0.999......到底應不應該等于1？

zerowing

Pascal 發表于 2014-6-16 22:47
) f4 c& N* m. q! M3 H" Yzero大俠：
1. 數量比較是不需要具體差值的，也就不存在假定最右一位的說法。比如咱倆來比身高，零俠身高 ...

P大。我感覺討論越來越有意思了。
1。數量比較比一定需要差值，因為只要有參照物即可。但是數值比較不同。可以借用你這個例子。（我沒有那么高啊）。A身高1米8，B身高1米7，這樣兩個人站一起就知道差別。但是如果我們討論二者身高差量同另外一個參照物，比如一顆手雷的比較時，直接的做法是把他們放一起，再比較。而當你不能把兩個比較對象直觀的放在一起時呢？或者對比時看參照物的具體位置變動呢？這樣就沒有辦法比較了。或者說，A身高1米71，B身高1米7。這種小差距不能辨識的情況呢？所以我才強調，不要說1-0.99...的差值一定比0.1小這樣的話，因為這種直觀上的比較不能作為數學論證的依據。同樣的例子就是歌德巴赫猜想。比如1+2=3。如果就是直觀的講的話，那就不需要證明了，不是嗎？
1 l  M8 q* l, L' K所以，當討論數值比較，特別是差值比較時，你至少是要確定這個值的。
/ S. J* \. D' Z3 u0 `2。關于這句“證明1-0.9...=0只需要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數就行了”。我感覺我們像是進入了一個雞和蛋的哲學問題中。究竟是先有證明1-0.9...=0還是先有|1-0.9....|<任意給定正數。哈哈。這么說吧，
我們先討論下|1-0.9....|<任意給定正數這句話。比如我給定一個正數0.1，你該如何證明1-0.9....小于0.1呢？你可以說，1-0.9=0.1。1-0.99=0.01<0.1。所以，1-0.99...<0.1。但是問題就出來了，你計算前兩個式子的時候，是有限位計算，按找張先生的理論，是有意義的。而問題就出在第三步上。0.99...=0.99嗎？0.99...>0.99嗎？0.99...<0.99嗎？所有的這三個比較式你都不能直接使用，你都必須先要證明一個確定的關系發生在0.99..同0.99之間。而如何確定，這就是需要四則運算的地方。比如0.99...同0.99在小數點后的前兩位相同，但0.99..右側還有數位。即0.99...=0.99+0.009...，而0.009..>0，所以0.99..<0.99。而這之中，實際上你已經在用一次四則運算了。所以，說這么多，其實就是一句話，如果拋棄四則運算本身，|1-0.9....|<任意給定正數 這個問題不可證。既然不可證，那么至少你不能用這個式子說明1=0.99...
2 u, ^7 }7 ]6 @! K) U接著就是1=0.99..的證明，其實你可以去看各種的證明的方法，有級數計算的，有錯位相減的。但是最終都是在一個進行四則運算的基礎上。比如說級數計算的。0.99...=9*(1/10)+9*(1/10)^2....9*(1/10)^n。然后通過等比數列和法求的
0.99..=1-lim(1/10)^n=1。而這其中，其實也是在四則運算。如果嚴格按照張先生的理論，那么同樣，9*（1/10）^n是找不到的右位，那么最后的lim(1/10)^n原則上也不應該出現。說白了，就是不可證。
# s4 q! @5 ]" h, H4 A" j2 g總之，通過假設推論，如果因為找不到右位而否定四運算的可行性，那么現有的多數證明本身都是不成立的。1-0.99...同“任意給定正數”的比較就成了雞蛋問題。哈哈。
4 `/ J) B; O( t3。我不太明白大俠寫這三個式子同證明1-0.99..的差值和任意正數的關系有什么聯系。
; K; Q: M/ l9 W4。我寫的那個式子，希望大俠看全。
1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3
其關鍵是第二個等號的右側。因為那一部分的計算是脫離小數但卻符合小數各數位四則的部分。也就是說，講0.33..級數話，然后各級數的分數表達做加法。換句話說，如果你承認這種級數分數的運算方法是對的，這跟直接去計算無限循環小數的各數位是一致的。因為，0.33...+0.33...四則運算的時候實際上是0.3+0.3+0.03+0.03+0.003+0.003+....。說白了，無論你是否能找到右位，級數計算和直接小數計算都是在這樣進行的。唯一讓人疑惑的就是進位，但我之前闡述過了，其實進位并不是問題。

Pascal

zerowing 發表于 2014-6-17 00:06
9 U" ?9 v# M8 b$ e9 F7 q2 aP大。我感覺討論越來越有意思了。
1。數量比較比一定需要差值，因為只要有參照物即可。但是數值比較不同 ...

1. 數值比較同樣不需要具體差值。
假設咱倆穿越下，來到一個古代，那時人們還沒有具體數的概念，但有多少的概念。零俠你是元帥，統領一大群兵，還有一大群馬。我是你朋友，跑過來看你，你很高興，請我喝酒。然后我問你一個問題，零帥，你到底是兵多呢，還是馬多呢？你回答不了，因為那時不會數數，但咱們還是想到了一個辦法，讓每個兵去牽一匹馬。最后有兵沒牽到馬，說明兵多；有馬沒兵牽，說明馬多；以上兩種情況都沒有，說明兵和馬一樣多。
另外從歷史上看，多少的概念比減法概念出現的要早很多。所以說數值比較不需要具體差值。至于“小差距不能辨識的情況呢”，放大呀，數學最擅長這個了。
2 A  D/ P/ e7 d2 K- T* a9 N9 S- P2.” 0.99...=0.99嗎？0.99...>0.99嗎？0.99...<0.99嗎？”
零俠后面有0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n，同樣可以展開0.99.....啊，很容易就能證明0.99...>0.99。不存在雞蛋問題。
4 B7 D4 m/ ]5 p" d2 S4 y3. 下面3個算式只是想說明有些無限小數是可以運算的，只要有定義。
    0.1....-0.1.....=0
* J! s2 f+ q9 I1 J( h% k+ v5 W- R    1x0.1....=0.1.....
    0.1.....+0=0.1.....
' M# G* o  r, f) F4. “我寫的那個式子，希望大俠看全。
1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3”
  上面運算的實質是極限，并沒有定義/證明無限小數的運算規則。
: G4 i6 m; O' \% P5. “其實進位并不是問題。”因為咱們討論的1/3、1/9有點特殊，循環節只有1位。循環節不同的小數怎么加？1/3+π怎么加？

zerowing

Pascal 發表于 2014-6-17 10:09
% j' {2 h* V, v, l0 N* K1 h: H1. 數值比較同樣不需要具體差值。
假設咱倆穿越下，來到一個古代，那時人們還沒有具體數的概念，但有多少 ...

: Q4 |% [' B: S/ `9 R/ P5 ?1。呵呵，你的例子很有意思。但是還是那句話，不能作為一個定理來應用于證明。不扯那么遠的例子，就說1和0.99..的差值，這么說，我們不四則，也不知道差值究竟有多少，然后我給了一個小實數，0.000....001，在1的前面有n個，或者無限個零。那么你該如何比較這個差值和這個小實數的大小呢？你可以證明，1-0.99..的有限位差值小于0.1,0.01等等，但是推倒無限位的時候，你既不能通過四則運算得到一個實際的差值，又不能通過所謂的觀察法得到差值小于另一個差值的結論，那么你該怎么辦呢？如果我們把這個推廣到那個人和馬的例子上。比如人很多，馬也很多。前面不斷的有人在牽馬，后面還有很長的隊在等待牽馬，而檢查的人在檢查到一半的時候就已經說不清究竟誰牽過馬，誰沒有了。那么這種情況，你還有辦法比較嗎？另外，這個例子其實是在一個參照系下進行的。當你換了參照系呢？比如那個著名的新龜兔賽跑的例子，烏龜和兔子兩人從一點出發自東向西跑，裁判是太陽。最后的結果就是烏龜比兔子跑得快。哈哈。這也是為什么我說這樣的所謂可比性不能作為證明的依據的原因。
2。呵呵，我希望你再看下我的話。0.99....可以通過級數展開，但是分數展開的本身實際上等價于小數逐位展開的本身。換句或說，220就等價于200+20+0, 等價于2*100+2*10+0*1。同樣的，0.3165=0+3*（1/10）+1*(1/10)^2+6*(1/10)^3+5*(1/10)^4也等價于0+3*0.1+1*0.01+6*0.001+5*0.0001。這樣的式子恒等價，因為這是實數構成的基本法則，即逐位安置。而逐位安置本身就是在應用四則運算。所以，如果說無限小數不能進行四則運算，那么同樣的，0.99...就不能寫成0+9*0.1+9*0.01+9*0.001....這種形勢。因為你后面的無限位數該如何相加呢？是否會有進位呢？是否在某一位，9*（1/10）^n=0了呢？既然不能這樣寫，那么還是那個問題，你怎么比較呢？
, f3 L6 v5 v, T0 @3 w8 P8 ~, A* E3。這三個例子其實不是在說無限小數可以運算，而是在說任意實數的一個通性。這個通性本身跟四則運算沒有什么關系。
4。那個式子的關鍵在于逐位安置，然后逐位相加。所以才有2*3*（1/10）的寫法。就像我前面說的，逐位安置是實數構成的基本法則。如果你承認這種逐位相加，那么跟你在運算0.33...+0.33..的逐位相加有什么區別呢？只是因為一個是分數的逐位形勢一個是小數的逐位形勢嗎？這才是這個長等式要表述的問題。跟級數也好，跟極限也好，都沒有關系。本質是數字構成。
/ u. t: d2 W" y* o  x7 l$ Y( r5。我在更早的回復里提到過，進位計算對于無限循環小數不是問題，對于無理數比較麻煩。而實際上，即便不使用小數形勢進行計算，你依舊沒有辦法計算無理數。比如1/3+Pi，他究竟是多少呢？或者說他究竟等于一個什么像的無限不循環小數呢？同樣的，如果你不用1/3的小數形勢0.33...同Pi的有限小數形勢比如3.14159進行四則運算，你有什么辦法從1/3+Pi這個式子中得到一個數值解嗎？沒有！你不僅得不到一個無限右位的解，也得不到一個有限右位的解。不是嗎？

Pascal

zerowing 發表于 2014-6-17 14:20
. w: \8 r) n& g9 T! U3 Y/ s1。呵呵，你的例子很有意思。但是還是那句話，不能作為一個定理來應用于證明。不扯那么遠的例子，就說1和 ...

% P3 {" m1 G/ d
zero大俠：

1.  故事，而且還是虛擬的故事自然不能當定理用。可是我用的方法是可以當定理用的。

     因為我在2個集合的元素之間建立起了一一對應的關系。一一對應準則是康托爾集合論的基石，集合論與現代數學的關系我   
     就不說了。

2.  “ 0.000....001，在1的前面有n個，或者無限個零”，無限個零說法是不對的，具體見截圖--最后一位。

3.  “你可以證明，1-0.99..的有限位差值小于0.1,0.01等等，但是推倒無限位的時候，”
      為什么要推到無限位呢？我只要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數就行了，只要你給定了一個數，這個數就固定下來了，我肯
, R" l- O) X" r' h      定能證明│ 1-0.9...│<這個數，按照實數系的阿基米德性質，就能得到│ 1-0.9...│=0。
4 B! m' E. X$ s

4.  “你既不能通過四則運算得到一個實際的差值，又不能通過所謂的觀察法得到差值小于另一個差值的結論，”
      怎么不能得到差值小于另一個差值？見截圖--實數的比較，來自張筑生的數學分析。

      由比較規則輕松可得0.9....>0.9或0.99或0.999。

5.   實際生活中，如果零俠有個幾萬兵馬，我那個方法確實很難執行；如果零俠只有幾十兵馬，幾分鐘結果就出來了。不過從數
+ C1 e# g- H: ~9 R7 r+ i5 L      學上看，幾十兵馬可以用這種方法判別多少？那幾萬兵馬同樣可以用這種方法判別多少！

6.  “0.99...就不能寫成0+9*0.1+9*0.01+9*0.001....這種形式。因為你后面的無限位數該如何相加呢？”
      為什么要硬加呢？無窮級數和難道是一項一項加出來的？

7.  “那個式子的關鍵在于逐位安置，然后逐位相加”

      逐位安置我承認，可為什么要逐位相加呢？理由同第6點。

8.  “如果你不用1/3的小數形勢0.33...同Pi的有限小數形勢比如3.14159進行四則運算，你有什么辦法從1/3+Pi這個式子中得到一個
      數值解嗎？”

     有一個很用力的近似計算工具，叫逼近。數值解，可以呀，你要精確到幾位小數？

     零俠可以回顧下人類認識π的歷史，從周三徑一開始，雖然人們不知道π具體數值，甚至不知道π是無理數，但已經把π控制在
0 |+ w  w9 E( l! [# `     3~4了，到劉徽的割圓術，就可以把π控制在很精確的范圍了；π可以逼近，π+1/3同樣可以逼近。