|
|
啊。。。這個都成月經(jīng)問題了，各個論壇上都會吵一遍/幾遍。。我也吵過幾次，淡定了一些，既然壇子里的兄弟們感興趣我也就說說我的看法。1 @, Q# y5 M# u5 ^3 F, o" T0 [5 ]6 f% Z
有人說這個題是能看出人學(xué)沒學(xué)過高數(shù)的分水嶺，其實不然。這其實只關(guān)于對于極限思想的理解而已。。
: ?+ ^9 k! Q3 j& R1 Z/ S. f# h( c/ G
其實0.999...999是嚴(yán)格=1的。
, _4 W' w- l+ |' \
, s: }2 {- p e一個簡單的證明：# ^! |5 N% x: q0 R" t* A
- m1 d8 h2 k* _6 V
【定理】在任意兩個不同的有理數(shù)之間必定存在著無窮多個有理數(shù)。
( _& B# o: D* V3 a& P& f# E( r8 l1 z" e2 L1 U2 m
先證定理：a和b兩有理數(shù)，如果a!=b,那么一定存在n個c,c=m*(b-a)/n+a, m定義域（0，n)
2 K0 p" u; ~; h( K c
6 t1 S2 B1 J! W! r顯而易見吧？意思就是它們之間的小區(qū)間可以無限再分，從而構(gòu)成無窮多新的有理數(shù)。, b. d) z6 I+ K9 S$ j* p% r
+ Z$ r, G) V' t. R
回到題目：0.999...999和1是不是不同？9 Z9 ^8 G2 t. L
/ f" n6 q2 G; k7 X
反證法，假設(shè)不同： 那么一定存在a,使a=（1+0.999...999）/2
2 i2 Q8 S- Z& F5 G/ G' g9 u5 {7 k; t, V+ f) _
這個數(shù)是什么呢？那一定是有一個小數(shù)，比0.999...999擁有更多的9. 那是不是表示，這個新的數(shù)就應(yīng)該是你之前的那個數(shù)？
7 f4 ~4 d% D6 l5 C7 G7 G E/ r4 t9 j# k$ X8 S
所以說明了什么？要么存在一個新數(shù)取代了原來的數(shù)，要么兩數(shù)相等。如果新數(shù)取代了原來的數(shù)，證明你的9還不夠多。 u) Y! K0 R7 P9 C
. x8 p0 J* E- j1 u) r- ^3 W所以，0.999...999和1只能相等，證畢. b# u& l, ~% ^, z& i: K$ `# i
; o: d6 u# c, B% h$ Y
& @- L- V! T2 c7 S% i' w. _
更簡單的證明方式也有, 壇子里不少大俠也說過了：9 s- W8 d' o0 h( A2 ^% P
1/3=0.33..33， 這個居然還有人質(zhì)疑？小數(shù)（或者說根本不存在小數(shù)）和分?jǐn)?shù)是一一對應(yīng)的，或者說根本就是相等的，這個也不需要質(zhì)疑的好吧？后面就不證了，有想杠一下的再說。
+ R* K7 h, p# y& B; B4 T0 ~( p: L. r* U! W+ H$ a" W( x
再細(xì)說一下第三種。4 X$ m6 v7 W# i+ l' F r) v
0.999...999*10=9.999...999: n: H' E2 N* _4 j" ~3 q
這個式子成不成立？顯然成立。但是是不是有一種右邊小數(shù)點(diǎn)少一個9的感覺？為什么？
4 Z/ f( }" [$ |: \1 [4 E# K伽利略悖論有一句話：正偶數(shù)和自然數(shù)一樣多。
& u7 ~; d9 F/ t. U9 o解讀過來，在無窮的層面上，每一個自然數(shù)都和他的2倍一一對應(yīng)，有n個自然數(shù)，就有n個正偶數(shù)。0 Q ~+ D; k) E5 b8 A, S& d4 Q
（多提一句：上例可以一一對應(yīng)，但涉及無理數(shù)和實數(shù)則不行，實數(shù)對于有理數(shù)屬于高階包含，不存在映射關(guān)系了）, }+ `$ n; h, e$ X" X; v6 u# I
同理，每一個左邊的9，都與右邊的等位的9(其實是前一個)一一對應(yīng)，相當(dāng)于編程里的n=n+1,沒問題吧？% g9 l/ ~) f' P$ S6 C2 u
因為是循環(huán)小數(shù)，數(shù)位后是n位，在無限的概念下，n和n+1沒有區(qū)別。這一點(diǎn)可能不太好理解，但如果你理解了上面的伽利略悖論，就很好懂了。
* L9 h. _. d a$ e0 i$ p% y7 A
+ P8 ^( l# v/ p" [0 @另外說什么無限小數(shù)不能計算的，純屬扯淡。無限小數(shù)是位數(shù)不限，不是大小不限。再無限的小數(shù)，他的值也是有限的，不能混淆他和無窮大之間的區(qū)別。
2 u/ S7 A9 @7 C8 c+ B+ U" H& s4 r6 _
+ \$ C7 _4 T/ j: f# w大家都是工程師，感覺理解能力和接受能力應(yīng)該高于各門戶網(wǎng)站的網(wǎng)友群體吧。有問題或者不同意見，歡迎交流。9 l0 ~7 d/ r8 [6 l6 [; Z) ~) N( S
|
評分
-
查看全部評分
|
樓主: 冷水黃金
發(fā)表于 2021-5-20 16:38:35
這個厲害的
