請教一四點支撐平臺各支點承重量計算的問題

easylife

如下面的俯視圖，
) H: P9 n& |/ R# X% Q7 T; v' X
: _) e+ o% L  f& e* S. p3 ?平臺為一剛性水平臺，由彈性支撐件P1,P2,P3,P4支撐。工作臺重心為圖中W點?？傎|量為W.
8 ?# Z" o( ~; [5 ]: w幾何尺寸如圖中所示.
' {0 Y3 l4 Z, P請問怎樣計算各個支撐件P1,P2,P3,P4的受力大小？

李贛

1、受力
2、力矩
平衡

easylife

1、受力
1 j! [$ i% M7 {2 Y6 f; }8 _2、力矩
6 T. m* m& _- P2 `7 {7 z& C- _平衡
0 w/ j( G) G" k; O5 C5 plit_hiker 發表于 2009-9-28 15:51

# p( O- V& a1 H6 A) l, q不知道怎么建立力矩平衡方程，能詳細講下么？
謝謝

小白菜

可以先把同一側的兩點當成一點，算出來后再把合成一點的兩點的力再算一次，高中的同向平行力。

李贛

把旋轉軸設定在兩個支點上，這兩點的力的力臂為零。

草原蒙狼

樓主需要補補課  上述用平面匯交力系可解  授人與魚不如授人與漁
8 j7 N0 m' _5 |. s* [
6 y' ~2 _3 L, }5 H請看下面  力學教材

- e1 S& U4 f) O6 U# J+ T9 h2.1 平面匯交力系
- G5 B+ I& \9 w; ?* l
平面匯交力系的工程實例：
2 r/ w( r. ^: u4 U( y3 L
* ]7 _7 m, A9 {- C

( s; F1 U$ P" F7 a2.1.1 力的分解
# s+ z' j1 x- ^/ F9 a1 ?# w% \
按照平行四邊形法則，兩個共作用點的力，可以合成為一個合力，解是唯一的；
2 F' _# y; q& Q- @
3 l- ~. g. b7 l% i* q7 [$ O9 A( N但反過來，要將一個已知力分解為兩個力，如無足夠的條件限制，其解將是不定的。
. s- Q* K; L4 }4 K* V
% k1 J( z9 Y, R2.1.2 力在坐標軸上的投影
9 T2 k. o) M& ~! T9 ?: z

( ]( l2 `. s2 \* O1 L) i
0 W# `$ i/ U# A  y. m" U
3 H- B( q. s* _$ N+ F" B, c" ?注意:力的投影是代數量，它的正負規定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負值。
% y# v- X5 }5 r8 M. {; ~# @
+ ^  j  g0 W) O& K% x; n
  |) z& o$ d3 {# Y$ M5 ?+ ]
2.1.3合力投影定理

# g) t  p5 o3 g# x/ W+ b1 J

5 s" n& e8 l+ |3 ^! i+ o* r





合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數和。
6 t8 `$ Y4 [/ x; x  O
$ `$ d, [5 \+ R- H2.1.4 平面匯交力系的平衡條件
+ D: R$ E7 s' r1 m
0 a1 Q# [  E2 K& e: T' k平面匯交力系可以合成為一個合力，即平面匯交力系可用其合力來代替。顯然，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即
( l' E& a; o* @. h5 u
1 }4 ~1 e- Q# i" n- J& w$ p, g

. \5 \( S* Y' b5 |8 ~即
7 R3 p1 Z. _) H
- u' \/ K% H4 c) v

1 l& M5 Y' `  Y# g5 |
力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上投影的代數和都等于零。這是兩個獨立的方程，可以求解兩個未知量。
! `. j  E7 l3 m, d1 B/ c8 s9 J
$ j7 o3 i1 n+ q例2-1 如圖所示為一吊環受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，與水平成30度角；F3=3000N，鉛直向下，試求合力大小。（僅是求合力大?。?br /> ) w) C% ^; ^- B, N3 P* U: W$ }

' b, \! G! q+ H7 b9 F. ~. t) _
2 |: P$ T: d. Z8 B# H4 |* [# @1 I例2-2 圖示為一簡易起重機裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計，各處接觸都為光滑。試求當重物被勻速提升時，桿AB、AC所受的力。
' J" ~5 X- R5 E- m
- `- b( @1 Y9 Z6 q
! M3 Z4 a4 Z7 A% v& Y& z; J) g
' V8 b% G6 r0 E% X解 因為桿AB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過其對滑輪的受力分析求出。因此，取滑輪為研究對象，作出它的受力圖并以其中心為原點建立直角坐標系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有
& u" N. t% Q/ R( Z9 c5 O
! l" _& n* }! j' U9 \6 j6 ]. R

. G9 J$ H2 u0 X9 ^" b$ f) u解靜力學平衡問題的一般方法和步驟：
2 m- {; f  H4 {
) S, q8 h2 Q0 i0 u/ f  t1.選擇研究對象 所選研究對象應與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關系，這樣才能應用平衡條件由已知條件求未知力；

2.畫受力圖 根據研究對象所受外部載荷、約束及其性質，對研究對象進行受力分析并得出它的受力圖。
* ^0 _, Y; ?3 {1 c
3.建立坐標系，根據平衡條件列平衡方程 在建立坐標系時，最好有一軸與一個未知力垂直。
0 H. e9 h0 E/ J
! A' W" h% W& `7 L- ?0 V& l1 b. i在根據平衡條件列平衡方程時，要注意各力投影的正負號。如果計算結果中出現負號時，說明原假設方向與實際受力方向相反。

  `4 n2 I3 s* K2.2 力矩與平面力偶系
  H7 S* R& d  \! k
2.2.1 力對點之矩?(簡稱為力矩)

, Z" I" F) c9 {' ~1.力對點之矩的概念

: S; j) Y+ S; s0 A為了描述力對剛體運動的轉動效應，引入力對點之矩的概念。

4 a8 @3 W4 f, P$ a
' W- h7 _0 j6 z3 E
2 ]/ @5 Y! C8 ~/ C力對點之矩用Mo（F）來表示，即 Mo(F) = ± Fd
3 I3 Q6 N. Y: q" e1 ?* \! p
一般地，設平面上作用一力F，在平面內任取一點O——矩心，O點到力作用線的垂直距離d稱為力臂。
7 ^! j3 Z' V# t9 b- V) @1 w

5 ?$ ~' h. I+ j" p( K) o
Mo( F ) = ± 2△OAB
$ J. {6 x. M1 b
  P! ~5 b1 h* |6 l2 r! q力對點之矩是一代數量，式中的正負號用來表明力矩的轉動方向。
& x7 c3 {0 F/ T+ z) i  b4 o; v
矩心不同，力矩不同。
. [1 L4 E! U7 e" i) e
規定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉動時，力矩取正號；反之，取負號。
* J6 ^& E! Q6 w  K. X, R& q
1 l+ j! \# e; [. J1 g; I力矩的單位是Nmm。

由力矩的定義可知：

: r: f9 F* j4 x$ q, R! U（1）若將力F沿其作用線移動，則因為力的大小、方向和力臂都沒有改變，所以不會改變該力對某一矩心的力矩。
# ^7 K2 H& G1 z4 m, o
（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，則d=0，即力F通過O點。

力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。
2 o0 \" E. e2 }$ w* j' \
8 N5 v8 d0 ^/ f; ^2.合力矩定理

3 D: n5 J7 Y) h* a# e設在物體上A點作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。



0 z! G' ?6 w1 Q( g8 h3 A2 c8 B計算力系中各力對平面內任一點O的矩，令OA=l，則
& i4 O& l6 b- T# ]
- t. E! G$ i2 l9 P5 r. }Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl

Mo(F2)=F2yl

Mo(Fn)=Fnyl
; x( a/ k) Z+ y" ~( Y* x4 c
# x) ^" ]! {! {( _+ y' d由上圖可以看出，合力F對O點的矩為
. u3 t7 G! `0 e8 ^& s: W
' Z; }( r4 }+ a/ i" t! @Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl

據合力投影定理，有

Fy=F1y+F2y+---+Fny
4 @; M& Y1 M- z
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
+ L2 w7 z( H7 ]
: X# E" x* A2 k. H, B# V% c即
: }# p& H- U9 L) @1 _, L8 t, E: E
. E, b4 c' ^: A3 F7 J4 D% eMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

7 B" E- q1 K' n# [

合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內任意一點之矩，等于其所有分力對同一點的力矩的代數和。

" G4 E( j, N, K8 |+ N0 v" ^+ H& u3.力對點之矩的求法(力矩的求法)
' Y' F$ o' F* P/ K
（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。
, O/ ^" M0 |2 {
注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。?

（2）運用合力矩定理求力矩。力分解
" d, r9 D% d) ~; d  B2 S! X6 E
& Q% p* z6 N: e5 `5 o: m例2-3 如圖所示，構件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點，其方向角為 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F對O點的力矩。

2 w; m: A: Y9 @. {( n) w) h0 j# P7 n

解 （1）利用力矩的定義進行求解
- `8 O: ^/ a  A. Y4 m- J9 _
0 U+ Q% ^! o) y! i- Q# t2 }

如圖，過點O作出力F作用線的垂線，與其交于a點,則力臂d即為線段oa 。再過B點作力作用線的平行線，與力臂的延長線交于b點，則有

+ ?1 y# `! F& R* b
! q; M, j+ P& z# }' j- t' e" y
2 @; n" T) d: J' _. P（2）利用合力矩定理求解

7 {3 ?( [( o! q4 O1 M將力F分解成一對正交的分力

4 z% W+ @$ p: l: e! H: j

力F的力矩就是這兩個分力對點O的力矩的代數。即
  V- F5 l& n# h: l% J% Z! d
Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)

2.2.2力偶及其性質
$ W9 b  b3 {( H# n# ?5 D5 {: b
1.力偶的定義
$ f( m8 Q% }9 D. Z: G
在工程實踐中常見物體受兩個大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產生轉動。例如，用手擰水龍頭、轉動方向盤等。

( N3 N- ]0 |" l8 j" H% L
" x) Q- q, B$ u
力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構成一力偶。記作(F，F')

力偶作用面——兩個力所在的平面

! k+ i3 {( [; i6 j力偶臂——兩個力作用線之間的垂直距離d
$ n, B! e2 j) u% U4 @! P  Y
力偶的轉向——力偶使物體轉動的方向
$ M  F: n+ R( c' i% [0 u8 B/ X5 d' R* r
力偶只能使物體轉動或改變轉動狀態。怎樣度量？

力使物體轉動的效應，用力對點的矩度量。
) d) E+ y* Q, A
設物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F')，該力偶對任一點O的矩為
6 T+ L7 S7 s1 ]5 y; O# W# Y

! p" C# m7 Q( |5 R
Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
0 h( B& e5 l8 f" G2 Z
由于點O是任意選取的，故力偶對作用面內任一點的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無關）

. Y/ @# s% K' Y力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
# _7 o0 l/ x" h
: }  J+ D+ c; x/ k* W# r$ CM(F,F')=±Fd 規定：力偶逆時針轉向時，力偶矩為正，反之為負。
! o% D) E+ ?8 U" k6 l% S
1 |/ ~9 Y- g  `" H1 [* f力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣，是一代數量。
; ?3 ?, D1 ~. V! |
Mo(F) = ± Fd
/ W1 n1 O' W/ F9 x2 L) G$ N
1 `3 Y5 L4 U, c* S  w* S) X- I力偶的三要素——大小、轉向和作用平面
) ^% E4 h" d5 B7 Z7 W2 l0 i* E
' v7 _9 i9 H; r5 w# ^+ Z5 z: ?2.力偶的性質
2 A( O+ t2 l& f% b! F, |
! d7 s. v( e6 Q- Q& K（1）力偶無合力。

$ _3 u# r/ C6 \) N% G' ~% }力偶不能用一個力來等效，也不能用一個力來平衡。
0 T9 ^5 [# ?, v1 [$ e! O% i
8 R4 x7 L& G. X: E6 L6 x( z, _可以將力和力偶看成組成力系的兩個基本物理量。
) K. M1 l; `% L( ?. F
; H$ b5 L* K# B- I（2）力偶對其作用平面內任一點的力矩，恒等于其力偶矩。

( Y5 T; w, U& [8 a（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉向相同，則這兩個力偶是等效的。

力偶的等效條件：
. R4 h4 k: C* e5 M6 e/ ~
( Y6 L" L$ ^6 Y' W: }; z1）力偶可以在其作用面內任意移轉而不改變它對物體的作用。即力偶對物體的作用與它在作用面內的位置無關。

9 ~+ D) q2 L" u2）只要保持力偶矩不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會改變力偶對物體的作用。
) J; Z# ]; f. U4 H8 t
, k3 n; F9 F/ R1 m2.2.3平面力偶系的合成與平衡
9 Q: }; J% o/ A& x" V5 v8 T- S
: N3 E* a! H3 ?2 y4 w% P6 o% R+ V平面力偶系——作用在剛體上同一平面內的多個力偶。
  v3 A! [. M; Q- Q: W  K; b
1.平面力偶系的合成
9 W- R: z9 r! q& m2 f8 s, T
例 兩個力偶的合成

' K+ E  R( D- ?) z+ R9 [
M=M1+M2+---+Mn


9 N8 V, Y% a5 w0 n————力偶矩等于各分力偶矩的代數和

/ e5 _/ X9 o" t: O1 e$ J/ z3 N& j2.平面力偶系的平衡

4 H) d. [+ B# A% y5 a; F7 |平面力偶系合成的結果為一個合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，
* Q# L$ e/ B. k% P2 n! g
8 H$ \) C0 a5 q% E例2-4 梁AB 受一主動力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長l=5m ，梁的自重不計，求兩支座的約束反力。



# Q' m( X. t6 V: a解 （1）以梁為研究對象，進行受力分析并畫出受力圖
2 U' k/ I2 [$ H+ R* Q/ V
FA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。
! ^+ e' P$ e* u! T5 Z4 G' ]) r
4 O2 e+ p% [$ @' T0 J1 }（2）列平衡方程

; f$ [5 e7 q/ F6 T9 v- M# B* ^   
6 j$ \" d* k8 s
2.3 平面一般力系
9 I: C# M) n- h
平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內，既不相交于一點又不完全平行。
( A, i% v; ]  ?9 O0 D2 i: s6 ?
3 ^% d# R) J/ u

上圖起重機橫梁AB受平面一般力系的作用
5 t/ [, G% E; k% F. n' B5 G4 ]0 g
2.3.1平面一般力系的簡化
/ R! \& G) H8 b2 i: p" q
1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內移動，而不改變其對剛體的作用效應。
7 K2 \( X6 r; F, W$ ^* A+ L6 v
. l+ z3 c9 R2 Q4 f問題：如果將力平移到剛體內另一位置？

: R% N9 {) I& p9 }$ E) [% Z將作用在剛體上A點的力F平移動到剛體內任意一點O，
: p+ v; G9 Z/ z2 g% V8 h


附加力偶，其力偶矩為

0 F5 n' f8 K; s: H3 ?" s; V5 T- SM(F,F'')=±Fd=Mo(F)
! f" ?4 p# |5 G8 M  r7 \: T
# w! R- r) O7 A9 B, R上式表示，附加力偶矩等于原力F對平移點的力矩。
& P8 `$ E& g9 k/ F7 \/ G2 E
于是，在作用于剛體上平移點的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應就與力F作用在A點時等效。
+ D1 o, m4 ]6 o
力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點的力矩。
0 i, N* ~" Q  h
根據力的平移定理，可以將力分解為一個力和一個力偶；也可以將一個力和一個力偶合成為一個力。
7 [2 O! S  T4 d9 t
' `; y: U8 y3 b
2.平面一般力系向平面內任意一點的簡化
6 n  C9 p4 T9 z% G  R9 x
1 H) m8 x. _( L' B; u

, o, Q+ R5 b7 b5 z. M) Q
α——主矢與x軸的夾角

6 B; S; r3 a( O# T, }. V% OMo——平面一般力系的主矩
) d9 h6 x2 r8 o5 ^2 h. N
2 u4 O8 V- |. Y主矩=各附加力偶矩的代數和。
* D* O1 w9 j& x0 ]; f4 e; v% ]1 d
- B8 ~$ L, A) D  ?  g; O（由于每一個附加力偶矩等于原力對平移點的力矩，所以主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數和，作用在力系所在的平面上。）
/ c( _* j; s3 B5 R# j" a5 s
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
5 y4 L6 P/ Q4 Y  {4 p! D- ^
平面一般力系向平面內一點簡化，得到一個主矢 F'R 和一個主矩 Mo，

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡化中心上。其大小和方向與簡化中心的選擇無關。
6 R1 g4 `+ U* ~- m6 @' O! J
8 p$ |5 O  c9 N5 _% a* X' Q    主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數和，其值一般與簡化中心的選擇有關。
/ F, h+ Z% U4 X1 o
- g& J8 M! ?0 Y' x" O3. 簡化結果分析

9 r' Y% ^% `8 H& M: C    平面一般力系向平面內任一點簡化，得到一個主矢 F' R 和一個主矩 M o ，但這不是力系簡化的最終結果，如果進一步分析簡化結果，則有下列情況：

8 u4 i- ^4 l$ t1 t& b( K! n( AF'R =0, M o ≠0
( o3 C! F0 l7 s5 T/ [0 \
9 j) {9 a* e  Y  ^; n  U' {F'R≠0, M o =0

6 w5 u1 W4 }. o4 h! ]F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)
+ z( L/ m+ S7 h! R* Q
2.3.2 平面一般力系的平衡
  E4 W1 \8 W; r! f$ k$ }
1.平面一般力系的平衡條件

, C  u% `4 s  B; ?0 G/ ]8 i* C平面一般力系平衡的必要與充分條件為：
! U- `! w) Q- Y! s5 q
6 y8 E3 }3 j" a
% t  J4 k+ _8 b7 s) R
  

* O! ^2 h) ?; \5 }# A+ T4 ]2.平面平行力系的平衡條件

平面平行力系的平衡方程為
+ A) _! S( ^  t: S, T$ A8 P
' i1 Q/ m" u) u5 V, G

平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，因此只能求出兩個未知量。

例2-6 塔式起重機的結構簡圖如圖所示。設機架重力 G =500kN ，重心在C點，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠距離 l =10 m 。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m 。試求起重機在滿載與空載時都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍。

" ?7 X# a/ N2 r, u$ L" P1 ]; z9 ^

解：取起重機為研究對象。

是一平面平行力系
: _8 M3 S7 V+ I6 j
& ]; q  u  _+ m7 c- R3.物體系統的平衡條件

物系——由多個構件通過一定的約束組成的系統。

! ?6 e/ I+ o9 T5 ~& o* k: Z- K    若整個物系處于平衡時，那么組成這一物系的所有構件也處于平衡。因此在求解有關物系的平衡問題時，既可以以整個系統為研究對象，也可以取單個構件為研究對象。對于每一種選取的研究對象，一般情況下都可以列出三個獨立的平衡方程。3n
( i. c- @) H3 Q9 h5 R, U( u
物系外力——系統外部物體對系統的作用力

物系內力——系統內部各構件之間的相互作用力
, X9 ^- L6 \/ R3 W8 \. }
) B- P1 t/ ?9 m% D物系的外力和內力只是一個相對的概念，它們之間沒有嚴格的區別。當研究整個系統平衡時，由于其內力總是成對出現、相互抵消，因此可以不予考慮。當研究系統中某一構件或部分構件的平衡問題時，系統內其它構件對它們的作用力就又成為這一研究對象的外力，必須予以考慮。

草原蒙狼

上面沒有高級回復，所以不顯示圖形，請管理員刪除。看下面

8 ]7 k7 F3 O$ w' n1 x

2.1 平面匯交力系

平面匯交力系的工程實例：

2.1.1 力的分解
按照平行四邊形法則，兩個共作用點的力，可以合成為一個合力，解是唯一的；
但反過來，要將一個已知力分解為兩個力，如無足夠的條件限制，其解將是不定的。
2.1.2 力在坐標軸上的投影
0 ~% z6 e1 q3 c) M/ `) i2 F
  B' O. i. E: A9 ?$ d# j3 q5 ]注意:力的投影是代數量，它的正負規定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負值。

' t3 s( J2 b) \2 E* P0 l2.1.3合力投影定理
! ~: m( c% S* z6 `% {6 {

2 z1 N; ~2 f; G- `( T 6 m3 a* ~" k. l* I

合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數和。
  S) L' a2 {* I! U: ^2.1.4 平面匯交力系的平衡條件
平面匯交力系可以合成為一個合力，即平面匯交力系可用其合力來代替。顯然，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即

7 t, e; y7 n$ E$ b. R 即

! e& P9 @% z- r# Y1 I力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上投影的代數和都等于零。這是兩個獨立的方程，可以求解兩個未知量。
例2-1 如圖所示為一吊環受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，與水平成30度角；F3=3000N，鉛直向下，試求合力大小。（僅是求合力大?。?font class="jammer">  u' x; }" d6 Q

例2-2 圖示為一簡易起重機裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計，各處接觸都為光滑。試求當重物被勻速提升時，桿AB、AC所受的力。

) d6 O) m' l3 m: O# Z解 因為桿AB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過其對滑輪的受力分析求出。因此，取滑輪為研究對象，作出它的受力圖并以其中心為原點建立直角坐標系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有
0 C, f$ r4 B+ j1 Z% E  i
$ F, G2 n  O* t4 y. r0 |解靜力學平衡問題的一般方法和步驟：
1.選擇研究對象 所選研究對象應與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關系，這樣才能應用平衡條件由已知條件求未知力；
" u/ g" x$ V, Q& x3 I" S8 ?* t! _$ s2.畫受力圖 根據研究對象所受外部載荷、約束及其性質，對研究對象進行受力分析并得出它的受力圖。
, v% p5 W) |, m/ ?6 _3.建立坐標系，根據平衡條件列平衡方程 在建立坐標系時，最好有一軸與一個未知力垂直。
9 W6 r4 r! v5 f* F, V/ }$ |在根據平衡條件列平衡方程時，要注意各力投影的正負號。如果計算結果中出現負號時，說明原假設方向與實際受力方向相反。
! O4 Q4 z4 p. H! @6 Q5 K+ f: _7 G; R

2.2 力矩與平面力偶系

2.2.1 力對點之矩?(簡稱為力矩)

1.力對點之矩的概念

為了描述力對剛體運動的轉動效應，引入力對點之矩的概念。

力對點之矩用Mo（F）來表示，即 Mo(F) = ± Fd
一般地，設平面上作用一力F，在平面內任取一點O——矩心，O點到力作用線的垂直距離d稱為力臂。

Mo( F ) = ± 2△OAB
& u$ o: ^8 X, r8 v  b- c$ r力對點之矩是一代數量，式中的正負號用來表明力矩的轉動方向。
矩心不同，力矩不同。
規定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉動時，力矩取正號；反之，取負號。
9 F! O$ d. z5 o2 o力矩的單位是Nmm。
6 T4 m( s+ F, G& B6 E+ \2 E由力矩的定義可知：
* N% A% \: W) Y1 z7 T# Y（1）若將力F沿其作用線移動，則因為力的大小、方向和力臂都沒有改變，所以不會改變該力對某一矩心的力矩。
（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，則d=0，即力F通過O點。
$ Y  S3 [( p) m) ]力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。
2 Y4 m' W/ e; Y; f$ t. v4 l2.合力矩定理
設在物體上A點作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。

2 \, A/ Q% l" l2 i計算力系中各力對平面內任一點O的矩，令OA=l，則
Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
Mo(F2)=F2yl
Mo(Fn)=Fnyl
! u& t0 S) E4 b( [9 w6 O: w% \由上圖可以看出，合力F對O點的矩為
Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
4 s; i4 N6 @4 S" g據合力投影定理，有
Fy=F1y+F2y+---+Fny
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
8 R! O9 _3 N( h0 c4 d即
+ }. t4 c7 T8 g& g2 nMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
- U5 [8 a. p- g7 j: F7 s: R7 z+ W
合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內任意一點之矩，等于其所有分力對同一點的力矩的代數和。
5 Y, \# h( z/ Z2 y3.力對點之矩的求法(力矩的求法)
（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。
注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。?
0 S4 K: V. ^' I" c' C2 b0 ?. \（2）運用合力矩定理求力矩。力分解
例2-3 如圖所示，構件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點，其方向角為 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F對O點的力矩。

解 （1）利用力矩的定義進行求解
1 q4 L1 ^) Y6 Q+ c' K1 K0 q  L
8 h: ^7 J) T* o如圖，過點O作出力F作用線的垂線，與其交于a點,則力臂d即為線段oa 。再過B點作力作用線的平行線，與力臂的延長線交于b點，則有
' y7 V) |4 n# L' S! l
（2）利用合力矩定理求解
將力F分解成一對正交的分力
! Z7 O% o" u7 W9 s
9 R& S* u, D' @5 R- e5 r6 P力F的力矩就是這兩個分力對點O的力矩的代數。即
) f/ ^' [, P! Q0 V! h' ~8 \, [Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
( B. ?3 ?3 C2 G4 d2.2.2力偶及其性質
0 m+ _& W% G" e4 l3 G1.力偶的定義
在工程實踐中常見物體受兩個大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產生轉動。例如，用手擰水龍頭、轉動方向盤等。
" K: u# f* x5 a
力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構成一力偶。記作(F，F')
力偶作用面——兩個力所在的平面
5 Y  R- Q4 }+ Q( m8 J力偶臂——兩個力作用線之間的垂直距離d
力偶的轉向——力偶使物體轉動的方向
力偶只能使物體轉動或改變轉動狀態。怎樣度量？
力使物體轉動的效應，用力對點的矩度量。
設物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F')，該力偶對任一點O的矩為
. t4 t3 c7 \3 ?; H. @! ]
Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
4 b2 d- v  e9 n% L# f+ u由于點O是任意選取的，故力偶對作用面內任一點的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無關）
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
# t6 ?! b& A) ]' mM(F,F')=±Fd 規定：力偶逆時針轉向時，力偶矩為正，反之為負。
6 L. l. O$ J" ~. S9 O7 a/ X3 Z力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣，是一代數量。
Mo(F) = ± Fd
6 @8 j2 B: O8 `力偶的三要素——大小、轉向和作用平面
" @7 x$ f% A2 N2 ~6 b* j6 V. P2.力偶的性質
（1）力偶無合力。
力偶不能用一個力來等效，也不能用一個力來平衡。
; a+ H% u6 T9 j+ [1 u可以將力和力偶看成組成力系的兩個基本物理量。
（2）力偶對其作用平面內任一點的力矩，恒等于其力偶矩。
3 j( }; x% C5 s: N1 D% Q2 ?$ `7 ^（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉向相同，則這兩個力偶是等效的。
力偶的等效條件：
7 Q' E2 g# ?- {; Z0 A* J1 c1）力偶可以在其作用面內任意移轉而不改變它對物體的作用。即力偶對物體的作用與它在作用面內的位置無關。
4 e: O( J# k1 ?, q* y2）只要保持力偶矩不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會改變力偶對物體的作用。
2.2.3平面力偶系的合成與平衡
平面力偶系——作用在剛體上同一平面內的多個力偶。
. G; I9 t6 h- A: g1.平面力偶系的合成
0 l( y& q( h4 \! X' Q例 兩個力偶的合成

M=M1+M2+---+Mn 9 Z! E3 N% L% `% w% }" o0 I' s! E

————力偶矩等于各分力偶矩的代數和

草原蒙狼

2.平面力偶系的平衡
平面力偶系合成的結果為一個合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，
3 V. k( R; A/ l* t% p: J例2-4 梁AB 受一主動力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長l=5m ，梁的自重不計，求兩支座的約束反力。
7 I# x5 T4 ~2 U  k% h, W
解 （1）以梁為研究對象，進行受力分析并畫出受力圖
FA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。
2 j  h1 q1 m$ d8 \1 |9 G  B（2）列平衡方程

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內，既不相交于一點又不完全平行。

上圖起重機橫梁AB受平面一般力系的作用
2.3.1平面一般力系的簡化
1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內移動，而不改變其對剛體的作用效應。
問題：如果將力平移到剛體內另一位置？
將作用在剛體上A點的力F平移動到剛體內任意一點O，

附加力偶，其力偶矩為
4 W% L# v9 [9 q( f  b7 M6 _3 U$ bM(F,F'')=±Fd=Mo(F)
# I% S( \# N) X$ Y3 l上式表示，附加力偶矩等于原力F對平移點的力矩。
& W( I3 `2 H2 m1 K8 z! e0 m于是，在作用于剛體上平移點的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應就與力F作用在A點時等效。
( B& r' v, P. j/ O# b( M; \& r力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點的力矩。
根據力的平移定理，可以將力分解為一個力和一個力偶；也可以將一個力和一個力偶合成為一個力。

" [. C+ [+ }6 M2.平面一般力系向平面內任意一點的簡化

2 |, {  H8 }1 o8 Lα——主矢與x軸的夾角
Mo——平面一般力系的主矩
* [; D  ^6 ]  i主矩=各附加力偶矩的代數和。
( P3 j* W' j& b/ w& w（由于每一個附加力偶矩等于原力對平移點的力矩，所以主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數和，作用在力系所在的平面上。）
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
* S; P0 B& y+ j1 P$ }8 q2 v平面一般力系向平面內一點簡化，得到一個主矢 F'R 和一個主矩 Mo，

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡化中心上。其大小和方向與簡化中心的選擇無關。

    主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數和，其值一般與簡化中心的選擇有關。

3. 簡化結果分析

    平面一般力系向平面內任一點簡化，得到一個主矢 F' R 和一個主矩 M o ，但這不是力系簡化的最終結果，如果進一步分析簡化結果，則有下列情況：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡條件

平面一般力系平衡的必要與充分條件為：

1 l' I% @+ F) M2.平面平行力系的平衡條件
平面平行力系的平衡方程為
4 _  o# X. {6 y$ C3 ?

平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，因此只能求出兩個未知量。

例2-6 塔式起重機的結構簡圖如圖所示。設機架重力 G =500kN ，重心在C點，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠距離 l =10 m 。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m 。試求起重機在滿載與空載時都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍。

* V* e/ d! \1 B4 ]; d" \: J解：取起重機為研究對象。
是一平面平行力系

3.物體系統的平衡條件

物系——由多個構件通過一定的約束組成的系統。

    若整個物系處于平衡時，那么組成這一物系的所有構件也處于平衡。因此在求解有關物系的平衡問題時，既可以以整個系統為研究對象，也可以取單個構件為研究對象。對于每一種選取的研究對象，一般情況下都可以列出三個獨立的平衡方程。3n

物系外力——系統外部物體對系統的作用力

物系內力——系統內部各構件之間的相互作用力

物系的外力和內力只是一個相對的概念，它們之間沒有嚴格的區別。當研究整個系統平衡時，由于其內力總是成對出現、相互抵消，因此可以不予考慮。當研究系統中某一構件或部分構件的平衡問題時，系統內其它構件對它們的作用力就又成為這一研究對象的外力，必須予以考慮。

無能

依圖為空間平行力系，其平衡條件是：
* o$ u5 C) C0 v! e& C4 h, v5 AP1+P2+P3+P4=W
WB=(P2+P4)A
WD=(P1+P2)C
1 d1 \9 P2 r0 p6 {) p! h9 Z) O3個平衡方程，4個未知量，此為一次靜不定結構，必須得知各個桿件的E，補個變形協調方程，方可求解。
對鋼而言，因為其彈模E高達200Gpa，在靜不定的情況下，某一構件長或短若干微米，受力情況就面目全非（比如Φ50X4長100的鋼管，其彈變10微米，外力變動就達1噸多，不可謂不大）。所以此題若將支撐改為3個，即變身為靜定結構，求解就易如反掌了。

w9049237

8# 草原蒙狼
佩服.......無言!!