在紙上畫三角形，無論是怎樣畫，把三角形里面的3個(gè)角加起來，都會(huì)等于 180度 即使是畫100個(gè)、1000個(gè)，也絕對(duì)不會(huì)有一個(gè)例外。有誰不信，不妨動(dòng)手畫上1萬個(gè)，再用量角器去量一量?！ ∧敲?，能不能找到一種三角形，它的內(nèi)角和不等于180度 呢？
' m& M' c. [* a3 R 在200年前，如果有誰提出了這樣一個(gè)問題，準(zhǔn)會(huì)有人對(duì)他嗤之以鼻："哼，這也用問，三角形的內(nèi)角和等于180度，這是幾何書中的一個(gè)定理！"
, G: O$ Y; s3 X0 b! V0 L 定理就是經(jīng)過邏輯推理證明是正確的數(shù)學(xué)結(jié)論。如果有誰不信"邪"，仍要問一聲："這個(gè)定理就一定那么可靠嗎？"那么，人們就會(huì)搬來經(jīng)典著作《幾何原本》，翻開頭幾頁，指著"第5公設(shè)"對(duì)他說："瞧，這個(gè)定理的正確性可以由它來保證。" 9 n% ]3 x1 E3 k( `) x7 s
公設(shè)也就是公理，是一些最基本的數(shù)學(xué)結(jié)論，它們的正確性經(jīng)過了實(shí)踐的反復(fù)證明，是不證自明的。不朽名著《幾何原本》中的全部定理，都建立在10個(gè)公理的基礎(chǔ)上。有誰敢懷疑"三角形的內(nèi)角和等于180度 "這個(gè)定理，也就等于是懷疑第5公設(shè)有問題。如果連公理也有問題，豈不是所有的幾何定理都值得懷疑了嗎？
6 T$ b% z5 ~" Z. g 第5公設(shè)也就是"平行公理"，它的意思是："在平面內(nèi)，過已知直線外的一個(gè)點(diǎn)，可以作而且只能作一條直線與已知直線相平行。"試試看，過直線外的一個(gè)點(diǎn)，你能作出第2條平行線來嗎？
Q2 ]9 K: x k2 J6 q 既然有第5公設(shè)作保證，三角形的內(nèi)角和看來也就只好都等于180度 了。' L% j2 R F s3 q" h
不過，數(shù)學(xué)家們對(duì)這個(gè)"第5公設(shè)"是不大滿意的。這倒不是懷疑它有什么錯(cuò)誤，而是覺得它不像其他的公理那樣一目了然，很像是一個(gè)定理，于是試圖用其他的9個(gè)公理把它證明出來，進(jìn)而將它從公理的行列中趕出去。
7 U9 R4 o$ N# x( I9 z& D6 L 《幾何原本》問世后的2000多年里，數(shù)學(xué)家傾注了無窮無盡的智慧，始終也未能證明出第5公設(shè)。雖然有不少人曾宣稱解決了這個(gè)問題，但一檢查就發(fā)現(xiàn)，他們不是證明過程有錯(cuò)誤，就是用一個(gè)更不明顯的公理代替了第5公設(shè)。無可奈何之下，大數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾稱它是"幾何學(xué)中的家丑"。( B7 s |3 ~. x3 D; c, s( ~
19世紀(jì)初，有個(gè)叫亞諾什·波里亞的匈牙利青年，決定獻(xiàn)身于第5公設(shè)的研究。他父親是個(gè)數(shù)學(xué)家，聽到這個(gè)消息給嚇壞了。盡管父子倆天天生活在一起，老波里亞為了鄭重其事，竟用筆給兒子寫了一封勸告信。
" d7 Y p. C. T- b 波里亞深知父親的苦惱和失望，但他沒有知難而退，義無反顧地闖進(jìn)了這個(gè)"毫無希望的黑夜"。他很快就發(fā)現(xiàn)，只要改變第5公設(shè)，就可以創(chuàng)造出一種新的幾何學(xué)來，于是提出了一個(gè)新的平行公理：
" b0 A2 ~, h+ L3 L }: o8 @( s- C "在平面內(nèi)，過已知直線外的一個(gè)點(diǎn)，至少可以作兩條直線與已知直線相平行。) v1 B+ l6 n$ B# q
這個(gè)新公理否定了平行線的唯一性。以它為基礎(chǔ)，再加上原來的9個(gè)公理，就組成了一門新的幾何學(xué)，叫雙曲幾何學(xué)。凡是與舊的平行公理有關(guān)的定理，在雙曲幾何學(xué)中統(tǒng)統(tǒng)變得面目全非，產(chǎn)生回許多聞所未聞的新結(jié)論。例如，在雙曲幾何學(xué)中，不存在矩形，也不存在相似三角形。最有趣的是，不同的三角形就有不同的內(nèi)角和，而它們又都比180度 ?。?font class="jammer">/ p; o$ X' D' A8 V( ~+ z$ ~
能夠作出一種三角形，使它的內(nèi)角和小于180度？對(duì)于習(xí)慣在傳統(tǒng)幾何的框框里生活的人來說，這不啻是個(gè)"荒誕無稽"的海外奇談。連老波里亞也無法理解兒子的創(chuàng)造，斷然拒絕了幫助發(fā)表的請(qǐng)求，直到1832年，由于兒子的再三請(qǐng)求，老波里亞才勉強(qiáng)同意將它作為一個(gè)附錄，隨同自己的著作一起出版。 f" R9 i, u% W0 o
老波里亞與"數(shù)學(xué)王子"高斯是大學(xué)時(shí)代的同窗好友，他把"附錄"的清樣寄給高斯，想聽聽這位數(shù)學(xué)權(quán)威的意見。1832年3月，高斯在回信中熱情稱贊小波里亞"有極高的天才"，但同時(shí)又說，他不便公開贊許，因?yàn)榉Q贊波里亞就等于稱贊他自己。 \3 ^; |& J" _5 O8 M+ V+ C8 s- S
原來，在此之前16年，高斯就已作出了同樣的發(fā)現(xiàn)。但他小心翼翼地隱藏了自己的研究，唯恐這種新幾何學(xué)在直觀上的"荒誕無稽"而遭到人恥笑。* \$ i: t' \$ q2 W5 N8 T
捍衛(wèi)真理是需要勇氣的。
/ W! O9 o+ W# ~* n! r 早在波里亞著作發(fā)表之前6年，在遙遠(yuǎn)的俄羅斯大地上，已經(jīng)有位叫羅巴切夫斯基的勇士，率先亮出了這門新幾何學(xué)的旗幟。3 d% o9 U% N) Z
羅巴切夫斯基是一個(gè)偉大的俄國數(shù)學(xué)家。他獨(dú)立地作出了同樣的發(fā)現(xiàn)，并為捍衛(wèi)新幾何學(xué)戰(zhàn)斗了一生。當(dāng)時(shí)，數(shù)學(xué)家們不理解他，認(rèn)為內(nèi)角和小于180度的三角形是一個(gè)"笑話"，有人嘲笑他是"對(duì)有學(xué)問的數(shù)學(xué)家的諷刺"。而一些仇視革命思想的人，更是趁機(jī)對(duì)他進(jìn)行惡毒的攻擊和下流的謾罵。這一切都沒有使羅巴切夫斯基退卻，他接二連三地發(fā)表數(shù)學(xué)著作，甚至當(dāng)他已成為一個(gè)瞎眼老人時(shí)，仍然念念不忘口授了一部《泛幾何學(xué)》，為這門新幾何學(xué)在數(shù)學(xué)王國里取得合理的地位而大聲疾呼。由于羅巴切夫斯基最先昭示了新幾何學(xué)的誕生，所以雙曲幾何學(xué)又叫羅氏幾何學(xué)。2 J. Y1 ~3 |. V& o% z
羅巴切夫斯基、波里亞和高斯，用他們創(chuàng)造性的工作，動(dòng)搖了"只能有一種可能的幾何"的傳統(tǒng)觀念，為創(chuàng)造不同體系的幾何開辟了道路。1854年，就在人們?nèi)栽诒г沽_氏幾何學(xué)"不可思議"時(shí)，高斯的學(xué)生黎曼，又給幾何王國增添了一種新的幾何學(xué)。, p3 K2 D+ c8 |% n" L& ]1 f
黎曼提出了另一種新的平行公理：
$ c7 H6 |9 j d; Z7 y9 F, T4 z "在平面上，過已知直線外的一個(gè)點(diǎn)，不能作直線與已知直線相平行。"
; ^5 F+ |6 F/ W- H0 @ 這個(gè)新公理干脆否定了平行線的存在性。以它為基礎(chǔ)，再加上原來的9個(gè)公理，就組成了橢圓幾何學(xué)，也叫黎曼幾何學(xué)。
4 H) A1 S M9 b* ^3 G 在這種新的幾何學(xué)里，三角形的內(nèi)角和等于多少度呢？有趣得很，它既不等于180度 ，也不小于180度，而是大于180度 。
; l0 g3 c6 `) H$ J5 J* U! _% z 黎曼幾何學(xué)中還有許多奇妙的結(jié)論，例如，"直線的長是有限的，但卻無止境。"要弄懂這些理論非常困難。據(jù)說，當(dāng)黎曼第一次宣讀這方面的論文時(shí)，除了高斯以外，會(huì)場(chǎng)上竟找不出第二個(gè)能夠聽懂的人。
) H7 u8 C* Z4 D* } 羅氏幾何學(xué)與黎曼幾何學(xué)都是"純粹人造的"幾何學(xué)，與人們的常識(shí)相悖，乍看起來都顯得非常不可思議。實(shí)際上，它們比傳統(tǒng)的幾何學(xué)更加深刻地反映了現(xiàn)實(shí)世界的空間形式。舉一個(gè)最著名的例子：愛因斯坦創(chuàng)立的廣義相對(duì)論，就是以黎曼幾何學(xué)的空間概念為基礎(chǔ)的！根據(jù)相對(duì)論學(xué)說，現(xiàn)實(shí)空間會(huì)發(fā)生彎曲，到處是新幾何學(xué)的用武之地。
* t6 L0 I5 |: }1 r/ [$ j 相傳高斯做過一次有趣的實(shí)驗(yàn)，他把相距很遠(yuǎn)的3座山峰，看作是三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，然后計(jì)算它的內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)它竟大于180度 。這正是黎曼幾何學(xué)的結(jié)論。也許有人會(huì)說："這不是一個(gè)三角形。因?yàn)樗辉谝粋€(gè)平面上，而是在地球這個(gè)曲面上！"那么，哪里去找平面呢？運(yùn)動(dòng)場(chǎng)是平面嗎？池塘水面是平面嗎？它們都是地球這個(gè)曲面的一部分。這樣，又上哪里去找平面上的三角形呢？如果沒有三角形，怎么會(huì)有內(nèi)角和等于180度呢？
' U4 B9 S8 K7 N5 A( U$ G, r2 X# L 羅氏幾何學(xué)與黎曼幾何學(xué)更精確地反映了現(xiàn)實(shí)空間，但是，在我們的日常生活里，傳統(tǒng)幾何學(xué)已經(jīng)足夠精確了。在我們的視野范圍內(nèi)，水平面是非常接近于平面的。實(shí)際上，我們也根本無法測(cè)出它的彎曲度。這樣，測(cè)量水面上一個(gè)三角形的內(nèi)角和，雖然它實(shí)際上并不等于180度，我們卻無法測(cè)出它與真值之間的誤差。所以，在我們身邊這個(gè)不大不小的空間里，傳統(tǒng)的幾何學(xué)仍然是適用的。5 H! ?' c5 L( t
因此，在紙上畫三角形，無論是怎樣畫，把它的3個(gè)內(nèi)角加起來，都會(huì)等于180度 。但我們也應(yīng)當(dāng)知道，在數(shù)學(xué)王國里，確實(shí)還有一些"稀奇古怪"的三角形，它的內(nèi)角和是不等于180度 的。
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發(fā)表于 2012-3-16 20:00:04
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