西學的代數作為思維工具的威力

逍遙處士

（這個一個很久以前寫的帖子。）
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! G' c: l: [5 n- ~) }9 z+ ?想象一個密閉容器內儲存著很多空氣粒子，這粒子數量是如此的多，以至于你無法數的過來——它幾乎是無窮多的?，F在讓你用一種方法，一下子描述這所有粒子的屬性，包括每個粒子的運動速度、它的溫度，它的質量等等。想象一下，這可能嗎？一下子將這兆億計的粒子的狀態都描述出來，這可能嗎？我們知道，即使是用思維想象跟蹤一個粒子的運動就已經很吃力了，要在腦中快速計算它的速度，和其它粒子碰撞后的運動方向，等等等等，更何況那數以兆億計的粒子——也就是說，那幾乎是絕對不可能的事。
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但是，如果你掌握了代數這個思維工具，上面的事情卻是可以做到的。
( I: v/ h; _' P2 }" ?
3 }9 l; c/ u$ R- Y) X: p2 S0 M我們假設這個容器是四方的，以它的左下角為0點，建立起直角三維坐標系，那么，這個容器內的每一個點，都將具有一個坐標：
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7 D, ~  x0 J( H' n我們將不跟蹤單個粒子，而只著眼于固定的坐標點。那么，在每一個固定的坐標點處，都必將對應著一個溫度數值，也就是：

很多人以為這不過是個表格，是個對照表，其實它的真正名字應該叫“函數”，T是x,y,z三個參數的函數，用式子表示起來就是：

這是它的簡略形式。如果是詳細形式，很可能就類似于這種：
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很多人都覺得這個式子很關鍵，覺得只有推導出了這種式子，才算完成了任務。但很多時候，這種式子是很難推導出來的。其實事實是，這個式子并不重要。我們只需要將上面那個表格，在坐標系里表示出來，也是可以的。它差不多相當于這樣：

) x$ H' m6 D& G1 s4 l6 y$ e( R這是個三維坐標系，你捏住任何一個(x,y,z)坐標值，比如(1,1,1)這個點，然后你將這個圖象放大，你就會發現在那個點上，有著一個數，也就是該點的溫度：
" h# I+ P% f. o# u0 t0 l
5 Z6 z  l# Z# T* D5 @, z無論你捏著什么坐標，在那個坐標點上，總能找到一個唯一的溫度值。這就是函數。
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再來看前面那個函數式：

它其實處于次要位置，但它卻有運算的功能。有了這個式子，你就可以利用起所有的代數方法，來研究這個密閉容器內的氣體性質。比如什么溫度梯度啊，全部點的不同密度啊，全部點的不同速度啊，等等等等，微積分也從而大派用場。
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你甚至可以描述炸彈爆炸后的溫度場，你可以用球面坐標，用T表示溫度，用r,θ,Φ來表示球面坐標點，寫下這個式子：
( R1 q9 ?9 R* }, j+ Y+ q8 i
然后做很多實驗，發現其中的物理規律，再用代數式描述出來，中間你會得到微分方程。然后通過解微分方程，最終你可能會得到T的完整表達式，就跟這種差不多：
（弄錯了，里面的參數應該是r，θ，Φ，不過意思是一樣的……）
& }( R- {2 k; p, ~% z: _于是你就知道了一個以炸彈爆炸點為球心的，一個球形空間內的任意一點溫度的描述式。你只需將該點的坐標值代入上面這個式子就行了。

6 l; U. |: C! A你甚至可以用這么一個式子，用思維一下子先從總體上把握住整個地球體內的每個點的溫度值，然后再慢慢研究。它的應用是無限的。
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! G6 l+ w1 ?/ @' i+ A4 e- U很多人很看輕思維工具的作用，認為你想的再多，你理論再好……是吧。但是，你不妨想一想，想一個例子，比如原子彈；還有相對論，光線在經過大星球時會偏轉，這簡直純粹是理性思維的成果。如果這兩個例子有點遠，你也不妨設想一個簡單的機械結構，比如三層圓筒過盈裝配在一起，它們的公差，這個論壇里面，不知道有幾人能夠標出來。

angel1399793

數值分析
' _& A& K  K/ d' x* P這是搞學術研究的基本方法。。。
" b) i" Y: A1 l& I

逍遙處士

  W- e" A& E+ w2 K9 X; ?

angel1399793 發表于 2014-6-3 14:36
# U' R- X1 r( z- ?* R  ?數值分析
+ L3 ?' W5 K7 B/ U* H' d: _這是搞學術研究的基本方法。。。

1 a# G4 ?9 \* Z4 i! E3 D1 c后生可畏！



不妨看看此圖，可以看作是油缸的中間一段，由3層缸筒嵌套，由于長度對此題影響不大，故略去。
假設都為同種材料，屈服點為σs=400MPa，。請給出三個圓管外徑公差，使本油缸承受內壓達到最大。請注意，這個最大，指的是使缸筒任何一處剛剛達到σs即可，也就是安全系數s=1。等求出這個最大內壓后，再取一個安全系數，才得出安全使用的壓力值。
8 s. M/ w3 _" m$ B; |5 [- G題目是一半實際一半理論，如果有不合理或自相矛盾的地方，及其它任何疑問，請提出。
例如，問：為什么要這樣設計？
; H" V6 L; R3 I1 _, E1 {8 ^答：油缸不一定非要這么設計，這么設計的目地，一個是這種方法確實有增大承受內壓的作用，再個是為了讓大家一起來研究。
問：實際有沒有這種例子？
6 Q: |/ b) ?. P% t; q& P3 S4 T答：有，聽說有兩層套筒的油缸，也有兩層套筒的炮筒。我們設為3層，是為了稍微增加點難度。其實還可以設為4層到10層，如果理論水平足夠的話。
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wozaicctv

這就是傳說的數學建模吧。

亂影lyy

) W6 o8 O$ O  K1 ?) X' i
我是新手，提問一下
內徑標了H6為什么還要標+0.022/0？？
H6不是已經表示出了公差帶的位置（H）和寬度（6，然后按內徑尺寸一查表就是到寬度多少了）了么？
如果要作過盈，就照著書上的推薦選型找個就好了, m5什么的？

桂花暗香

貌似高深的理論，用趣味數學表達出來-----------科普！

syxplc

天天跟油缸打交道，還真是沒有接觸到類似的問題。學習一下了，觀望中

angel1399793

逍遙處士 發表于 2014-6-3 15:46
0 C9 d: {- f/ b. P- k$ t后生可畏！

# S0 j: Z# X& C: b* e$ k沒有手算，我就簡單說一下我的思路吧。

* Y: v5 `/ P- w; G. H
2 f9 @2 h6 `# I" g; z' W% m因為是均勻的內壓，故這個物理模型可以這樣建立：
/ }9 f1 s- i  b/ S& J. r# j任一徑向截面處法應力δF,δF由內壓F/截面積δS求得，內壓用微積分很容易算出，書上一大堆例題，截面積為鋼桶剖開后截面面積（如圖）
這樣利用胡可定律，可以很容易求得線應變δl，這個應變就可以用作為鋼桶直徑的實際變化量了，
8 j) B. V0 Y/ X8 T1 r6 T) b

SYZQ1991

最愛學術貼了

偉光

一個學科成熟的標志就是可以量化 拿電氣專業為例子  麥克斯韋方程組 就是一組偏微分方程  喜歡看這樣的帖子