用高等數(shù)學(xué)清掃馬路

曉昀

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      有人會(huì)說，這還不簡(jiǎn)單，哪兒沒有跑過就去跑一遍不就行了嘛。

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      這種方法的確能保證所有的道路都被打掃了，但是車子可能會(huì)在某幾段馬路上重復(fù)開，損失燃油和時(shí)間。

     北美的一個(gè)大城市多倫多在好好用數(shù)學(xué)規(guī)劃之前，每年就白白多花了3百萬美金的冤枉錢。

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      是這樣的，掃馬路、灑水車、鏟雪車這類問題在數(shù)學(xué)上屬于中國(guó)郵差問題，中國(guó)郵差問題本身早在20世紀(jì)70年代就有了靠譜的解法。

     事情還要從1962年說起。當(dāng)時(shí)，毛主席鼓勵(lì)科學(xué)家們用科學(xué)解決人民日常生活中遇到的問題。

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     我國(guó)數(shù)學(xué)家管梅谷就想到了這樣一個(gè)問題：一個(gè)郵差走遍每條街道去送信，最短路徑應(yīng)該是什么樣的？

     后來，美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究所的數(shù)學(xué)家 Alan J. Goldman 把這個(gè)問題命名為“中國(guó)郵差問題”。

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      到了1973年，加拿大滑鐵盧大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Jack Edmonds 和 IBM 研究院的計(jì)算機(jī)科學(xué)家 Ellis L. Johnson 提出了一個(gè)至今無人超越的有效算法。他們的算法要 cue 到三百年前的一個(gè)人，那就是歐拉。

      其實(shí)，歐拉在1735年就研究過一個(gè)和管梅谷類似的問題——七橋問題，并得到了一些重要的結(jié)論。

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七橋問題 圖片來源：wikipedia

       七橋問題和我們小時(shí)候玩的一筆畫的益智問題類似：在普魯士的柯尼斯堡有兩個(gè)小島，兩個(gè)小島和附近一共有7座橋連通。現(xiàn)在問題來了，怎樣規(guī)劃路線才能恰好經(jīng)過每一座橋一次？

       第二年，歐拉發(fā)了一篇論文，證明七橋問題不可解，原因是他給出了能解的一般條件，那就是每塊地都必須有偶數(shù)座橋，而七橋問題不符合這種情況。

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      后來，這類問題在數(shù)學(xué)上發(fā)展成了圖論和拓?fù)鋵W(xué)。而因?yàn)闅W拉的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，能夠一筆畫的圖被叫做歐拉圖，一筆畫的路徑被叫做歐拉路徑。

七橋問題等價(jià)于右邊這個(gè)圖形。歐拉證明，只有當(dāng)奇頂點(diǎn)的數(shù)量等于0或2時(shí)，才存在一筆畫。七橋問題的奇頂點(diǎn)（藍(lán)點(diǎn)）的數(shù)量等于4，因此無法一筆畫。

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       歐拉還證明了一張圖能一筆畫的一般情況：奇頂點(diǎn)（也就是邊的數(shù)量是奇數(shù)的頂點(diǎn)）的數(shù)量等于0或2。

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       所以按照歐拉證明的定理，中文的“串”就可以一筆寫成，因?yàn)樗钠骓旤c(diǎn)只有最上面和最下面一共兩個(gè)。

串的奇頂點(diǎn)有2個(gè)（最上和最下），因此可以一筆畫。

       下面這個(gè)德國(guó)兒童的傳統(tǒng)娛樂項(xiàng)目——Haus vom Nikolaus puzzle （圣尼古拉房屋）也可以一筆畫——

       順便說一下，圣尼古拉房屋有44種解法。

       把歐拉證明的結(jié)論推廣到中國(guó)郵差問題的情況，最難搞定的是奇數(shù)分叉的道路，遇到三岔路口、五岔路口，走回頭路幾乎是必然。

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      所以 Edmonds 他們的算法是，把奇數(shù)路口拎出來單獨(dú)算，找到這些路口間的最短路徑；而偶數(shù)岔路之間必然存在只走一次的方法，最后把兩部分拼起來就可以了。

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       但是呢，實(shí)際生活中掃馬路、灑水和鏟雪要比這復(fù)雜得多。

       比如，高速公路的整潔對(duì)司機(jī)的生命財(cái)產(chǎn)安全更重要，所以要早點(diǎn)清掃完畢；一些路段是單行線，或者對(duì)大型車輛限行。此外，“郵差”也不只一個(gè)人，而且不能無限“肝”活，清潔車之間的交接班也要考慮在內(nèi)。

       因此在現(xiàn)實(shí)生活中，中國(guó)郵差問題很難找到最優(yōu)策略，這也是為什么一開始 Edmonds 的算法沒有得到廣泛應(yīng)用。

       到了20世紀(jì)90年代，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，一些數(shù)學(xué)家開始嘗試把中國(guó)郵差問題應(yīng)用到日常生活中。比如，明尼蘇達(dá)大學(xué)的數(shù)學(xué)教授 Peh Ng 就曾用圖論的思想幫明州莫里斯市政府規(guī)劃冬季的鏟雪線路。

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       而從2001年開始，北美的一些大城市就開始用比較成熟的軟件（如 ArcGIS）來規(guī)劃鏟雪車的行車路徑。這些軟件一般會(huì)把一大塊城市交通網(wǎng)分割成一小塊一小塊的，然后分別再進(jìn)行計(jì)算。

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        比如，多倫多在用圖論原理對(duì)鏟雪線路進(jìn)行規(guī)劃后，鏟雪費(fèi)用比之前減少了三分之一，每年節(jié)省了大約3百萬美金（約合2千萬人民幣）。

       多倫多的市政道路交通的運(yùn)營(yíng)經(jīng)理 Hector Moreno 表示，在用ArcGIS之前，行車路線主要靠經(jīng)驗(yàn)和人工計(jì)算，現(xiàn)在就不需要這么麻煩了。

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波士頓市政府的應(yīng)用數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì) 圖片來源：boston.gov

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       2010年，波士頓市政府也組建了自己的數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)——Mayor's Office of New Urban Mechanics，用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)來規(guī)劃鏟雪路線。

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       像波士頓這樣的大城市用數(shù)學(xué)進(jìn)行規(guī)劃真的太有必要了。2015年，為了鏟雪，波士頓的鏟雪車一共開了47萬千米，差不多可以繞地球12圈了。鏟雪的花費(fèi)也是驚人的，那年的暴雪讓波士頓一共掏出了3500萬美金（約合2.3億人民幣）。

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2015年，波士頓的暴雪創(chuàng)下了記錄。圖片來源：newyorktimes

       除了道路養(yǎng)護(hù)，中國(guó)郵差問題的算法在很多領(lǐng)域還有應(yīng)用。比如在交互設(shè)計(jì)時(shí)，中國(guó)郵差問題就被用于終端產(chǎn)品的可用性檢測(cè)。

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舉個(gè)例子，一個(gè)手機(jī)被制造出來以后，手機(jī)制造商想要看看每個(gè)功能是不是和名稱相符。比如按下主鍵，點(diǎn)開“設(shè)置”，再點(diǎn)開“網(wǎng)絡(luò)”，是不是真的會(huì)出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)設(shè)定功能。

       因?yàn)槭謾C(jī)的功能很復(fù)雜，不同功能之間形成的網(wǎng)絡(luò)要怎么樣才能有效地走個(gè)遍，這個(gè)問題有時(shí)連制造商也搞不太明白。1996年諾基亞出的2110的菜單有88個(gè)項(xiàng)目，一共有273種操作。如果隨便按，可能一些菜單永遠(yuǎn)也不會(huì)得到檢測(cè)。

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      但是利用中國(guó)郵差問題的算法就能規(guī)劃測(cè)試路徑和計(jì)算步驟數(shù)量了：最少就只需要按594次鍵盤按鈕就可以把所有的菜單和功能都過一遍了。

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      在檢查網(wǎng)頁鏈接有沒有“死角”的時(shí)候也可以用到中國(guó)郵差問題的算法。

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      比如，富蘭克林故居的網(wǎng)站(benjaminfranklinhouse.org)有66個(gè)網(wǎng)頁，1191個(gè)超鏈接。如果網(wǎng)絡(luò)測(cè)試員沒有頭腦一頓亂點(diǎn)，不但要做無用功，有些網(wǎng)頁和鏈接可能還點(diǎn)不到。但是利用中國(guó)郵差問題的算法，測(cè)試員知道只要點(diǎn)2248次就可以測(cè)試完所有的網(wǎng)頁和超鏈接了。

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位于英國(guó)倫敦的富蘭克林故居

       歐拉路徑判定挺好掌握的呢：口中串串，乃米田共。

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大白小白

口中串串，乃米田共？？

okmeiyou

學(xué)習(xí)了。

譬如朝露

最后一句，是本文之主旨所在

曉昀

譬如朝露 發(fā)表于 2020-9-6 18:36
最后一句，是本文之主旨所在

超快速抓住重點(diǎn)。這是很有意思的一個(gè)問題。
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kayex

不能這樣的，一定要按領(lǐng)導(dǎo)規(guī)定的路線開才對(duì)，領(lǐng)導(dǎo)高興最重要！！！

魍者歸來

七橋這個(gè)是奧數(shù)的典型問題之一，噩夢(mèng)復(fù)現(xiàn)。

) s$ b- T6 L* x% F( ~說個(gè)題外話，以前還經(jīng)常有公車私用，拉警笛闖紅燈的，現(xiàn)在不少城市都開始聯(lián)網(wǎng)了，不是出任務(wù)的情況拉警笛會(huì)被處罰，確實(shí)規(guī)范了不少。

遠(yuǎn)祥

抓重點(diǎn)，提關(guān)鍵，也可以使用思維導(dǎo)圖。

wlj0202

學(xué)習(xí)一下啊了