在紙上畫三角形，無論是怎樣畫，把三角形里面的3個角加起來，都會等于 180度 即使是畫100個、1000個，也絕對不會有一個例外。有誰不信，不妨動手畫上1萬個，再用量角器去量一量。 那么，能不能找到一種三角形，它的內(nèi)角和不等于180度 呢？
# i% i3 k* `" T* V; { 在200年前，如果有誰提出了這樣一個問題，準(zhǔn)會有人對他嗤之以鼻："哼，這也用問，三角形的內(nèi)角和等于180度，這是幾何書中的一個定理！"
, ~" Q) p+ S9 u/ |( Z n' g, Z 定理就是經(jīng)過邏輯推理證明是正確的數(shù)學(xué)結(jié)論。如果有誰不信"邪"，仍要問一聲："這個定理就一定那么可靠嗎？"那么，人們就會搬來經(jīng)典著作《幾何原本》，翻開頭幾頁，指著"第5公設(shè)"對他說："瞧，這個定理的正確性可以由它來保證。"
" o6 v0 k+ R1 k& a 公設(shè)也就是公理，是一些最基本的數(shù)學(xué)結(jié)論，它們的正確性經(jīng)過了實踐的反復(fù)證明，是不證自明的。不朽名著《幾何原本》中的全部定理，都建立在10個公理的基礎(chǔ)上。有誰敢懷疑"三角形的內(nèi)角和等于180度 "這個定理，也就等于是懷疑第5公設(shè)有問題。如果連公理也有問題，豈不是所有的幾何定理都值得懷疑了嗎？) q2 L5 _8 @7 }! @ ]- G
第5公設(shè)也就是"平行公理"，它的意思是："在平面內(nèi)，過已知直線外的一個點，可以作而且只能作一條直線與已知直線相平行。"試試看，過直線外的一個點，你能作出第2條平行線來嗎？/ k5 r& Q+ F' T, p/ ]5 Y- C
既然有第5公設(shè)作保證，三角形的內(nèi)角和看來也就只好都等于180度 了。
4 X# M. \4 C! j/ x* S) K# K, X 不過，數(shù)學(xué)家們對這個"第5公設(shè)"是不大滿意的。這倒不是懷疑它有什么錯誤，而是覺得它不像其他的公理那樣一目了然，很像是一個定理，于是試圖用其他的9個公理把它證明出來，進而將它從公理的行列中趕出去。
' C. H5 [* f7 I) V) H, c6 E4 C 《幾何原本》問世后的2000多年里，數(shù)學(xué)家傾注了無窮無盡的智慧，始終也未能證明出第5公設(shè)。雖然有不少人曾宣稱解決了這個問題，但一檢查就發(fā)現(xiàn)，他們不是證明過程有錯誤，就是用一個更不明顯的公理代替了第5公設(shè)。無可奈何之下，大數(shù)學(xué)家達朗貝爾稱它是"幾何學(xué)中的家丑"。
& B" h, O8 p: M: S1 G 19世紀(jì)初，有個叫亞諾什·波里亞的匈牙利青年，決定獻身于第5公設(shè)的研究。他父親是個數(shù)學(xué)家，聽到這個消息給嚇壞了。盡管父子倆天天生活在一起，老波里亞為了鄭重其事，竟用筆給兒子寫了一封勸告信。
/ n. S, B# C: ?, V9 u1 | 波里亞深知父親的苦惱和失望，但他沒有知難而退，義無反顧地闖進了這個"毫無希望的黑夜"。他很快就發(fā)現(xiàn)，只要改變第5公設(shè)，就可以創(chuàng)造出一種新的幾何學(xué)來，于是提出了一個新的平行公理：2 v1 w4 F. E; P G
"在平面內(nèi)，過已知直線外的一個點，至少可以作兩條直線與已知直線相平行。
7 T+ A5 J4 R5 ^! W) t 這個新公理否定了平行線的唯一性。以它為基礎(chǔ)，再加上原來的9個公理，就組成了一門新的幾何學(xué)，叫雙曲幾何學(xué)。凡是與舊的平行公理有關(guān)的定理，在雙曲幾何學(xué)中統(tǒng)統(tǒng)變得面目全非，產(chǎn)生回許多聞所未聞的新結(jié)論。例如，在雙曲幾何學(xué)中，不存在矩形，也不存在相似三角形。最有趣的是，不同的三角形就有不同的內(nèi)角和，而它們又都比180度 小！
# J# ]$ u( T% W7 s7 Z3 y* |4 p 能夠作出一種三角形，使它的內(nèi)角和小于180度？對于習(xí)慣在傳統(tǒng)幾何的框框里生活的人來說，這不啻是個"荒誕無稽"的海外奇談。連老波里亞也無法理解兒子的創(chuàng)造，斷然拒絕了幫助發(fā)表的請求，直到1832年，由于兒子的再三請求，老波里亞才勉強同意將它作為一個附錄，隨同自己的著作一起出版。7 x: i/ S- ~0 P' X7 g) {/ ^$ _
老波里亞與"數(shù)學(xué)王子"高斯是大學(xué)時代的同窗好友，他把"附錄"的清樣寄給高斯，想聽聽這位數(shù)學(xué)權(quán)威的意見。1832年3月，高斯在回信中熱情稱贊小波里亞"有極高的天才"，但同時又說，他不便公開贊許，因為稱贊波里亞就等于稱贊他自己。
* R$ \! m# S: U/ W 原來，在此之前16年，高斯就已作出了同樣的發(fā)現(xiàn)。但他小心翼翼地隱藏了自己的研究，唯恐這種新幾何學(xué)在直觀上的"荒誕無稽"而遭到人恥笑。9 W# S/ [" @ ^" a6 A6 Y, f
捍衛(wèi)真理是需要勇氣的。9 d) s# i! S# t% M6 z/ u5 g# a6 g
早在波里亞著作發(fā)表之前6年，在遙遠(yuǎn)的俄羅斯大地上，已經(jīng)有位叫羅巴切夫斯基的勇士，率先亮出了這門新幾何學(xué)的旗幟。
. U' Q5 p+ j$ s' s+ k/ E 羅巴切夫斯基是一個偉大的俄國數(shù)學(xué)家。他獨立地作出了同樣的發(fā)現(xiàn)，并為捍衛(wèi)新幾何學(xué)戰(zhàn)斗了一生。當(dāng)時，數(shù)學(xué)家們不理解他，認(rèn)為內(nèi)角和小于180度的三角形是一個"笑話"，有人嘲笑他是"對有學(xué)問的數(shù)學(xué)家的諷刺"。而一些仇視革命思想的人，更是趁機對他進行惡毒的攻擊和下流的謾罵。這一切都沒有使羅巴切夫斯基退卻，他接二連三地發(fā)表數(shù)學(xué)著作，甚至當(dāng)他已成為一個瞎眼老人時，仍然念念不忘口授了一部《泛幾何學(xué)》，為這門新幾何學(xué)在數(shù)學(xué)王國里取得合理的地位而大聲疾呼。由于羅巴切夫斯基最先昭示了新幾何學(xué)的誕生，所以雙曲幾何學(xué)又叫羅氏幾何學(xué)。
/ L# j( F- u, Z( o9 Q2 ^ 羅巴切夫斯基、波里亞和高斯，用他們創(chuàng)造性的工作，動搖了"只能有一種可能的幾何"的傳統(tǒng)觀念，為創(chuàng)造不同體系的幾何開辟了道路。1854年，就在人們?nèi)栽诒г沽_氏幾何學(xué)"不可思議"時，高斯的學(xué)生黎曼，又給幾何王國增添了一種新的幾何學(xué)。1 M* g/ X/ ^" r* q' e
黎曼提出了另一種新的平行公理：1 J% q$ Q* A0 z* _6 x# K$ o
"在平面上，過已知直線外的一個點，不能作直線與已知直線相平行。"
6 S! N8 |" G- A. q3 j8 p 這個新公理干脆否定了平行線的存在性。以它為基礎(chǔ)，再加上原來的9個公理，就組成了橢圓幾何學(xué)，也叫黎曼幾何學(xué)。
7 Q9 Z- k1 E4 c( F/ H* l, c6 |8 ? 在這種新的幾何學(xué)里，三角形的內(nèi)角和等于多少度呢？有趣得很，它既不等于180度 ，也不小于180度，而是大于180度 。
8 U5 s7 o O" l2 @& a 黎曼幾何學(xué)中還有許多奇妙的結(jié)論，例如，"直線的長是有限的，但卻無止境。"要弄懂這些理論非常困難。據(jù)說，當(dāng)黎曼第一次宣讀這方面的論文時，除了高斯以外，會場上竟找不出第二個能夠聽懂的人。* H" U" l% w# X% k
羅氏幾何學(xué)與黎曼幾何學(xué)都是"純粹人造的"幾何學(xué)，與人們的常識相悖，乍看起來都顯得非常不可思議。實際上，它們比傳統(tǒng)的幾何學(xué)更加深刻地反映了現(xiàn)實世界的空間形式。舉一個最著名的例子：愛因斯坦創(chuàng)立的廣義相對論，就是以黎曼幾何學(xué)的空間概念為基礎(chǔ)的！根據(jù)相對論學(xué)說，現(xiàn)實空間會發(fā)生彎曲，到處是新幾何學(xué)的用武之地。
6 Y! Q. H& c) l9 i! V# h' B 相傳高斯做過一次有趣的實驗，他把相距很遠(yuǎn)的3座山峰，看作是三角形的3個頂點，然后計算它的內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)它竟大于180度 。這正是黎曼幾何學(xué)的結(jié)論。也許有人會說："這不是一個三角形。因為它不在一個平面上，而是在地球這個曲面上！"那么，哪里去找平面呢？運動場是平面嗎？池塘水面是平面嗎？它們都是地球這個曲面的一部分。這樣，又上哪里去找平面上的三角形呢？如果沒有三角形，怎么會有內(nèi)角和等于180度呢？
* l6 o$ `7 W/ `9 f 羅氏幾何學(xué)與黎曼幾何學(xué)更精確地反映了現(xiàn)實空間，但是，在我們的日常生活里，傳統(tǒng)幾何學(xué)已經(jīng)足夠精確了。在我們的視野范圍內(nèi)，水平面是非常接近于平面的。實際上，我們也根本無法測出它的彎曲度。這樣，測量水面上一個三角形的內(nèi)角和，雖然它實際上并不等于180度，我們卻無法測出它與真值之間的誤差。所以，在我們身邊這個不大不小的空間里，傳統(tǒng)的幾何學(xué)仍然是適用的。4 b6 O; R6 n4 @9 k, t( e
因此，在紙上畫三角形，無論是怎樣畫，把它的3個內(nèi)角加起來，都會等于180度 。但我們也應(yīng)當(dāng)知道，在數(shù)學(xué)王國里，確實還有一些"稀奇古怪"的三角形，它的內(nèi)角和是不等于180度 的。
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發(fā)表于 2012-3-16 20:00:04
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