解一個閥門的數學模型

明月山河

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設計一種閥門，遇到一數學模型，有點疑惑，請各位俠士支招。
/ V! ~( [3 q" o& n$ f7 v
& u+ u+ a6 K) A) n如圖的是一個扇形區域，里面分成六個格子，也就是流體的通道；格子的面積是S1～S6；相應的外半徑分別是r1~r6；格子的徑向壁厚為δ，兩側射線的壁厚為δ/2，（實際這是圓周分布的，取側壁的一半劃出扇形就成了這樣子）。可列出S和r的方程：
, T# i( H. f* M5 l: X8 y% a
. g% ?* B8 T. R5 [* Q其中δ的取值范圍為0.5～2.5已知；扇形的張角α為20～50度，已知； 格子面積S1～S6是有外部參數驅動的，數值未知，但是這里把它當成已知的；r7=5～7為已知；
r1～r6是未知數，求解它們的表達式；
當然確切的解析式是很難的，這里的表達式可以是某種近似解法，例如函數逼近公式，等等；
6 `' y8 h% `) B, c/ [目的有二：（1）看它們隨著Si，α，δ的變化規律；（2）同外部參數聯立求解一個更大的方程；
  i; a: _  k. E1 n想用對 δ 冪級數展開的方法，但是收斂速度未知，如果每個r都展開到5次項，將要求解30個方程；這個應用起來可能比較麻煩；
& V4 j9 u7 E/ u1 M* {; U$ f那位高手給點妙招；數值方法暫時不考慮；




補充內容 (2015-5-24 21:26):
; e8 Q5 f: G$ E. d) ^/ GSi中是含有外部參數驅動的函數，其中包含有r1，但是具體還沒有確定，所以要求ri關于Si的比較簡單的表達式，但是用根式表示的難以應用，不是簡單倒推迭代就行的；

陽光小院暖茶

圖呢？

明月山河

; c0 a. @) _" P% @

陽光小院暖茶

看不懂，我默默閃人了

中國龍1222

真心看不懂，，走人

shouce

6個方程    解6個未知數     理論上完全可行的

shouce

可以用   解非線性方程組的Newon法

shouce

其實就是解一個  一元二次方程     我用matlab   算了下
# G! ^& v7 G2 I* H: @/ }>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')

f =
5 S. {, D& U: Z+ I$ w$ v
(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
$ g" h, t7 b; n0 H >> finverse(f,r6)

ans =

(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a
$ B& [" W$ X; S  ]; Q1 N+ o8 Z
/ v  t$ \2 _! N4 a$ J# p>> pretty(finverse(f,r6))
! C! d* c  W, B/ X  x4 M                                 2    2  2    2   2
" v( s' \( T, rb + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
---------------------------------------------------------------
                               a

shouce

shouce 發表于 2015-5-24 21:04
其實就是解一個  一元二次方程     我用matlab   算了下
3 b) \! a/ ]! a- k; v0 l' A>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

>> syms a b c x
, W/ e% i8 B" c/ X' q2 j: i( b>> f=sym('a*x^2+b*x+c')
9 g3 R) J, P+ L9 d& T
& {! U3 Y. `. G+ R$ @9 A1 Pf =

a*x^2 + b*x + c

# K7 d) N6 {( c5 ?% D>> finverse(f,x)

ans =
: r) w6 ?, W' z- `6 o9 ]! G
-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)
) G; |  B" F+ }$ ?% e
) j; V' ]# v9 c0 W我用matlab 推導 一元二次方程求根公式      
0 u+ ^5 y- \+ q' x            
               2
/ B3 V/ F& }, A4 g  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
) w: _' L' N2 d- ----------------------------
; K! h9 o6 ~6 i. h1 [) X6 P               2 a


7 }' M0 ?4 Z! H3 g4 c: V7 E2 e0 V5 l這個也含有X  估計  可以刪除
/ A  J( Y  D3 u7 T+ b
- f1 X! V) u* o* c* `# [
6 o  V8 f6 \0 X( n+ o/ \. q) O