0.999......到底應(yīng)不應(yīng)該等于1？

何為機械

感覺在鉆牛角

zerowing

Pascal 發(fā)表于 2014-6-15 09:45
呵呵，zero大俠，我試著解釋下。
1. 無限小數(shù)不能四則運算，不代表不能進(jìn)行不等式運算。0.111......

P大。爭論點貌似已經(jīng)清晰了，只在一個四則運算的存在意義上。呵呵，這么討論挺有意思的。
我說下我說的思路，首先，不等式的存在沒有問題，你可以說1與0.9999...的差值小于0.1,0.01,0.001等等，這些都沒問題。但是就如同說無限小數(shù)四則運算一樣，這種無限小的比較你也無法找到一個最終的“右位”，不是嗎？因為同樣找不到一個最終的“右位”，那么1和0.999...的差值又該如何定義呢？魏先生的原話提到的是“差值”，而這個值是如何得到的才是關(guān)鍵。如果沒有四則這個前提，那么這個差值本身也沒有存在的意義不是嗎？
所以，我才會提到柯西，因為柯西收斂可以解釋這個過程。或者說等比級數(shù)收斂也可以解釋這樣的一個過程。因為一個收斂的函數(shù)一定存在一個極限值。
呵呵。

Pascal

zerowing 發(fā)表于 2014-6-15 15:08
9 W* B7 [& w+ c% r4 S* R. D" |4 gP大。爭論點貌似已經(jīng)清晰了，只在一個四則運算的存在意義上。呵呵，這么討論挺有意思的。
我說下我說的思 ...

% \7 g8 M3 p* z0 @" {zero大俠：
1. 不等式不需要具體的差值。比如0.2<0.2.....<0.3, 0.1<0.1....<0.2
     由上面2個不等式可以得到0<0.2....-0.1....<0.2。我不需要具體差值的定義，就能把2個無限小數(shù)的差值控制在一個范圍了。
& c$ ^# D9 O, U. f& ^9 V3 f6 \( G8 l/ S2. 實數(shù)理論確實有好幾個體系，但零俠肯定知道這幾個體系都是等價的。分析書上都有證明。所以“討論一個數(shù)系，無論是原理還
    是論證方法，其引用最好出自一人”，我覺得沒必要。

茉莉素馨

zerowing 發(fā)表于 2014-6-15 15:08
P大。爭論點貌似已經(jīng)清晰了，只在一個四則運算的存在意義上。呵呵，這么討論挺有意思的。
我說下我說的思 ...

幾位大俠其實都是在討論實數(shù)系的構(gòu)造
記得中科大 史濟懷的書里面是用無限小數(shù)構(gòu)造的實數(shù)系
* B. Z2 Y3 d" r. ^( O而rudin的書里面，使用cauchy sequence 和 cuting 來構(gòu)造的
7 W8 e7 O! ~$ L- B) l. `/ d總之，實數(shù)這個基礎(chǔ)還是穩(wěn)固的，沒什么可爭論的
論壇里，時不時就會有人拿這個問題出來討論一下，哈哈

zerowing

Pascal 發(fā)表于 2014-6-15 20:31
  ~7 F, g0 X" d( D" `zero大俠：
) i. J8 @" ]3 h$ F9 n1. 不等式不需要具體的差值。比如0.2

1.你這么寫，本身要承認(rèn)不等號兩側(cè)的可加減性的。你可以說我不用找到一個具體的“右位”去進(jìn)位，但是卻是在應(yīng)用不等號兩側(cè)共加的性質(zhì)，不是嗎？如果這么寫是成立的。那么這種性質(zhì)跟是否應(yīng)用不等式無關(guān)，只跟是否承認(rèn)加減性有關(guān)。那么同樣也可以寫：
8 R& U" P& ^. C8 d: N$ S1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3
也就是說，這個關(guān)系中，因為承認(rèn)兩側(cè)共加的成立，所以，0.666...恒等于0.333...+0.333...。當(dāng)然，你仍然可以說，只是等于，而沒有進(jìn)行實際的四則。那么這就是我前面說的，如果存在一個公理或者一個定理，其存在一個充要的推論，那么這個推論就是可以被直接使用的。那么對于上述等式，其實質(zhì)就是定理得充要推論，又緣何有無意義之說呢？豈不是成了雙重標(biāo)準(zhǔn)？
當(dāng)然，你也可以繼續(xù)強調(diào)說，兩個無限循環(huán)小數(shù)因為不能找到最終的“右位”，所以用有限位的四則運算不符合無限的要求。其根本在于不能進(jìn)行“右位”的起始。而同樣的，在進(jìn)行1與0.999...的差值比較時，實際上在引入一個“右位”，即，無論你找到多小的一個位數(shù)值，（1/10)^a, a屬于正整數(shù)，都一定存在這個差值b，b<1(1/10)^a，即，b一定為這個無限小值的右位，而同時隱帶的一個條件就是，這個無限小值的右位如果可以被找到，就可以依次進(jìn)行四則。呵呵，沒錯吧。
6 \8 B- B2 [; J+ q那么這里就存在我說的要引用同一個源的理論的問題。
對于通常可證的1=0.999...，其基礎(chǔ)是實數(shù)的阿基米德性質(zhì)。也就是不存在非0無窮小，這也是魏先生在用一個精確的描述“差值”的原因，“其差值小于任何一個設(shè)定的常數(shù)小值”。換句話說，這個定義一定是在基于不存在非0無窮小的基礎(chǔ)上，討論一個可以被設(shè)定的有限“右位”的情況。而這個就是同張先生理論沖突的地方。張先生認(rèn)定了區(qū)間套，而不肯定有限位的四則，那么也就是說在這樣的一個區(qū)間套中，你不能設(shè)定一個有限“右位”。所以，二者不可能同時應(yīng)用的。
0 G; x( a& C/ M* u# L/ o8 P同樣的，換句話說，你承認(rèn)不等式及其性質(zhì)。那么本身１-0.999....<0.1or0.01...這樣一個不等式實際上是不滿足本身定義的。
4 D0 ]/ E" j8 k8 m, v/ r1 W! b首先，不等比式四則形式的基本是比較不等號兩側(cè)的實數(shù)。那么你可以說1<a，a為一個實數(shù)。1-0.999...<a-0.9999...。這是成立的。而，對于1-0.9999...同0.1或者0.001這樣的比較，本身則需要證明。不是嗎？因為，你并不承認(rèn)1與0.999..之間可以進(jìn)行直接的四則。那么，在不等式兩邊去比較一個實數(shù)值同一個算式的大小是沒有意義的。這就好似我不能說磚<刀。

' `/ z2 [* R* i" Q3 r總之，大俠說的四則的運算意義，其實本身就是在討論一個區(qū)間套。你定義出一個區(qū)間套，那么四則本身就要發(fā)生變化。你定義的是一個限位，那么四則本身就是另一個系統(tǒng)。所以，于我來說，我不能說服大俠接受可以四則的理論，而大俠所敘述的理論本身于我來說卻相對矛盾。哈哈。至于數(shù)系是否等價，至少目前知道的有一些是不等的。比如P進(jìn)數(shù)。因為在p進(jìn)數(shù)中，可以證明....999.99999.....這樣的無限小數(shù)是等于0的。哈哈。
! u: n* l1 s' L2 f

Pascal

zerowing 發(fā)表于 2014-6-16 00:24
6 p, |& {9 K' ~% U1.你這么寫，本身要承認(rèn)不等號兩側(cè)的可加減性的。你可以說我不用找到一個具體的“右位”去進(jìn)位，但是卻是 ...

6 k9 ]/ T1 u; T6 x3 jzero 大俠，抱歉，你這個帖子我沒怎么看懂。
1. P進(jìn)數(shù)，我沒聽說過，是實數(shù)理論之一么？
2. “承認(rèn)不等號兩側(cè)的可加減性”與“找到一個具體的“右位”去進(jìn)位”怎么就矛盾了？
3. 我不承認(rèn)1與0.999..之間可以進(jìn)行直接的四則，不代表我不能對差值的范圍進(jìn)行運算啊。

zerowing

Pascal 發(fā)表于 2014-6-16 10:49
4 r& B4 C4 L" K3 M# nzero 大俠，抱歉，你這個帖子我沒怎么看懂。
( Z* {3 G% `; Y. E3 ^1. P進(jìn)數(shù)，我沒聽說過，是實數(shù)理論之一么？
* l1 j' x$ y- c1 L) _2. “承認(rèn)不等 ...

P大，可能說得有點繞。
, T  M" W  G7 x/ f% d' h. E; B1. p進(jìn)數(shù)是有理數(shù)的一個擴展數(shù)域，但與常見的實數(shù)域拓展不同。不過我對此的認(rèn)識也緊限于知道。呵呵。但據(jù)說這個數(shù)域在前沿學(xué)科內(nèi)應(yīng)用很廣。
2. 關(guān)于差值問題。首先，只有當(dāng)你能判斷相比較的兩個實數(shù)的大小時，你才能判斷其差值。也就是所謂在一個數(shù)軸上，你要先能判斷出二者的左右關(guān)系。其次，當(dāng)你能判斷出左右關(guān)系后，你必須通過一個減法處理，才能得到一個“差值”。如果存在兩個實數(shù)ａ，ｂ。你既不能判斷其大小，又不能進(jìn)行減法，那么你該如何定義和比較ａ-b這個代數(shù)式呢？這就是我在說的矛盾。
同樣的，對于1-0.99....這個算式，你既不能判斷其大小，又不能進(jìn)行加減法，你如何得到一個其差值小于0.1,0.01這樣的結(jié)果的呢？你不要說因為他一定比0.1小這種話，因為這種說法在數(shù)學(xué)推理和證明里行不通的。你可以說，1<1.1。1-0.99..<1.1-0.99..
但卻不能得到1-0.99..<1.1-1。對嗎？對于這樣一個不等式，0.99..和1的大小在你證明前，你是不能應(yīng)用其大小概念的。
然后說右位問題，這里還要提那句，對于阿基米德性質(zhì)的完備數(shù)系，不存在非0無窮小。也就是說，lim(1/10)^n=0，而不是一個找不到右位的小數(shù)。所以，在這個前提下，魏先生的比較說法，其實在說1與0.99...的差值是一個無窮小，即0，而0是一定小于你能設(shè)定的任意小的實數(shù)的。
這里，我必須承認(rèn)一點，在存在進(jìn)位問題的無限小數(shù)運算中，這個所謂的右位其實是個麻煩。比如0.77...+0.33...。這種情況符合張先生所說的右位進(jìn)位問題。但是實際上卻不需要去找右位。因為這樣的式子其實可以寫成0.77...+0.22...+0.11...=1+0.11...=1.1...（先假設(shè)可以四則）。即實際上，這種無限小數(shù)的運算也在遵循基礎(chǔ)的整數(shù)運算時的計算規(guī)律，比如7+4=7+3+1=10+1=11。為什么要強調(diào)這個，因為雖然我們常用的是10進(jìn)制計數(shù)，但實際上存在12進(jìn)制，8進(jìn)制，2進(jìn)制等多種記數(shù)法。所以，四則運算的進(jìn)位本質(zhì)上都是在分解和結(jié)合處一個個的可進(jìn)位數(shù)，然后再逐位寫出余數(shù)這個過程中進(jìn)行的。而對于無限小數(shù)，其計算實質(zhì)也是如此。雖然，對于無理數(shù)來說，這樣的計算變得相當(dāng)困難。比如pi。而對于這類無理數(shù)，實際運算中，多數(shù)時候都是按照有限位四則運算的。因為你不能最后只寫一個4pi,5pi之類的代數(shù)。實際使用中，你是一定要有所取舍的。

5 w8 h& X" z6 j3 R2 F5 J

Pascal

zerowing 發(fā)表于 2014-6-16 13:54
P大，可能說得有點繞。
1. p進(jìn)數(shù)是有理數(shù)的一個擴展數(shù)域，但與常見的實數(shù)域拓展不同。不過我對此的認(rèn)識也 ...

- M6 v, u8 Q) t* d7 r4 F! yzero俠，這個帖子寫得很明白，謝謝！
" ]! v( O1 N0 z; r8 P我還沒想好怎么回復(fù)你，可否讓我掛下免戰(zhàn)牌？

Pascal

zerowing 發(fā)表于 2014-6-16 13:54
P大，可能說得有點繞。
1. p進(jìn)數(shù)是有理數(shù)的一個擴展數(shù)域，但與常見的實數(shù)域拓展不同。不過我對此的認(rèn)識也 ...

zero大俠：
1. 數(shù)量比較是不需要具體差值的，也就不存在假定最右一位的說法。比如咱倆來比身高，零俠身高1.8......，我身高1.7.....。咱倆只要站一起，社友們立馬就知道誰高了，但是咱倆身高具體差值他們不知道。社友們做了數(shù)量比較不等于他們計算了1.8....-1.7.....的差值。計算差值只是比較的一個手段。
2. 證明1-0.9...=0只需要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數(shù)就行了，數(shù)量比較不一定非要具體差值的。
/ b4 ]3 m$ R8 i* ~3. 數(shù)學(xué)的證明，一步步都是有來歷的，沒有定義的運算不能算，但下面幾個運算是可以的，因為有定義。
9 ]2 t5 f7 G  m0 R7 t3 r# D

0.1....-0.1.....=0
/ ]8 U- K/ d8 T9 d+ ?    1x0.1....=0.1.....
    0.1.....+0=0.1.....

/ D, W* x( k( h5 P3 g2 ]4. “如果存在一個公理或者一個定理，其存在一個充要的推論，那么這個推論就是可以被直接使用的。那么對于上述等式，其實質(zhì)就是定理得充要推論，又緣何有無意義之說呢？”
   你這句話，我承認(rèn)“如果存在一個公理或者一個定理，其存在一個充要的推論，那么這個推論就是可以被直接使用的。”
8 K/ M# y4 S  \% d2 L+ \   可是2/3=1/3+1/3=0.333...+0.333...說明了什么？只能說明2個量相等，能說明無限小數(shù)直接加是可以的？
; y) D/ P8 a6 c5 J8 b( W    比如：1+1/4+1/8+1/16+.....=(1+1/4)+(1/8+1/16)+.....，你能就此得出無窮項加法里結(jié)合律是可以用的么？


" s1 x% N" R0 Y+ k2 ?

少-俠

馬克思教導(dǎo)我們 ：具體情況具體分析，我們要以辯證的目光來看問題
- d# E+ E- e8 R! f' K! O; k其實0.9999…… 與1二者是相互滲透相互轉(zhuǎn)化相互影響。
( ~) Z4 M7 f$ @* S6 a! n6 z在一定條件下，0.99999……可以看作1 ，在一定條件下，1又可以看作0.9999……
綜上 ， 0.999999……就是1  得證