插齒刀投影齒形與0度前角齒形的壓力角轉換（原創）

阿松

感覺大多數手冊上的公式都不太對。自己推導了一下，得出如下結果：

9 Y c1 _% j$ Q7 {) j

tan(alpha_0r)=tan(alpha_r)-tan(gama)tan(beta_r)

6 X7 s% a! l5 Y$ _5 H% J- \8 g

alpha_0r   投影齒廓任意圓上的壓力角（曲線在該點的切線與該點圓上的切線的交角）

alpha_r   0度前角時，該任意圓上的壓力角

gama   插齒刀刃磨前角（一般取5度）

beta_r   該任意圓上的螺旋角

 

) j0 F, o" N- O* q% V) N( _

我得到一個結果：投影齒形一般比理論齒形來得平坦，即，保證中圓或分度圓壓力角相等時，被加工齒輪的齒頂和齒根會被多切去一部分，也就是我們所要求的修形。

logxing

計算完了，結果完全一樣

logxing

alpha_0r   投影齒廓任意圓上的壓力角的定義是不是應該是曲線在該點的切線與該點與圓心連線的夾角？

阿松

對的，是我搞錯了。
我的描述應該這樣寫：曲線在該點的“法”線與該點圓上的切線的交角。

阿松

如果保持齒根不變，并且插齒刀齒頂圓角半徑不變，勢必使漸開線起始點離齒根越來越近，這對齒根的設計強度是會有影響的。
為了使齒根和漸開線起始點均保持不變，可使刃磨后齒頂圓角比新品時大。這也是可行的，因為負變位時的齒頂厚比正變位時大。但這也要看刀具的加工工藝了，那我可是一竅不通啊。

logxing

理論上正如你所說，但加工上齒頂后角仍然是用直線代替的。而齒頂圓半徑也不會做成變化的。我看過你blog里的一篇感想。其實任何理論應用到現實最終都是一種solution，但不同點在于，這個solution是不是基于數值方法的精確解的。我是很不喜歡從實際經驗總結出來的模糊的但可行的解決方案的，大概是因為我學的是理科而不是工科的緣故。但是基于精確解的solution，雖然實物并不是精確的，但是理論誤差我可以精確的計算出來，我覺得還是可以接受的。只要理論誤差在公差范圍內，實際使用中是不會出現問題的。而成本又不必那么高。everything is under control.哈，我就放心了。

9 A3 _; }, h T

現在插齒刀的理論誤差都討論得差不多了。已經可以做一個驗證刀具商的設計（齒根徑，漸開線起始徑）是否合理的軟件了。

附：齒頂圓角為什么要變大，公式給大家參考

阿松

看來你的方程也不太好解，嚙合壓力角也是有效外徑的函數，頭痛啊。
' B% t+ F' w( C8 L今天偶然列了個齒頂最大圓角的等式，式子很好列，但沒法解。
2 j! g' ^$ B2 R* @5 z總是有一些形如tan(f(x))=g(x)的式子，感覺有一種方法來解類似的等式。
. b1 a7 U8 t3 \+ n5 Z. z  @

logxing

我給出那個式子，是想讓大家比較方便的判斷出齒頂圓角為什么要變大。
, o4 m; p6 |5 c( o& ~根據我的那個式子，等式右邊是肯定小于1的，也就是說有效外徑變化得比外徑快，也就是說當修磨后，外徑和有效外徑的差將越來越大，即齒頂圓角會變大。
1 L' A8 a4 O7 o; X5 s1 b0 D3 Y1 Z) M如果要解的話，我就不會去求微分了，我想我會消掉嚙合角，得到一個關于外徑和有效外徑的方程。
因為齒頂圓角是同時與圓弧和漸開線相切的圓，用它作參數的話，我想形式可能會比較復雜。有了外徑和有效外徑一一對應的方程之后，再寫出外徑-齒頂圓角方程就可以了，應該和你的結果一樣吧。

阿松

剛才試著推導你的等式，但我的式子好像總是異常復雜，看來都是我以前讀書不用功的結果。
$ D1 P% Z* ?! U( i但覺得被加工齒的基圓和漸開線起始圓應該在式子里出現的，它們對齒頂和有效齒頂的關系式沒有影響嗎？

9 U3 [* z8 @& Z% `我的式子和嚙合沒有任何關系，只是已知齒頂和變位系數求齒頂最大圓角而已。
我在CAD里模擬了一個例子：刃磨前后的插齒刀的齒頂都為全圓角，齒頂以保證被加工齒齒根不變，刃磨后所加工后的漸開線起始徑比刃磨前還是要小一點（例子為外齒）。但我沒有試固定齒頂后角時的情況，會有一些變化，但花點時間都是可以計算出來的。

logxing

你的式子雖然沒有出現嚙合角，但是有基齒厚,其實其齒厚，轉位系數，嚙合角是一回事，所以你的式子和嚙合角還是有關系的，不過從形式上，可能正如你的式子 齒頂圓角-基齒厚的方程形式是最簡單的。

你做的那個例子里，因為插齒刀齒厚在變小，所以各個地方的全圓角也在變小，根據上面的討論，漸開線起始徑就會變小。

& ]) j6 e: j9 O

我的方程由下面兩式分別求微分再一比就行了，基圓和漸開線起始圓就消掉了

7 S1 j: \- O/ r- Y* K& G