如果不是數(shù)學狂熱分子，建議你別搞測度論

zerowing

看完通篇也是一項龐大的工程。不過感覺整篇描述的“測度”是一個如何把連續(xù)和離散統(tǒng)一起來的方法。
8 V" @6 l9 N' [4 n里面的有些敘述很生動，但是不太嚴謹。比如4.22的由來那段。俺只能理解連續(xù)封閉子集的和，而如果這些子集不封閉，那也不該有4.22，即便是在直線上截取的。或者，換句話說，開子集不可測。而線段一定不是開子集。好吧，又成繞口令了。
" _- v0 j, Z" O! R+ `搞數(shù)學的最后果然都是會瘋的

zerowing

說點疑惑。感覺這種測度論其實變相的避開了解釋如何從點到線的解釋。所以，我能理解哲學家對此的不滿。（笑）
- v, T* c7 s# u+ t; g3 ~7 q7 V$ X比如我前面說的子集問題。
- L+ V. H8 \9 t* y$ t) [1 U一條線段真的能分成若干可相加的子集嗎？比如，［1,10]的線段，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎？那么這兩個子集是相交的，不是嗎？因為都存在5這個點。而如何寫成[1,5]和(5,10]，那就表示的不是兩條線段，因為后面這個子集缺少了一個端點。那么這種情況，貌似這種測度的定義就變得不那么完善了又。
所以，從這方面講，我并不喜歡這種數(shù)學上的定義。我可以理解任意一個高維度空間都可以表現(xiàn)低維度空間的特征，比如三維中表現(xiàn)一維的線段長，表現(xiàn)二維的面積；但你絕對不可能在一維中表現(xiàn)出體積和面積。這不僅僅是尺度問題。我更傾向于低維度特征是用以表現(xiàn)高維度特征的參考位這種說法。詳細的說，低維度特征無論在哪都只表現(xiàn)其自身的特征，而高維度的特征只是借助低維度的特征作為一個參考位進而表現(xiàn)高維度的特征。
因此，你可以在三維中，以表現(xiàn)面積特征的面作為參考位表現(xiàn)出兩個面參考位之間的度量特征，這個特征就是體。這跟面有沒有體積特征沒有任何關系，他只是一個位，如果表達成數(shù)學，就是[a,b]。面特征的參考位相當于a,b位點，而體積特征描述的是a,b之間的所有集合加成，無論是開集合還是閉集合。它并不在乎你有多少個重復位，有多少個離散點，它只在乎a和b之間的相對位置。

zerowing

換句話說，比如從點到線段，線段游低維度的點組成，但不是說線段上該有多少個點，線段特征表達只是在描述任意兩個以點為參考位的相對特征。所以，這之間有多少點，多少重復都無所謂，無所謂點之間如何排列組合，無所謂連續(xù)離散。因為特征表述不同。
當然，這樣的說法有點類似所謂的尺度論。

獨自莫憑欄

zero有點上癮了

阿難和松山

我了個去！！

crazypeanut

zerowing 發(fā)表于 2014-7-8 14:21
說點疑惑。感覺這種測度論其實變相的避開了解釋如何從點到線的解釋。所以，我能理解哲學家對此的不滿。（笑 ...

“比如，［1,10]的線段，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎？”

可以，可測集的線性可加性質
! d, y* j. ~1 F& u, X
: N$ `2 ]' L! ~2 S6 M“而如何寫成[1,5]和(5,10]”
. O  l5 c, {; G; P4 L, |
一個閉集，一個開集，找本數(shù)學分析書來看，都有嚴格定義，順便說句(5，10]，[5,10]的勒貝格測度都是5，去掉單點是不影響一個連續(xù)統(tǒng)的測度的

8 k7 X; c7 R0 I$ s7 X關于高維測度，其實高維測度可視為一維勒貝格測度的笛卡爾積
* h( K" V) C+ b
8 h4 D0 H, T+ {7 y“比如從點到線段，線段游低維度的點組成”

7 }" E. B2 p- ~+ P2 y這句話是錯的，點是可數(shù)集，線段是連續(xù)統(tǒng)，有本質的區(qū)別，不能將線段視為由點組成的。可以這么說，單個點構成的集合，測度一定是0，而線段，你可以將他視為，測度不為0的可測集的最小單位

の小南灬

pacelife

很有收獲，希望樓主多發(fā)類似的文章

1032220424

太能研究了，看暈了
; g$ M2 Q3 f9 Z6 f" A

zerowing

crazypeanut 發(fā)表于 2014-7-8 15:05
5 Z9 Z0 l# ?  A“比如，［1,10]的線段，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎？”
; n3 e. K/ u; \# Y5 j0 N
可以，可測集的線性可加性質

呵呵，大俠，我希望你仔細看下這個問題。這個問題不是探討是否可加，而是探討所謂的定義。
8 }, P7 B2 H/ d你轉的文章里有這樣的一個性質：

若干個（但是至多可數(shù)無窮個）彼此不相交的子集，它們并在一起得到的子集的測度，剛好等于這些子集各自測度之和。

請注意這個彼此不相交子集的概念。如果要求的是彼此不相交，那[1,10]就肯定不能寫成[1,5]和[5,10]兩段，不是嗎？因為子集相交了。這個不用再去看什么書去論證，因為我們只是在說集合問題。
# o3 o( j  R, `" [* ?同樣的，當我們說[5,10]去掉一個端點5，于是變成了(5,10]。那么，無論他是否影響測度（其實俺不敢茍同不影響說，因為只從數(shù)學角度說沒問題，但是延伸到一個整體世界角度就很難講了，后面說），無論是否影響測度，都不代表說(5,10]可以表示一個線段。換句話說，（5，10] 和[5,10]的測度相同，但不應該是一樣的東西。如果這么說沒問題，那么問題就來了，按照這樣的測度定義，那么一條線段就不該是若干條線段的疊加，雖然在測度上相等，但是組成新線段的各個部分并非都是線段。沒錯，這樣說，數(shù)學上沒有問題，只是無論是哲學家還是工程師都要頭疼了。哈哈。
于是，再說說那個延伸到整體世界角度的問題。舉個例子，大俠買了一量蘭博停在門口。這是起始時間點，然后你開出去，轉一圈又停回到和原先完全相同的位置，這是終止時間點。這個過程相當于這量車在四維空間中的一個變化。那么問題就來了，如果我拿掉最后一個時間點，會發(fā)生什么。其結果就是終態(tài)不可確定。那么也就是說這量蘭博在最后那個時間點的變化可能是任意的，它既可能延續(xù)之前的狀態(tài)（比如行使了1000米）成為一個終態(tài)（1000米），也可能跳躍回初態(tài)（0米）。這就是幾乎所有幻想家所暢想的一個折疊現(xiàn)象。將路徑折疊，初點和終點重疊而去掉終點，那么就能做到超時空旅行。但這可能嗎？而如果存在這個終點，也就是有一個必然的結果，那么就一定存在初、終差異，就不可能實現(xiàn)所謂的超時空穿行。我們不討論到底能不能超時空，能不能折疊，但至少通過這樣的例子我們很清楚有沒有這個點是完全不同的，而且其測度（或者應該換一種叫法，叫量度？）是不同的。
1 H/ Q5 R+ |& D) K( K
9 m' u( h5 J* O. z; [* j, e再回到所謂的維度上。
4 _$ N5 r! h' x3 H7 n9 F我們先不討論說線段是不是由點組成，我們既不討論其連續(xù)性，也不討論其測度。我們換一種說法，如果存在一個線段，那么我一定能在這個線段上找到點，無論能找到多少個，但我一定能找到。因此說，點和線段之間至少構成一個必要條件關系，也就是說，存在一個線段，就一定存在線段上的點。至于是不是線段上的點的組合構成了這個線段，從測度上說不是，我也不認同它是。所以才要在那句“線段由低維度的點組成”后面加上一個限制“并不是說線段上該有多少個點”。
& `2 O! C$ V) Y/ _另外，大俠說到了可數(shù)集和連續(xù)統(tǒng)的區(qū)別，也因此說線段不能說成由點組成。那么存在這樣一個問題又。（當然，俺數(shù)學一般，如果有錯，大俠指出）因為高維度可以解釋為低維度的笛卡爾積，而笛卡爾積是兩個集合的積，確切的說是兩個集合中的各個元素的積的集合。那么，如果這兩個集合不是可數(shù)集，而是連續(xù)統(tǒng)，即不可數(shù)集，你該如何求積呢？之前在跟P大討論無限小數(shù)的時候也討論過這個問題，兩個無限位的數(shù)能否四則運算。哈哈。那么這里的問題恐怕比那個還要復雜。換句話說，如果兩個連續(xù)統(tǒng)沒辦法求積，那么該如何表達高維度的特征呢？當然，我們只是探討，不能論證這種觀點的正確性。
另外，也說一句，如果高維度都是一維勒式測度的笛卡爾積，那么從0維到1維的過程該如何解釋？畢竟點是沒有維度的。