對(duì)他的理論的叫法：無(wú)窮小分析。盡管牛頓和萊布尼茨在微積分的發(fā)明權(quán)上爭(zhēng)得不可開(kāi)交，可是幾個(gè)世紀(jì)過(guò)去，至少在這兩件事情上萊布尼茨大獲全勝。

可是，也許你想不到的一件吊詭的事情是：盡管萊布尼茨在微積分學(xué)的建立過(guò)程里做出如此重要的貢獻(xiàn)，他的思想的基石——無(wú)窮小量——卻是一個(gè)在今天的數(shù)學(xué)語(yǔ)言里被完全拋棄了的概念。人們發(fā)現(xiàn)這個(gè)詞匯除了帶來(lái)混亂之外并沒(méi)有什么特別的用處，于是作為一種語(yǔ)言，它被丟棄了。

事實(shí)上，即使在萊布尼茨的同時(shí)期人看來(lái)，無(wú)窮小也是一個(gè)有點(diǎn)讓人不舒服的詞：比任何大于零的數(shù)都小，卻不是零。我們當(dāng)然可以把它僅僅作為一種人為的邏輯概念來(lái)使用，可是這樣一個(gè)怪東西的存在，既使得數(shù)學(xué)的基本對(duì)象——實(shí)數(shù)的結(jié)構(gòu)變得混亂，也在很多場(chǎng)合帶來(lái)了麻煩的難于回答的問(wèn)題（盡管它也確實(shí)帶來(lái)了不少方便）。在分析學(xué)蓬勃發(fā)展的十八世紀(jì)，一代又一代數(shù)學(xué)大師為此爭(zhēng)論不休，大家混亂而各行其是地使用這個(gè)詞，卻沒(méi)人能說(shuō)清楚它的精確含義。終于，從十九世紀(jì)初期開(kāi)始，以柯西（Cauchy）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass）為代表的一大批數(shù)學(xué)家開(kāi)始為分析學(xué)的嚴(yán)密化做出了大量的工作，他們?cè)噲D在完全不采用“無(wú)窮小量”這個(gè)概念的前提下重新建立整個(gè)分析學(xué)，——他們也成功了。

于是這個(gè)詞就被拋棄了。時(shí)至今日，這個(gè)詞盡管在很多數(shù)學(xué)書里仍然會(huì)出現(xiàn)，但是這時(shí)它僅僅作為一個(gè)純粹修辭上的詞匯而不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念，——人們通常用它來(lái)指代“極限為零的變量”（感謝十九世紀(jì)那一大批數(shù)學(xué)家，極限這個(gè)詞已經(jīng)是有了嚴(yán)密清晰的定義而不再僅僅是某種哲學(xué)性的描述），也有的時(shí)候它被用來(lái)作為對(duì)微積分運(yùn)算中的某些符號(hào)的稱呼，但是無(wú)論何時(shí)，人們?cè)谑褂盟臅r(shí)候都明確的知道自己想說(shuō)什么，更關(guān)鍵的是，人們知道自己并不需要它，而只是偶爾像借助一個(gè)比喻一樣借助它罷了。

那么，回到這個(gè)詞最本源的意義：到底有沒(méi)有這樣一個(gè)量，比一切給定的正實(shí)數(shù)都小卻又不是零？或者這個(gè)問(wèn)題還有一系列等價(jià)的提法：在直線上存不存在兩個(gè)“相鄰”的點(diǎn)？存不存在“長(zhǎng)度”的最小構(gòu)成單位？等等等等。

在今天我們已經(jīng)能夠確定無(wú)疑的回答這些問(wèn)題了：不，不存在。

事實(shí)上，這個(gè)問(wèn)題的徹底解答甚至比柯西和魏爾斯特拉斯的時(shí)代還要晚：它本質(zhì)上是關(guān)于實(shí)數(shù)的結(jié)構(gòu)的理解的問(wèn)題。即使柯西本人——盡管他奠定了現(xiàn)代極限理論的基礎(chǔ)——也并不真正了解“實(shí)數(shù)是什么”這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。關(guān)于嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論的最終建立，一般認(rèn)為是皮亞諾（peano），康托（Cantor）和戴德金（Dedekind）這幾位十九世紀(jì)下半葉的數(shù)學(xué)家的成就。所謂的“戴德金分劃”仍然是今天的教科書里對(duì)“實(shí)數(shù)”這一概念所介紹的標(biāo)準(zhǔn)模型。在這套模型里，人們能夠在邏輯上完全自洽的前提下回答有關(guān)實(shí)數(shù)結(jié)構(gòu)的一切問(wèn)題，而正如前面指出過(guò)的那樣，它完全擯棄了“無(wú)窮小”的存在。

（是不是數(shù)學(xué)家說(shuō)無(wú)窮小量不存在，這個(gè)詞就沒(méi)意義了呢？）

這又回到了前面我們屢次面對(duì)的那個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)斷言的權(quán)威性的問(wèn)題。如果承認(rèn)無(wú)窮小是一個(gè)有關(guān)數(shù)的概念，那么，數(shù)學(xué)家的工作已經(jīng)告訴我們，在實(shí)數(shù)理論中沒(méi)有無(wú)窮小的位置。事實(shí)上，康托本人就曾經(jīng)證明過(guò)承認(rèn)無(wú)窮小是同承認(rèn)實(shí)數(shù)中基本的阿基米德原理相矛盾的。（阿基米德原理是一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)性質(zhì)的基本原理，如果阿基米德原理是錯(cuò)的，整個(gè)數(shù)學(xué)大概都無(wú)法得以建立。）但是，如果把問(wèn)題拉到數(shù)學(xué)的疆域以外，如果認(rèn)為人們有權(quán)利不按照數(shù)學(xué)家的方式討論數(shù)本身的性質(zhì)，那么我們面對(duì)的就已經(jīng)是全然另一層次的問(wèn)題，——也就不可能在這里得到詳盡的討論了。

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2. 無(wú)窮大。

有趣的是，和無(wú)窮小如此相似的一個(gè)詞——無(wú)窮大——卻在今天的數(shù)學(xué)語(yǔ)言中占有與之判若云泥的一個(gè)地位：人們談?wù)撍芯克€給它以專門的記號(hào)（倒 8字）。造成這一多少有點(diǎn)奇特的事實(shí)的關(guān)鍵在于，和通常人們的誤解不同，無(wú)窮大其實(shí)并不是無(wú)窮小這個(gè)詞在概念上的對(duì)偶（盡管乍一看似乎如此）。事實(shí)上，就某種意義而言，說(shuō)它是零這個(gè)詞的對(duì)偶也許更為恰當(dāng)一些。

讓我們回顧一下這個(gè)概念在數(shù)學(xué)中的遞進(jìn)過(guò)程：我們都知道存在這樣的數(shù)列（例如自然數(shù)列），可以一直變得越來(lái)越大，直到比任何給定的數(shù)都更大，這種時(shí)候，我們把這樣的數(shù)列稱為“趨于無(wú)窮大”或者直接就簡(jiǎn)稱它是無(wú)窮大。——請(qǐng)注意，在這里無(wú)窮大僅僅是作為人們對(duì)一個(gè)數(shù)列或者變量的極限的叫法而存在的，我們并沒(méi)有承認(rèn)它是一個(gè)數(shù)或者一個(gè)確定的對(duì)象，而只是一個(gè)形容詞而已。每個(gè)具體的數(shù)都不可能真的比別的數(shù)都大，盡管一系列數(shù)可以沒(méi)有止境地變得越來(lái)越大，這實(shí)質(zhì)上就是亞里士多德所強(qiáng)調(diào)的“潛無(wú)窮”。

如果事情只是到此為止，那一切相安無(wú)事，無(wú)窮大這個(gè)詞今天的地位也只不過(guò)和無(wú)窮小一樣僅僅作為對(duì)一種極限的描述而存在罷了。可是這里有某種微妙的差別：正如前面提到過(guò)的那樣，“無(wú)窮小”不是別的，只是一個(gè)變量極限為零而已，所以我們總可以認(rèn)為無(wú)窮小只是一種說(shuō)法，在必要的時(shí)候可以用“趨于零”這樣一個(gè)替代說(shuō)法來(lái)?yè)Q掉它。可是“無(wú)窮大”是什么極限呢？它并不是趨于任何特定數(shù)字的極限，而是“趨于無(wú)窮大的極限”，你看，這個(gè)詞輕易回避不掉。

于是人們只好被迫不斷的提及它，要是非要替換成別的說(shuō)法，就要花好多倍唇舌才成。比如，前面說(shuō)過(guò)直線本身也是直線的可測(cè)子集，那么整條直線的測(cè)度是多少？當(dāng)然我們可以佶屈贅牙地說(shuō)“直線可測(cè)，但是它的測(cè)度并不是一個(gè)確定的數(shù)，而只是比任何給定的實(shí)數(shù)都要大。”——這也太麻煩了一點(diǎn)。為什么不省點(diǎn)事直接說(shuō)“直線的測(cè)度等于無(wú)窮大”呢？

這樣人們就開(kāi)始不斷的把無(wú)窮大當(dāng)一個(gè)名詞來(lái)使用，假裝它好像也是一個(gè)數(shù)一樣，這就是所謂的“實(shí)無(wú)窮”。哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家中比較喜歡哲學(xué)爭(zhēng)辯的那一部分人對(duì)此有許多爭(zhēng)論（直覺(jué)主義學(xué)派等等），但是讓我們忽略掉它們，先看看在今天數(shù)學(xué)家是怎么使用這個(gè)詞的吧。

首先，無(wú)窮大不是一個(gè)實(shí)數(shù)，在實(shí)數(shù)集中不存在任何數(shù)比其他所有數(shù)更大，這是確定無(wú)疑的事情。

其次，在許多場(chǎng)合下，我們確實(shí)可以把無(wú)窮大當(dāng)作一個(gè)名詞來(lái)使用，既方便又不造成困擾。例如前面提及的在測(cè)度論里我們說(shuō)一個(gè)可測(cè)集的測(cè)度是一個(gè)“數(shù) ”，這里的“數(shù)”既包括非負(fù)實(shí)數(shù)也包括無(wú)窮大。事實(shí)上，在有些數(shù)學(xué)書里索性把實(shí)數(shù)加上無(wú)窮大這樣一個(gè)集合稱為“增廣實(shí)數(shù)集”。我們甚至可以對(duì)無(wú)窮大定義運(yùn)算（在事先做好嚴(yán)格約定的前提下），這對(duì)于很多理論的敘述帶來(lái)了極大的方便。如果說(shuō)得更技術(shù)化一點(diǎn)，在很多數(shù)學(xué)分支（例如仿射幾何）里我們還能像讓每個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)于直線上的一個(gè)點(diǎn)這樣一個(gè)幾何對(duì)象一樣，讓無(wú)窮大這樣一個(gè)特殊的對(duì)象也對(duì)應(yīng)于一個(gè)特殊的幾何對(duì)象（所謂的“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”），并且讓所有這些幾何對(duì)象平等地參與到幾何學(xué)中來(lái)。只要仔細(xì)做好事先的公理準(zhǔn)備，這樣子做并不會(huì)引起任何邏輯問(wèn)題。

——也許有人會(huì)覺(jué)得奇怪，怎么數(shù)學(xué)家可以如此隨便，想給實(shí)數(shù)集添上什么就添上什么？事實(shí)上，數(shù)學(xué)家就是有這樣的權(quán)利，因?yàn)檎f(shuō)到底，數(shù)學(xué)不是研究真實(shí)自然界的學(xué)問(wèn)，而只是研究人造概念的學(xué)問(wèn)。任何人造概念，只要在邏輯上被嚴(yán)格的描述出來(lái)又不造成內(nèi)在的邏輯不自洽，都可以被認(rèn)為是“存在”的。復(fù)數(shù)的引進(jìn)就是一個(gè)很好的例子。

——那前面怎么又說(shuō)“無(wú)窮小不存在”？就算無(wú)窮小本身不能是一個(gè)實(shí)數(shù)，為什么不能把它添在實(shí)數(shù)集之外也弄一個(gè)“增廣實(shí)數(shù)集”出來(lái)研究？

事實(shí)上，這樣做是可以的，而且事實(shí)上也確實(shí)有好事者這樣做過(guò)。問(wèn)題在于它毫無(wú)意義。前面說(shuō)了，任何人都有權(quán)利自己定義出一些什么東西來(lái)作為數(shù)學(xué)對(duì)象來(lái)研究，這是對(duì)的，只要他在邏輯上足夠細(xì)心就行。可是這句話還有一個(gè)常常被人忽視的反面：數(shù)學(xué)盡管不是直接研究自然界的學(xué)問(wèn)，可是它畢竟是在人們研究自然界的過(guò)程中形成而又有助于人們對(duì)自然界的理解的。如果一個(gè)數(shù)學(xué)概念純粹只是自說(shuō)自話的產(chǎn)物，那無(wú)論它多么自洽，也沒(méi)有人會(huì)去關(guān)心它。復(fù)數(shù)這一人為的構(gòu)造之所以被所有人承認(rèn)是因?yàn)樗薮蟮耐Α６鵁o(wú)窮小——正如前面所指出的——是一個(gè)毫無(wú)必要引入的概念，添上它只會(huì)自找麻煩。無(wú)窮小和無(wú)窮大的命運(yùn)之所以不同，關(guān)鍵正在于此。

回到無(wú)窮大這個(gè)詞上來(lái)。這一系列文章的一開(kāi)頭還說(shuō)過(guò)無(wú)窮大可以分成“可數(shù)”和“不可數(shù)”的無(wú)窮大，那又是怎么回事？

這是一個(gè)更常見(jiàn)的誤解，這其實(shí)是兩個(gè)不同的詞：作為一個(gè)極限的（潛）無(wú)窮和由此引申而來(lái)的作為一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的（實(shí)）無(wú)窮是一碼事，作為一個(gè)集合的勢(shì)的可數(shù)無(wú)窮或者不可數(shù)無(wú)窮是另一碼事，不同于前者的“無(wú)窮大”，后者其實(shí)應(yīng)該被稱為“無(wú)窮多”才對(duì)，只是人們通常混為一談。事實(shí)上，當(dāng)我們說(shuō)“一個(gè)集合有無(wú)窮多個(gè)元素”的時(shí)候，我們有必要指出這個(gè)集合是不是可數(shù)，而當(dāng)我們說(shuō)“一條直線的測(cè)度是無(wú)窮大”的時(shí)候，卻完全談不上什么可數(shù)不可數(shù)。——在數(shù)學(xué)書中通過(guò)觀察上下文，分辨這兩者并不是很難的事情，可是如果把“無(wú)窮”作為一個(gè)哲學(xué)命題來(lái)研究的時(shí)候，這種區(qū)分卻是必須的。——不幸的是，就我閱讀所及，很多時(shí)候人們都沒(méi)做到這一點(diǎn)。

3. 不可測(cè)集與選擇公理、數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性

回顧一下“不可測(cè)集”這個(gè)詞的意思：在勒貝格測(cè)度的意義下，總有一些集合是沒(méi)辦法定義測(cè)度的，這樣的集合稱為不可測(cè)集。同時(shí)已經(jīng)被我們反復(fù)指出過(guò)的一點(diǎn)是：一個(gè)沒(méi)受過(guò)專門數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人所能想象到的任何古怪集合其實(shí)都是可測(cè)的，不可測(cè)集非常罕見(jiàn)。

不可測(cè)集的存在是數(shù)學(xué)中中一件令人遺憾的事實(shí)，要是能給直線的任何一個(gè)子集定義長(zhǎng)度，這樣的理論該有多么漂亮啊……數(shù)學(xué)中常常有這樣的情形，一個(gè)人們通過(guò)直覺(jué)認(rèn)定的美妙設(shè)想，偏偏被一兩個(gè)好事者精心構(gòu)造出的反例破壞了，但是數(shù)學(xué)畢竟受制于邏輯，不管一個(gè)反例多么煞風(fēng)景，只要它確實(shí)成立，數(shù)學(xué)家也只好接受它。

可是不可測(cè)集這個(gè)例子有點(diǎn)不同：構(gòu)造不可測(cè)集，用到了選擇公理。

這件事情說(shuō)來(lái)話長(zhǎng)，簡(jiǎn)單的說(shuō)，我們都知道整個(gè)數(shù)學(xué)是建立在一些很顯然也很直觀的公理之上的，這些公理大多數(shù)都是諸如等量之和為等量之類的廢話，可是選擇公理稍微復(fù)雜一點(diǎn)，它是說(shuō)：

任何給定一組非空集合，我們總能從其中的每一個(gè)集合里取出一個(gè)元素組成一個(gè)集合。

也像廢話一樣，是吧，可是這句話多少有點(diǎn)羅嗦，不像等量之和為等量一樣簡(jiǎn)單明了。于是人們對(duì)它多少有所爭(zhēng)議，有人認(rèn)為它不應(yīng)當(dāng)排在基本公理之內(nèi)。可是畢竟這句話也挑不出什么錯(cuò)，而且人們很快發(fā)現(xiàn)，很多很有用的數(shù)學(xué)結(jié)果離開(kāi)選擇公理就變得很難證明或者根本不可能證明，于是將就著也就承認(rèn)它了。

可是不可測(cè)集的存在卻又掀起了人們的疑慮，反對(duì)選擇公理的人說(shuō)，看看吧，要是沒(méi)有選擇公理，也就沒(méi)有不可測(cè)集了。

贊成的人反駁說(shuō)，不可測(cè)就不可測(cè)唄，有什么大不了的……雖然整個(gè)理論確實(shí)變得不那么完美了。——他們不知道更大的問(wèn)題還在后面。1924年，波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫（Banach）在選擇公理和不可測(cè)集構(gòu)造法的基礎(chǔ)上，證明了石破天驚的“分球定理”：一個(gè)半徑為1的實(shí)心球，可以剖分成有限的若干塊，用這些塊可以完整地重新拼出兩個(gè)半徑為1的實(shí)心球體！

這一下引起軒然大波，反對(duì)選擇公理的數(shù)學(xué)家們聲勢(shì)大振，認(rèn)為選擇公理完全是trouble maker，必欲除之而后快。贊成選擇公理的數(shù)學(xué)家們則指出選擇公理“功大于過(guò)”，畢竟有很多有價(jià)值的數(shù)學(xué)成果出自選擇公理的基礎(chǔ)。雙方僵持的結(jié)果是大家各行其是，大多數(shù)數(shù)學(xué)家承認(rèn)選擇公理，同時(shí)忍受巴拿赫分球定理所帶來(lái)的不適感，少數(shù)數(shù)學(xué)家堅(jiān)持不要選擇公理，為此失去很多別的很有用的定理也在所不惜。

這一僵持局面維持了很多年，直到二十世紀(jì)的中葉才被戲劇性地解決。人們?cè)诓怀姓J(rèn)選擇公理的假設(shè)下構(gòu)造出了一大堆比巴拿赫的球體更嚴(yán)重的反例（例如一個(gè)空間同時(shí)有兩個(gè)維數(shù)）。這些反例不只像巴拿赫的例子一樣違反直覺(jué)，而且還嚴(yán)重的破壞了大多數(shù)已有的數(shù)學(xué)結(jié)果。于是人們發(fā)現(xiàn)，承認(rèn)選擇公理也許是必須的，而像巴拿赫的反例那樣的反直覺(jué)的結(jié)果，也只能被迫承擔(dān)下來(lái)了。

所以到今天幾乎所有的數(shù)學(xué)研究都是在承認(rèn)選擇公理的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。雖然作為一種后遺癥，人們總是會(huì)時(shí)不時(shí)地謹(jǐn)慎的在使用選擇公理的時(shí)候加上一句聲明：“本文依賴選擇公理。”——這也許是這條公理的一個(gè)特殊待遇了。

以上便是這段公案的來(lái)龍去脈。很多人可能在讀完這段故事之后疑慮重重。什么啊？數(shù)學(xué)家們難道是這么隨便的確定公理體系的么？如此的實(shí)用主義，似乎全然置真理的地位于不顧的樣子。很多人可能還會(huì)想起歐幾里德第五公設(shè)的故事，覺(jué)得數(shù)學(xué)家們?cè)瓉?lái)如此不負(fù)責(zé)任，帶給人們的不是一套嚴(yán)整規(guī)范的理論體系，而是一個(gè)支離破碎的混亂圖景。連公理的問(wèn)題都搞不定，整個(gè)數(shù)學(xué)豈不是空中樓閣？

限于篇幅，這篇文章不可能對(duì)這個(gè)問(wèn)題予以展開(kāi)論述，可是至少我們可以澄清一個(gè)常見(jiàn)的似是而非的誤解：數(shù)學(xué)是嚴(yán)密性的科學(xué)，數(shù)學(xué)的發(fā)展也只有在嚴(yán)密的公理化基礎(chǔ)上才能得以實(shí)現(xiàn)。

這句話——至少在字面上——是對(duì)的。不可測(cè)集的例子本身就說(shuō)明，為了嚴(yán)密性，數(shù)學(xué)家們甚至不惜放棄直觀，——像巴拿赫球那樣的例子盡管如此怪誕，可是它是嚴(yán)密邏輯的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)家也只好承認(rèn)它的存在。

可是在更宏觀的層面上，這句話卻是錯(cuò)的。前面提到的分析學(xué)就是很好的例子：微積分的思想的提出是在十七世紀(jì)，在隨后的十八世紀(jì)里取得了豐碩的成果，可是它的嚴(yán)密化卻直到十九世紀(jì)下半葉才真正得以實(shí)現(xiàn)。測(cè)度論是另一個(gè)例子：“測(cè)度”是人們對(duì)于長(zhǎng)度這個(gè)詞的直觀理解的嚴(yán)密化，可是這并不是說(shuō)，在測(cè)度論被提出之前的漫長(zhǎng)歲月里人們對(duì)于長(zhǎng)度都一無(wú)所知，恰恰相反，人們已經(jīng)知道了相當(dāng)多的事情，只是等待測(cè)度論的語(yǔ)言讓一切都變得精確和完整而已。

所以數(shù)學(xué)的發(fā)展實(shí)質(zhì)上是一個(gè)拖泥帶水的過(guò)程，一代又一代嶄新、充滿活力卻又粗糙的思想被提出來(lái)，人們意識(shí)到它的重要性，予以發(fā)揚(yáng)光大，產(chǎn)生一系列重要的成果同時(shí)又帶來(lái)困惑，直到嶄新的數(shù)學(xué)語(yǔ)言誕生，清理戰(zhàn)場(chǎng)，讓一切顯得井井有條，像教科書上的文字一樣道貌岸然，而同時(shí)卻又有新的粗糙的思想誕生了…… 在這個(gè)過(guò)程里，嚴(yán)密性始終只是一個(gè)背景，盡管無(wú)處不在，可是并不占據(jù)舞臺(tái)的統(tǒng)治地位。數(shù)學(xué)家們?cè)谝鈬?yán)密性，追逐嚴(yán)密性，甚至不惜為了嚴(yán)密性而犧牲看似有價(jià)值的學(xué)術(shù)成果，可是嚴(yán)密性并不是數(shù)學(xué)發(fā)展的引領(lǐng)旗幟，從來(lái)都不是。

這就是為什么同很多人的誤解相反，大多數(shù)數(shù)學(xué)家其實(shí)并不關(guān)心那些關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的哲學(xué)性的爭(zhēng)論，這也就是為什么我把眼前這些討論放進(jìn)附記的原因——一件事情是不是關(guān)系到數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)和這件事情在數(shù)學(xué)上是不是重要一點(diǎn)關(guān)系都沒(méi)有。所有這些故事：可數(shù)與不可數(shù)、可測(cè)與不可測(cè)、選擇公理等等，都是和二十世紀(jì)初所謂“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”的大背景聯(lián)系在一起的，那段時(shí)間里數(shù)學(xué)家之間產(chǎn)生了無(wú)數(shù)紛爭(zhēng)，可是今天的數(shù)學(xué)學(xué)生們?cè)趪?yán)肅認(rèn)真地學(xué)習(xí)集合論和測(cè)度論的同時(shí)，卻只對(duì)那些八卦付之一笑，作為茶余飯后的談資。——事實(shí)上，即使在二十世紀(jì)初，也有大量的數(shù)學(xué)家根本不關(guān)注這件事情或者壓根就采取了日后看來(lái)是錯(cuò)誤的立場(chǎng)（反對(duì)康托，反對(duì)不可數(shù)集的概念，等等）卻同時(shí)又在自己的領(lǐng)域里作出了重要的甚至是歷史性的貢獻(xiàn)。

關(guān)于那個(gè)所謂的“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”，有一本著名的科普著作《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》[2]專門討論了它。這本書內(nèi)容相當(dāng)詳盡，不幸的是它所引起的誤解和它闡明的事情一樣多。關(guān)于這次“危機(jī)”的描述主要集中在第十二章，那一章的結(jié)尾倒是相當(dāng)深刻，值得特別引用在此：

“一個(gè)寓言恰如其分地概括了本世紀(jì)有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的進(jìn)展?fàn)顩r。在萊茵河畔，一座美麗的城堡已經(jīng)矗立了許多個(gè)世紀(jì)。在城堡的地下室中生活著一群蜘蛛，突然一陣大風(fēng)吹散了它們辛辛苦苦編織的一張繁復(fù)的蛛網(wǎng)，于是它們慌亂地加以修補(bǔ)，因?yàn)樗鼈冋J(rèn)為，正是蛛網(wǎng)支撐著整個(gè)城堡。”

【轉(zhuǎn)貼完】

crazypeanut

最后說(shuō)句自己的話，如果你不是數(shù)學(xué)狂熱份子，相信我，別去搞測(cè)度論，他在機(jī)械設(shè)計(jì)中毫無(wú)用處，并且只會(huì)把你的頭腦搞混
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測(cè)度論的前置技能可不少，微積分 → 集合論 → 數(shù)學(xué)分析 → 測(cè)度論，而且別急，學(xué)了測(cè)度論不學(xué)實(shí)變函數(shù)論，你這測(cè)度論是白學(xué)的，所以，后邊還有，測(cè)度論 → 實(shí)變函數(shù)論 → 泛函分析

逛逛論壇

出大事啦。

709079691

要死人了。

淺川

千萬(wàn)不要出什么亂子

icegoods

看得頭疼，樓主搬運(yùn)幾座大山，這是要鎮(zhèn)壓是嗎？O(∩_∩)O哈哈~

kawa--

頭痛啊