請教一四點支撐平臺各支點承重量計算的問題

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如下面的俯視圖，

* a5 i/ d0 A/ J% p. f  M) f  T3 Z平臺為一剛性水平臺，由彈性支撐件P1,P2,P3,P4支撐。工作臺重心為圖中W點。總質量為W.
. c, `/ }9 e' E/ g( c9 ^幾何尺寸如圖中所示.
- Q) G0 ~, [: r; d2 \請問怎樣計算各個支撐件P1,P2,P3,P4的受力大小？

  w$ T( M1 M( q4 M

李贛

1、受力
/ s# b0 g4 H9 D5 ^  q$ h5 j2、力矩
平衡

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1、受力
% @: a  e! n, y0 L2、力矩
0 w0 M+ G+ i4 G: Y8 Q; a平衡
) q8 p- u; y3 blit_hiker 發表于 2009-9-28 15:51

& C' ~& e8 R" _5 K
4 j" J9 O* I: M+ E不知道怎么建立力矩平衡方程，能詳細講下么？
謝謝

小白菜

可以先把同一側的兩點當成一點，算出來后再把合成一點的兩點的力再算一次，高中的同向平行力。

李贛

把旋轉軸設定在兩個支點上，這兩點的力的力臂為零。

草原蒙狼

樓主需要補補課  上述用平面匯交力系可解  授人與魚不如授人與漁

* `1 `6 b6 j. z$ B! f請看下面  力學教材
% a! l4 i+ Q2 q# d
! p' a2 o, D* w- Y( Z2.1 平面匯交力系

9 t9 [5 w- }7 L& F平面匯交力系的工程實例：
) G* o: c9 n5 z* ]- N. k! M/ U7 {


6 E! B3 o% g  u$ {% w3 z2.1.1 力的分解

5 g+ G+ h( u# |5 d  @+ i按照平行四邊形法則，兩個共作用點的力，可以合成為一個合力，解是唯一的；
2 r! {; k6 ]/ j/ U5 T) C: }
) z# v; G7 z( S7 @0 L5 p' q但反過來，要將一個已知力分解為兩個力，如無足夠的條件限制，其解將是不定的。

2.1.2 力在坐標軸上的投影

4 L4 O: d; @5 P5 o6 k. L


$ r( P1 ^4 W4 R; G7 C+ U% @! I3 |: l6 i注意:力的投影是代數量，它的正負規定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負值。
! C9 v# u+ x* D/ |# O7 z/ {


2.1.3合力投影定理
# J; f: X3 m' ^5 B% c6 o


9 f" \( W" k7 O  w! W3 D2 U' j$ D
& L/ S3 Z, ^2 L( B" j& t% k& M

0 J7 j  [; I, d' y) y. _
9 _# G: e- f4 ?1 v6 Y( ?

' y8 w+ t6 _9 {合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數和。
0 D  S; A- E8 _0 F4 ]& O
2.1.4 平面匯交力系的平衡條件

# ?- [- e( D8 ^5 R; k平面匯交力系可以合成為一個合力，即平面匯交力系可用其合力來代替。顯然，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即

9 _  j' p/ U3 {/ ?

即


( E8 u! j! }9 v$ [& e' m" f( x& C
+ d3 w" z& \! u- ~
力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上投影的代數和都等于零。這是兩個獨立的方程，可以求解兩個未知量。

例2-1 如圖所示為一吊環受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，與水平成30度角；F3=3000N，鉛直向下，試求合力大小。（僅是求合力大小）
/ J; y( u/ x+ r3 {
( Z! t# s' v& N/ x' J

& P6 {  l( V+ P3 Z' q例2-2 圖示為一簡易起重機裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計，各處接觸都為光滑。試求當重物被勻速提升時，桿AB、AC所受的力。


- O5 ]& O, A$ n- f7 }9 i" G
7 b! n2 R3 I! ^. {解 因為桿AB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過其對滑輪的受力分析求出。因此，取滑輪為研究對象，作出它的受力圖并以其中心為原點建立直角坐標系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有
- q6 m# L! ^1 N% t- }' J

9 w0 L7 ^1 w8 N
  G. W% Y& b0 R8 u" Q& d解靜力學平衡問題的一般方法和步驟：

1.選擇研究對象 所選研究對象應與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關系，這樣才能應用平衡條件由已知條件求未知力；

2.畫受力圖 根據研究對象所受外部載荷、約束及其性質，對研究對象進行受力分析并得出它的受力圖。

, K; a4 A; A6 i/ P1 Q# V$ F3.建立坐標系，根據平衡條件列平衡方程 在建立坐標系時，最好有一軸與一個未知力垂直。
3 h/ C: K/ M  Q
在根據平衡條件列平衡方程時，要注意各力投影的正負號。如果計算結果中出現負號時，說明原假設方向與實際受力方向相反。
4 I2 G; ^3 V+ Z. u# G) B+ ]2 q2 e
2.2 力矩與平面力偶系

2.2.1 力對點之矩?(簡稱為力矩)
0 j4 H7 G. t' T, M9 Q  h, \
% }) q4 ~5 `% s9 }. a7 U) Q1.力對點之矩的概念
  @* H0 e' F' ~' U
為了描述力對剛體運動的轉動效應，引入力對點之矩的概念。

8 o+ x8 |7 X& Y

力對點之矩用Mo（F）來表示，即 Mo(F) = ± Fd
) p8 W$ p6 ]' [
一般地，設平面上作用一力F，在平面內任取一點O——矩心，O點到力作用線的垂直距離d稱為力臂。

9 h  ?. W, D- P) w1 q

4 {9 l- H( I3 Y# pMo( F ) = ± 2△OAB
& g( q! x9 d4 D% L' c& ~5 \
+ K) E$ Y" l6 e& N  I! O3 e力對點之矩是一代數量，式中的正負號用來表明力矩的轉動方向。
2 W8 u6 U8 G9 ]# F
9 p7 q* b5 l; b+ w- B6 q* Q矩心不同，力矩不同。
  Y& _4 a$ }: K9 q0 W7 ]
3 X9 r7 F* y4 m. O規定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉動時，力矩取正號；反之，取負號。
# y$ e* }, E) \6 S  y9 b6 m, _
力矩的單位是Nmm。

由力矩的定義可知：

（1）若將力F沿其作用線移動，則因為力的大小、方向和力臂都沒有改變，所以不會改變該力對某一矩心的力矩。

$ J  T* |( s( ^1 s. i2 k（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，則d=0，即力F通過O點。

力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。

2.合力矩定理
' l, E' i* |& f5 z0 {0 {! Q& s3 ]
設在物體上A點作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。



計算力系中各力對平面內任一點O的矩，令OA=l，則
( j/ _) V0 p2 A/ L0 R: _
% f5 H/ o+ H2 d) D  p9 NMo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl

9 c6 U& b' f9 I+ mMo(F2)=F2yl
( |0 \/ [+ H- t, K" B
Mo(Fn)=Fnyl
* z! u7 _* U1 \5 f7 y( [
由上圖可以看出，合力F對O點的矩為

2 ?5 ]' A; p9 c5 ^& |; rMo(F)=Fd=Flsina=Fyl
5 ^7 V. n! L" I
據合力投影定理，有

, G( ?, p7 x2 T2 wFy=F1y+F2y+---+Fny
% T2 n+ l* _, J- Y
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl

/ N% B& ?% W5 e) J7 f) c( _即
2 o7 p- x" W/ B5 A0 c2 ~" _; W
, J. }" z) P8 v: qMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

* ]% }1 H( O  v. `+ N
6 B' [% I2 w3 O5 a( c
- [# G; V. x* J' x; \. E! K3 w合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內任意一點之矩，等于其所有分力對同一點的力矩的代數和。
6 J, s! X8 k) A
7 g+ g" x+ W% s3.力對點之矩的求法(力矩的求法)

（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。
" G' C, Q; M2 Z' v& w
注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。?
4 d6 x8 l- R' T" a0 a
（2）運用合力矩定理求力矩。力分解
  H, r: j  t3 ^, b7 E' o
% F5 r' m" L! a例2-3 如圖所示，構件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點，其方向角為 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F對O點的力矩。
6 v9 O& X5 Z0 f# U% e. n& z) n
: K; r/ u! T5 S/ @

解 （1）利用力矩的定義進行求解
0 N, [! G9 v+ _: {1 x- H
; W1 H  G* L4 o( `3 B2 u

4 ^1 W; D: ~7 z$ t  ~) `7 P如圖，過點O作出力F作用線的垂線，與其交于a點,則力臂d即為線段oa 。再過B點作力作用線的平行線，與力臂的延長線交于b點，則有


2 |3 L7 F: q/ L2 w& s/ N2 y; H
- C- B. e; x  Y; J* ]（2）利用合力矩定理求解

0 ^/ S9 N1 X) ^* I8 j將力F分解成一對正交的分力



力F的力矩就是這兩個分力對點O的力矩的代數。即
* s; |8 F5 i7 G( V! ~' j
3 j" Y8 D% T9 {/ P2 S7 S2 |Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
4 A3 B0 C" v0 I8 M* B
3 T5 R$ I1 h& i. ]' D9 \8 y2.2.2力偶及其性質

1.力偶的定義

在工程實踐中常見物體受兩個大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產生轉動。例如，用手擰水龍頭、轉動方向盤等。

. Q1 G2 w' d% j7 |7 Q, P

- L8 z3 Y" _3 ]% t$ I. ?力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構成一力偶。記作(F，F')
( a0 |1 V4 L6 E) c/ M4 E
力偶作用面——兩個力所在的平面

5 O6 n& r$ r) ]" O6 `- ]力偶臂——兩個力作用線之間的垂直距離d
! N+ R4 l  n  z# ^
9 ]2 [6 m' g+ ~力偶的轉向——力偶使物體轉動的方向

力偶只能使物體轉動或改變轉動狀態。怎樣度量？

/ [$ g  M2 a7 f1 j* w力使物體轉動的效應，用力對點的矩度量。
7 s$ U9 k( ~) L
* ]4 W+ t' d9 _0 a+ @# w; X設物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F')，該力偶對任一點O的矩為
% @: R. Y- o( C! n
$ O* g5 o! D1 ~  b  h

# q+ u/ R1 k6 v/ M# Y8 p: K# FMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd

2 ^( G/ S, u+ |" f% ^由于點O是任意選取的，故力偶對作用面內任一點的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無關）

力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
$ j0 e& a: A7 ]  \
M(F,F')=±Fd 規定：力偶逆時針轉向時，力偶矩為正，反之為負。

6 u1 t$ Y1 W4 A. k# H( }力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣，是一代數量。
# y( ]# |2 w8 ^7 L
9 a4 m, I" ]1 E) m* A* g' A" tMo(F) = ± Fd
* U( h: W- ~4 r8 {4 M$ ^
力偶的三要素——大小、轉向和作用平面
( a2 C1 @/ Z: m* |" L
2.力偶的性質

（1）力偶無合力。
1 g* S5 j+ n% S0 A. U
力偶不能用一個力來等效，也不能用一個力來平衡。

) D, p: y4 s3 ^+ P7 I2 ?$ l可以將力和力偶看成組成力系的兩個基本物理量。

（2）力偶對其作用平面內任一點的力矩，恒等于其力偶矩。
9 w) N8 y$ f5 X/ ?/ s
（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉向相同，則這兩個力偶是等效的。

( Y6 N6 c! E( j0 C! P& ^: d0 J& X力偶的等效條件：

1）力偶可以在其作用面內任意移轉而不改變它對物體的作用。即力偶對物體的作用與它在作用面內的位置無關。
# o' J! `( p+ T
6 U/ h% P9 _; ]3 X% m) V5 o- M2）只要保持力偶矩不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會改變力偶對物體的作用。
1 e% Z+ g( x% ~3 ], u
2.2.3平面力偶系的合成與平衡

/ r; _; ]3 Z1 _5 @  D平面力偶系——作用在剛體上同一平面內的多個力偶。
% V4 T6 F9 p7 {
5 e# r! ~4 |9 t9 d1.平面力偶系的合成

例 兩個力偶的合成

4 }8 v' R. y% s- t2 E
M=M1+M2+---+Mn
9 m- s% |* A2 Y3 i& [
$ p! q, c, \4 @
% k6 y4 N3 f' s; v7 v# A————力偶矩等于各分力偶矩的代數和

2.平面力偶系的平衡

& V5 }% Z5 y5 k1 a, L; d; t1 |2 o平面力偶系合成的結果為一個合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，

例2-4 梁AB 受一主動力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長l=5m ，梁的自重不計，求兩支座的約束反力。
3 n) N: m3 P2 c8 L5 L
6 I3 Z) z; ~# z8 T* W3 M
7 ]( I! R/ Z5 v; K- I4 Q
解 （1）以梁為研究對象，進行受力分析并畫出受力圖
* s% p; c! g5 r# w2 V) G2 A1 P
% L' z. i6 u% N& b9 S5 q' mFA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。

（2）列平衡方程
) k! m, K* H4 b: ^+ {
- B4 b* l9 H; d   
2 Q* B, M. S2 Q# Z
5 r' B( Q$ @. j3 ^) q$ f2.3 平面一般力系
' r" Y' X- D! ?3 b& {" c4 R" \
0 h/ i' |& H' ^& T" d2 k: D平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內，既不相交于一點又不完全平行。
7 w9 K9 p7 h+ i( y


上圖起重機橫梁AB受平面一般力系的作用

* f/ H% }/ K% M) P8 X2.3.1平面一般力系的簡化
, Z( ?1 B' ?9 v9 y
' O" H: A2 P8 A) B: x' g$ e0 }1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內移動，而不改變其對剛體的作用效應。

/ _, t' G& F- U! L. H2 b2 j問題：如果將力平移到剛體內另一位置？
2 I; ^) |$ f) V; v! O; H$ o' W& I
將作用在剛體上A點的力F平移動到剛體內任意一點O，

0 U- {+ j* T3 G9 c0 c

& t$ i' Y8 W+ @/ Y附加力偶，其力偶矩為
) C- ~9 C6 ^4 i4 j( s. u7 U6 ~- M
M(F,F'')=±Fd=Mo(F)

上式表示，附加力偶矩等于原力F對平移點的力矩。
1 f2 R. @# j, C2 y0 M. H) l7 b, g! C
于是，在作用于剛體上平移點的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應就與力F作用在A點時等效。
# O0 _' q6 K( a/ g( K
- m8 z* z3 t6 i力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點的力矩。
+ k, V( `- h1 e
# x7 |, @# s9 r根據力的平移定理，可以將力分解為一個力和一個力偶；也可以將一個力和一個力偶合成為一個力。
# \. b" ?1 b6 F3 E8 a

2.平面一般力系向平面內任意一點的簡化
$ t7 R' P, n( E$ m& H- g
4 }' z$ p- k3 |% K! E2 d

- g4 U6 M6 W2 O8 K9 O) D: P: b
9 w. m3 V4 y( J" |: f8 G1 z; L" Lα——主矢與x軸的夾角

3 E! X2 L' H+ t8 sMo——平面一般力系的主矩

主矩=各附加力偶矩的代數和。
7 ^6 q: }- P4 H& d+ @
5 |6 x. q/ `# K; D- n! M5 Z（由于每一個附加力偶矩等于原力對平移點的力矩，所以主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數和，作用在力系所在的平面上。）
: P/ h! w6 p  j) h
3 ~7 x+ z+ e6 `$ l7 k/ t9 VMo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
6 X- O5 X1 O4 x& H
平面一般力系向平面內一點簡化，得到一個主矢 F'R 和一個主矩 Mo，
; d$ A2 X6 ^* ^) j8 G, T5 ]' ~
5 _; v: P. R- e  n7 I9 [    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡化中心上。其大小和方向與簡化中心的選擇無關。

    主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數和，其值一般與簡化中心的選擇有關。

3. 簡化結果分析

  R7 _- W9 U' S+ i* F* y! ]; x    平面一般力系向平面內任一點簡化，得到一個主矢 F' R 和一個主矩 M o ，但這不是力系簡化的最終結果，如果進一步分析簡化結果，則有下列情況：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0
6 N8 \0 x/ v+ H$ W4 \( j7 n
3 u: Z3 Z7 c, l% vF'R ≠0, M o ≠0
' r& S3 L' @  Y2 ]* u( [
, A! I( f1 j( r' T3 C: D: EF'R=0, M o =0(力系平衡)
/ t3 r; y) a" `) e# x5 Z
2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡條件
9 @& A4 B- ]2 {6 e  q
平面一般力系平衡的必要與充分條件為：
/ |- z6 o( s4 @) E9 b( d4 G7 Y
- t# x# S0 x6 e9 g- W5 K
' h4 A( M0 q' x5 o1 ?; c
  
8 E; o) g$ D" b2 \
2.平面平行力系的平衡條件

平面平行力系的平衡方程為

6 x; m1 P! a2 d& I
8 U% O2 h- e" w: M9 c7 G" _
+ B/ S6 C* _3 S9 K平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，因此只能求出兩個未知量。

例2-6 塔式起重機的結構簡圖如圖所示。設機架重力 G =500kN ，重心在C點，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠距離 l =10 m 。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m 。試求起重機在滿載與空載時都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍。



解：取起重機為研究對象。
7 v3 k( S/ F; y3 V" ?2 }" C3 ^9 i
是一平面平行力系

4 C! V. d; q) N$ k+ ^- `; @3.物體系統的平衡條件
0 b+ S/ ~5 X, {1 L# c2 z
物系——由多個構件通過一定的約束組成的系統。
4 Z: \  g8 \( p
    若整個物系處于平衡時，那么組成這一物系的所有構件也處于平衡。因此在求解有關物系的平衡問題時，既可以以整個系統為研究對象，也可以取單個構件為研究對象。對于每一種選取的研究對象，一般情況下都可以列出三個獨立的平衡方程。3n

物系外力——系統外部物體對系統的作用力

物系內力——系統內部各構件之間的相互作用力

物系的外力和內力只是一個相對的概念，它們之間沒有嚴格的區別。當研究整個系統平衡時，由于其內力總是成對出現、相互抵消，因此可以不予考慮。當研究系統中某一構件或部分構件的平衡問題時，系統內其它構件對它們的作用力就又成為這一研究對象的外力，必須予以考慮。

草原蒙狼

上面沒有高級回復，所以不顯示圖形，請管理員刪除。看下面

2.1 平面匯交力系

平面匯交力系的工程實例：

2.1.1 力的分解
: g8 I+ c/ A7 Y( O按照平行四邊形法則，兩個共作用點的力，可以合成為一個合力，解是唯一的；
: @8 a; K, T# t& d* S但反過來，要將一個已知力分解為兩個力，如無足夠的條件限制，其解將是不定的。
2.1.2 力在坐標軸上的投影

注意:力的投影是代數量，它的正負規定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負值。
" Z, u. W. ?. g# I. Z3 ?
2.1.3合力投影定理
+ ]# W4 w0 w' b1 |& U* u

& h4 B' w! n7 e3 V' |4 p7 T! g 5 W( [' z3 f$ \5 V7 C5 z6 }0 c- P

! |$ C1 G; ?, x3 q. O' S0 R2 C" G4 ~4 A合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數和。
2.1.4 平面匯交力系的平衡條件
# s- m+ `# Z" r  V; {平面匯交力系可以合成為一個合力，即平面匯交力系可用其合力來代替。顯然，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即

) W0 U1 U9 l. @8 { 即

力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上投影的代數和都等于零。這是兩個獨立的方程，可以求解兩個未知量。
例2-1 如圖所示為一吊環受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，與水平成30度角；F3=3000N，鉛直向下，試求合力大小。（僅是求合力大小）

例2-2 圖示為一簡易起重機裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計，各處接觸都為光滑。試求當重物被勻速提升時，桿AB、AC所受的力。

$ v& g5 Y" ?1 Q0 @" O解 因為桿AB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過其對滑輪的受力分析求出。因此，取滑輪為研究對象，作出它的受力圖并以其中心為原點建立直角坐標系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有
  X" \& m$ |& ~9 p; F( v
解靜力學平衡問題的一般方法和步驟：
8 g( r( K  _2 A) ^  [4 E1.選擇研究對象 所選研究對象應與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關系，這樣才能應用平衡條件由已知條件求未知力；
! `1 g2 E( \. N5 U7 x2.畫受力圖 根據研究對象所受外部載荷、約束及其性質，對研究對象進行受力分析并得出它的受力圖。
" S) n+ ^! M  Y6 g" ~3.建立坐標系，根據平衡條件列平衡方程 在建立坐標系時，最好有一軸與一個未知力垂直。
在根據平衡條件列平衡方程時，要注意各力投影的正負號。如果計算結果中出現負號時，說明原假設方向與實際受力方向相反。

2.2 力矩與平面力偶系

2.2.1 力對點之矩?(簡稱為力矩)

1.力對點之矩的概念

為了描述力對剛體運動的轉動效應，引入力對點之矩的概念。

力對點之矩用Mo（F）來表示，即 Mo(F) = ± Fd
一般地，設平面上作用一力F，在平面內任取一點O——矩心，O點到力作用線的垂直距離d稱為力臂。

  G( j, Z2 k0 e( H$ DMo( F ) = ± 2△OAB
力對點之矩是一代數量，式中的正負號用來表明力矩的轉動方向。
3 G' T0 M7 I; Z: ?矩心不同，力矩不同。
規定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉動時，力矩取正號；反之，取負號。
. V9 f! e, C  I9 t3 ^力矩的單位是Nmm。
由力矩的定義可知：
# ]  v, E' s, J- Y9 d# w' k) O（1）若將力F沿其作用線移動，則因為力的大小、方向和力臂都沒有改變，所以不會改變該力對某一矩心的力矩。
0 b7 h, s, Z0 f5 R2 h6 [（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，則d=0，即力F通過O點。
力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。
8 }1 R9 N+ q; Z: ?2 j* p$ ]2.合力矩定理
1 o  W* [- n; N, V) x1 r設在物體上A點作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。
& B; }; C+ b6 R7 y
# `+ n6 w6 z% |8 L! ~5 ?% y計算力系中各力對平面內任一點O的矩，令OA=l，則
, ^9 N  o' E2 h9 {) L7 [. k0 ~Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
Mo(F2)=F2yl
Mo(Fn)=Fnyl
由上圖可以看出，合力F對O點的矩為
- c% r& O+ d; L( v8 D$ F* j, PMo(F)=Fd=Flsina=Fyl
據合力投影定理，有
Fy=F1y+F2y+---+Fny
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
即
Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
9 t1 i4 P1 p1 s% w, g0 E
合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內任意一點之矩，等于其所有分力對同一點的力矩的代數和。
3.力對點之矩的求法(力矩的求法)
（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。
, R( ]- D9 V& N' w注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。?
- Q% Q! H4 g; s2 w8 G（2）運用合力矩定理求力矩。力分解
例2-3 如圖所示，構件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點，其方向角為 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F對O點的力矩。
* m& Q, L4 U9 M
: ~- s0 ^. P. n7 k8 r解 （1）利用力矩的定義進行求解
& q1 T7 ?3 m) O3 X  Q* Q$ L/ d
如圖，過點O作出力F作用線的垂線，與其交于a點,則力臂d即為線段oa 。再過B點作力作用線的平行線，與力臂的延長線交于b點，則有
7 p% E& G2 Q, I( n
- |9 e  x4 ]- Q) ?' h& m, l1 N  S7 R% X* ]（2）利用合力矩定理求解
將力F分解成一對正交的分力
9 S& _, w1 R( Y
+ Q+ ]& l" [" E- [2 M力F的力矩就是這兩個分力對點O的力矩的代數。即
Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
- W7 t+ v8 G- l* k2.2.2力偶及其性質
1.力偶的定義
) s" f* Z& N$ ?! w' ]' g) c在工程實踐中常見物體受兩個大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產生轉動。例如，用手擰水龍頭、轉動方向盤等。
* C4 A3 F6 l, ]2 j
- r5 Y. W/ a& ~7 N力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構成一力偶。記作(F，F')
6 i; D  w& o  [! ~力偶作用面——兩個力所在的平面
& h* k! H1 ~! U1 `2 D3 \1 |力偶臂——兩個力作用線之間的垂直距離d
力偶的轉向——力偶使物體轉動的方向
力偶只能使物體轉動或改變轉動狀態。怎樣度量？
力使物體轉動的效應，用力對點的矩度量。
2 ~" L: ^0 M1 @- k" k設物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F')，該力偶對任一點O的矩為

7 T1 t% f" u5 J" @) v+ s( A8 sMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
由于點O是任意選取的，故力偶對作用面內任一點的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無關）
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
M(F,F')=±Fd 規定：力偶逆時針轉向時，力偶矩為正，反之為負。
% j, H/ ?1 i* g3 ?" E4 F力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣，是一代數量。
Mo(F) = ± Fd
, A% q/ A0 j$ M% ~8 W力偶的三要素——大小、轉向和作用平面
' U. i% P: e" }* |& S2.力偶的性質
（1）力偶無合力。
" J5 |+ T( ^& j+ L) ~( c1 e力偶不能用一個力來等效，也不能用一個力來平衡。
1 X8 T# i1 o& N5 j可以將力和力偶看成組成力系的兩個基本物理量。
（2）力偶對其作用平面內任一點的力矩，恒等于其力偶矩。
（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉向相同，則這兩個力偶是等效的。
力偶的等效條件：
+ P5 C: D/ F3 n" R- t1）力偶可以在其作用面內任意移轉而不改變它對物體的作用。即力偶對物體的作用與它在作用面內的位置無關。
2）只要保持力偶矩不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會改變力偶對物體的作用。
: _# h$ ?4 g1 z% \7 G2.2.3平面力偶系的合成與平衡
平面力偶系——作用在剛體上同一平面內的多個力偶。
1.平面力偶系的合成
例 兩個力偶的合成
4 [7 [0 v  H+ p# w- n9 {2 e

M=M1+M2+---+Mn

————力偶矩等于各分力偶矩的代數和

草原蒙狼

2.平面力偶系的平衡
% B8 R% [& n" z平面力偶系合成的結果為一個合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，
; o7 }% L8 o4 w* E# I. ?例2-4 梁AB 受一主動力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長l=5m ，梁的自重不計，求兩支座的約束反力。
0 L: u+ V9 t9 K4 H" ^$ X9 h3 F
' x  I1 D$ _2 U# O解 （1）以梁為研究對象，進行受力分析并畫出受力圖
FA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。
（2）列平衡方程
+ X' h# L3 G" e9 c/ c
" V- v3 \! x: X2 y4 T$ |

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內，既不相交于一點又不完全平行。
2 f. @/ ]0 g. E; N7 j5 K. _
8 F7 L; |! ~: f' |上圖起重機橫梁AB受平面一般力系的作用
2.3.1平面一般力系的簡化
1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內移動，而不改變其對剛體的作用效應。
" C5 Z% ^' ~3 u# `2 P' G: C問題：如果將力平移到剛體內另一位置？
7 M3 {9 Q2 H6 D3 h6 }  H將作用在剛體上A點的力F平移動到剛體內任意一點O，
: d' m% x2 b8 T+ @
附加力偶，其力偶矩為
M(F,F'')=±Fd=Mo(F)
+ w  b; d0 d: `- Q: P5 R上式表示，附加力偶矩等于原力F對平移點的力矩。
1 ~, k/ }  K; v* F1 W于是，在作用于剛體上平移點的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應就與力F作用在A點時等效。
9 A" x6 o7 G9 A2 }- a+ J力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點的力矩。
根據力的平移定理，可以將力分解為一個力和一個力偶；也可以將一個力和一個力偶合成為一個力。
# Y9 B$ l6 P+ g7 A5 r2 r
& {% g" C: C) t. ]. I4 v2.平面一般力系向平面內任意一點的簡化

6 ~6 I% c' O3 Hα——主矢與x軸的夾角
Mo——平面一般力系的主矩
主矩=各附加力偶矩的代數和。
（由于每一個附加力偶矩等于原力對平移點的力矩，所以主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數和，作用在力系所在的平面上。）
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
0 O2 v% i6 z, \$ R平面一般力系向平面內一點簡化，得到一個主矢 F'R 和一個主矩 Mo，
* s: N- b% \, I

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡化中心上。其大小和方向與簡化中心的選擇無關。

    主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數和，其值一般與簡化中心的選擇有關。

3. 簡化結果分析

    平面一般力系向平面內任一點簡化，得到一個主矢 F' R 和一個主矩 M o ，但這不是力系簡化的最終結果，如果進一步分析簡化結果，則有下列情況：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡條件

平面一般力系平衡的必要與充分條件為：

2.平面平行力系的平衡條件
平面平行力系的平衡方程為

( m2 t7 @& J- n# H4 h3 u

平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，因此只能求出兩個未知量。

例2-6 塔式起重機的結構簡圖如圖所示。設機架重力 G =500kN ，重心在C點，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠距離 l =10 m 。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m 。試求起重機在滿載與空載時都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍。

解：取起重機為研究對象。
1 m1 X; {2 k' e是一平面平行力系
( g2 L! L3 }7 S! O

3.物體系統的平衡條件

物系——由多個構件通過一定的約束組成的系統。

    若整個物系處于平衡時，那么組成這一物系的所有構件也處于平衡。因此在求解有關物系的平衡問題時，既可以以整個系統為研究對象，也可以取單個構件為研究對象。對于每一種選取的研究對象，一般情況下都可以列出三個獨立的平衡方程。3n

物系外力——系統外部物體對系統的作用力

物系內力——系統內部各構件之間的相互作用力

物系的外力和內力只是一個相對的概念，它們之間沒有嚴格的區別。當研究整個系統平衡時，由于其內力總是成對出現、相互抵消，因此可以不予考慮。當研究系統中某一構件或部分構件的平衡問題時，系統內其它構件對它們的作用力就又成為這一研究對象的外力，必須予以考慮。
. t/ y' {8 y" a8 |6 U

無能

依圖為空間平行力系，其平衡條件是：
; _* N5 P7 r) ?+ X* j, ]P1+P2+P3+P4=W
WB=(P2+P4)A
WD=(P1+P2)C
4 v. }) F6 k4 z  {3 X3個平衡方程，4個未知量，此為一次靜不定結構，必須得知各個桿件的E，補個變形協調方程，方可求解。
對鋼而言，因為其彈模E高達200Gpa，在靜不定的情況下，某一構件長或短若干微米，受力情況就面目全非（比如Φ50X4長100的鋼管，其彈變10微米，外力變動就達1噸多，不可謂不大）。所以此題若將支撐改為3個，即變身為靜定結構，求解就易如反掌了。

w9049237

8# 草原蒙狼
佩服.......無言!!