一款另類的橢圓規 ---- 外嚙合1:1傳動

動靜之機

* Q4 M: P* v  Y$ D* p- R& j
這兩天比較愉快。小子連闖兩道關，考上了南外初中。
# l/ Z# v; F# b% t3千多人抽簽（絕大多數都是有備而來的主），2560人中簽，然后考試，錄取320人，男女各半。
$ ~' t- k8 F# e
那天考完，出口處所有的孩子都苦著臉出來，說數學太難（出題也用英語）。
俺家的亦是如此，說還有大概20多題沒空做（至少30分沒了，總分150分的卷子）。
不過此次考試沒考這類轉幾圈的題目，呵呵，瞎擔心了：
一個簡單的考題考倒一大片! ---- 續I
$ f7 e! ]0 w& W  [0 \8 Whttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503

一周前，俺發了這個帖子：
% {1 `- u+ T: C7 H( w! G怎樣車橢圓
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983

" K- ]1 o$ T, C6 L里面提到的德國網站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有這么幾個橢圓規：

1 ?( B( @/ k$ d% S0 L: T1 n這個就是十字滑軌式的，已經在“怎樣車橢圓”帖子里說清楚了。

& Q3 i  `  `4 e1 A
這個顯然是利用內齒輪嚙合的機構，大小直徑比為2，這也說過了。
: ?1 z7 D$ ?$ P) H
; z4 B6 O. g1 [3 q
/ t3 g' [$ D- b9 n: ~對這第三個東東，俺一下子沒看明白。該網站只是說該橢圓規機構
允許在機構旁邊作畫（切割）因此可以作很小的橢圓。
" D  {2 S! B% K- O  @5 m: W
6 x7 Z/ s  l% w+ Y4 f+ R: n6 o2 i圖片搜索該照片的名稱Kopp-Ellipsograph發現有這么一張圖，簡直一摸一樣：
* @- a2 Q+ C1 T3 R% F* Q, ]. M（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）
$ v  S) g, O7 O( C
, n: a9 ~2 \# R, o

意味著有相關文章可看，大喜，點擊過去，十幾秒后，頁面終于打開，暈倒。

有人感慨“它認識我，我不認識它”大概就這意思。

不死心，重新搜關鍵詞，找到一個鏈接，對該機構有些許說明：

http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34
最下方提到參考書名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves
1 u1 h. ~  Z0 x于是搜來（估計是蘇聯圖書的英譯版）。抱歉，11M，就不上傳了。

$ {/ e! p& ~+ B( R1 k翻遍全書，發現在105，106頁，有個證明（PS拼接如下）：

+ ]7 I1 V1 S; ?1 a+ V# I: d這個證明和照片里的橢圓規不太一樣。
1 ]% r: U9 _2 c; Q0 s/ D% w5 H
好吧，為了安心，也因為今兒個高興，把照片里的機構也畫瓢地證一遍：
設仿形機構放大系數為K，即DC=K*DM，兩個起點都在X軸上且都處在自身
圓心的右側（計算比較方便）。左側齒輪逆時針旋轉，右側順時針旋轉。

- k0 g  N2 _5 l1 v% l
對于C點X坐標，分別從r2 r3 兩條路找到關系式：
0 O& Y% ]9 J- z/ Dr2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x         
0 b/ J% l9 B3 U  K& [* ?2 Sr3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x  
消去Cosβ參數，得到:
(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα  ------------------- A
) z( Z6 ~7 y6 M- [0 M: f+ q
0 j/ s3 }0 o; q
' k0 N; {$ J& I# H& H# D對于C點y坐標，分別從r2 r3兩條路找到關系式：
/ T4 ?! F- }  hr2Sinα-y =k*DM*Sinβ         
-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ
0 ]1 \: u& A. U" |, _, B* {* k消去Sinβ參數，得到:
2 v7 a, y0 `( C) Z6 [8 C% v- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα       ------------------------ B
3 l, K+ ]& s+ C) c" m1 {  Z- U  v5 b( a
0 j4 w8 g! s6 x
把A式和B式綜合起來，就是（但愿全部步驟沒錯）:
2 q: W. K. ]+ k! g+ ]; Y6 N2 {
: o2 j( u2 A2 _9 ]; v# {4 f
$ y6 q2 `6 s! x1 ~8 i' w* x- e這顯然是個圓心分布于X軸(2k-1)R處，長半軸 (k-1)r2 + kr3 ，短半軸為 (k-1)r2 - kr3  絕對值的橢圓。

α=90度時，兩個驅動臂互為180度，畫出橢圓長半軸最低點。
2 y/ Y& G; W: S3 D; I( G
若起始時，選取的某點已有初始角度，例如左側所取得點已經逆時針轉過180度，右側尚未動，則
5 a$ d$ |4 a4 J9 E( j6 ]. q意味著兩個驅動臂已經提前達180度角，那么當前畫出的點將是長半軸，而且在X軸上。也就是說，
- o3 ]' \) k8 p- x7 R) d; f輸出的橢圓雖然大小完全沒變，但相對于例證，已經轉過90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。
4 p4 n  _; v9 Y3 _" L$ y
6 t: M5 @  d. z4 U回頭再看看那個滿眼鳥語的維基原圖的證明，就釋然了。

3 r2 a, z0 V. V+ h, o6 a不妨拿這個仿形機構來說明：
- {* M: h: R8 i0 v, G( g8 u

2 [. Y9 j; j% }
7 f4 d$ N! J9 i9 p) f  i0 h這個機構簡直天生為就是兩個復矢量的合成縮放準備的。
% F$ `1 F& X; S+ f4 Q5 L& k' X
' L0 ~7 U9 W6 a' i公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味著，若左側輸入Za，中間輸入Zb，右側輸出為Zm。
假設Za不動，放大作用使Zm為K倍的Zb，假設Zb不動，則杠桿作用使Zm為k-1倍的Za，
不過由于處于杠桿的兩側，動作相反，因此有個負號。

8 U1 i8 @8 k, a# z4 S# e4 _一般的應用都把其中一個點定死，一個點輸入另一個點輸出，例如某些古老的仿形機床。
/ z4 S; @- H7 F日內瓦湖畔的瑞士軍刀小店用的軍刀刻字機，也用這種機構。老板把客人的姓名字母凹
模板（約20x30毫米，厚2毫米）在軌道上排列好，然后用仿形機構縮刻在刀柄上。
( C" D6 B; o% J$ x9 b" Z  s只有西文字母可選？ 嗯，下次誰有機會去的話，先帶上自己名字的中文模板哦。。。

4 n" T5 q$ b$ M2 W3 E

, ~8 A  X% U' o7 D5 `+ s/ {. P

949457130

挺有意思！

從不孤單

挺好挺好

劍南春17385

厲害！?。?font class="jammer">/ N' y- W1 Z" A, @- R/ S
還證明。。。。佩服，真沉得下心！

low-key

真是不錯

夕陽書生

好貼，頂一個

GRL889

好強大啊

王大9997

高手啊，長見識了

shasu

平常能看到的那個 做鑰匙的機器 是仿形的吧

gctdxy

厲害長見識了