啊。。。這個都成月經問題了，各個論壇上都會吵一遍/幾遍。。我也吵過幾次，淡定了一些，既然壇子里的兄弟們感興趣我也就說說我的看法。3 z: t1 X* u, O: M' R3 H; o) O
有人說這個題是能看出人學沒學過高數的分水嶺，其實不然。這其實只關于對于極限思想的理解而已。。: h! i. @, X( |& m) L: p; e
) x( y8 r* V# j( K% b其實0.999...999是嚴格=1的。
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一個簡單的證明：6 r- `1 R5 e! b6 Q
5 J* [! E" C. j# Z6 m, ~% k【定理】在任意兩個不同的有理數之間必定存在著無窮多個有理數。
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5 w; \+ K7 X' z1 W. f( s) v先證定理：a和b兩有理數，如果a!=b,那么一定存在n個c,c=m*(b-a)/n+a, m定義域（0，n)
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7 L: L4 p& y6 A0 X3 w顯而易見吧？意思就是它們之間的小區間可以無限再分，從而構成無窮多新的有理數。
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回到題目：0.999...999和1是不是不同？
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1 S4 m" O' |, V# Q反證法，假設不同： 那么一定存在a,使a=（1+0.999...999）/2( F) L( x1 R0 a F+ T1 U
6 f0 S5 s L- X& P7 D4 i這個數是什么呢？那一定是有一個小數，比0.999...999擁有更多的9. 那是不是表示，這個新的數就應該是你之前的那個數？
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所以說明了什么？要么存在一個新數取代了原來的數，要么兩數相等。如果新數取代了原來的數，證明你的9還不夠多。" l1 _% W1 d6 V1 M7 W
^4 y8 ?+ ~' q6 p/ n3 H所以，0.999...999和1只能相等，證畢1 J W( s3 B, T& j# v
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更簡單的證明方式也有, 壇子里不少大俠也說過了：
y* m) Y) p. ?- @$ g1/3=0.33..33， 這個居然還有人質疑？小數（或者說根本不存在小數）和分數是一一對應的，或者說根本就是相等的，這個也不需要質疑的好吧？后面就不證了，有想杠一下的再說。
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再細說一下第三種。
) u& r$ C6 h; @+ v5 B/ S$ Y0.999...999*10=9.999...999
) [# q& a; w( U2 j這個式子成不成立？顯然成立。但是是不是有一種右邊小數點少一個9的感覺？為什么？
; i2 u& u z: X) C& c }+ y9 b伽利略悖論有一句話：正偶數和自然數一樣多。
) {" q( o, i2 |+ B9 T0 U# e" b' R解讀過來，在無窮的層面上，每一個自然數都和他的2倍一一對應，有n個自然數，就有n個正偶數。
5 H' K2 q. b" g（多提一句：上例可以一一對應，但涉及無理數和實數則不行，實數對于有理數屬于高階包含，不存在映射關系了）
2 n; ]+ J: ~; ^1 h, @: P* \( w同理，每一個左邊的9，都與右邊的等位的9(其實是前一個)一一對應，相當于編程里的n=n+1,沒問題吧？
5 s$ C- H2 |, }1 i1 g因為是循環小數，數位后是n位，在無限的概念下，n和n+1沒有區別。這一點可能不太好理解，但如果你理解了上面的伽利略悖論，就很好懂了。
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另外說什么無限小數不能計算的，純屬扯淡。無限小數是位數不限，不是大小不限。再無限的小數，他的值也是有限的，不能混淆他和無窮大之間的區別。, {* `% D; M. y& l/ Z8 l
" A5 A4 m& g% a2 K# e大家都是工程師，感覺理解能力和接受能力應該高于各門戶網站的網友群體吧。有問題或者不同意見，歡迎交流。9 z; |' a+ c: O; @ k
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樓主: 冷水黃金
發表于 2021-5-20 16:38:35
這個厲害的
