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機械社區

標題: 一個有意思的題目，微積分的力量 [打印本頁]
作者: pacelife    時間: 2017-7-13 12:08
標題: 一個有意思的題目，微積分的力量
        題目其實比較常見，和機械中的某些概念也有互通之處，大家畫圖累了不妨做一下換換腦子。9 p* B! O& `  n/ S: y
. z: ]8 Y& u' Y7 @8 c
      非洲草原上有一條南北向筆直的河，一只羚羊在河邊喝水，其身后距離為L處有一只虎視眈眈的獅子。某時刻羚羊發現了獅子，立刻以速度v向北奔跑，獅子迅速以速度2v奮起追擊，方向始終對準羚羊，試問獅子經過多長時間能夠追上羚羊？要求畫出羚羊和獅子的動態行進軌跡。
. x3 n" N" S  U) V# T* P. v5 j
6 n0 z- S: q6 t6 X      晚上回去把我的解法貼出來* v) I* U' D' d2 i2 q- K) H+ U. E& M
+ P4 B2 ?. G: }9 h4 a9 B7 e
& `; G+ r6 {8 V0 @! ~! f
0 u5 v1 F2 Y$ o- ]" U. J  S' q

8 E5 n6 z3 H! w, G/ M. u6 Y2 i
作者: 鐵未銷    時間: 2017-7-13 13:28
本帖最后由 鐵未銷 于 2017-7-13 13:30 編輯
7 B* S. `! W4 ?5 ~% J
$ l5 g) V. G7 p- |難道不是t=L/V？4 o7 t  S5 Z- x7 u% Z
作者: pacelife    時間: 2017-7-13 13:33
鐵未銷 發表于 2017-7-13 13:28
" Q; L! o3 n4 Z. I7 d難道不是t=L/V？
) R4 G  r- b0 X( C, C, ?
逃跑的方位你沒搞清楚
& B7 G, x$ ?, g
作者: WXB4006    時間: 2017-7-13 13:49
有難度$ \5 g- K' u- J
作者: 忽樂極    時間: 2017-7-13 13:51
別最后來個冷笑話就行
作者: 那年夏天521    時間: 2017-7-13 14:11
hehe
作者: 挨拍的5    時間: 2017-7-13 14:16
永遠追不上的
作者: 鐵未銷    時間: 2017-7-13 14:16
pacelife 發表于 2017-7-13 13:33
% T; A- x% Q4 v逃跑的方位你沒搞清楚

! e6 V, {- f3 ?7 R  ]2 R# c好吧，看來這個身后是東西向的了
( C& j+ J% ^- z
, E- `4 u2 z# A9 b
作者: 只有快樂    時間: 2017-7-13 14:44
近乎于一條曲線，無限接近于0點
作者: 挨拍的5    時間: 2017-7-13 15:52
很明顯要用微積分的知識
作者: xiaobing86203    時間: 2017-7-13 17:35
數學的力量是強大的~
作者: 夢回舊時光    時間: 2017-7-13 18:08
獅子運動軌跡的切線方向一直指向羚羊。
作者: 水秀天藍    時間: 2017-7-13 18:15
導彈的模型。
作者: 水秀天藍    時間: 2017-7-13 18:17
這個應是一個二階非線性微分方程，可轉化為一階方程，并且存在解析解，甚至是顯函數表示的。
作者: 蘇州裝配工    時間: 2017-7-13 20:51
結果是（2/3L-2）* 根號L？5 O' A) D, I9 V) O9 w) u
4 x- m  K* H. B2 @* g9 u
! I7 t  K& ]2 L% f
作者: 楊冬冬    時間: 2017-7-13 21:06
dy/dt=2v* (L-y)/√[(〖(L-y)〗^2+〖(Vt)〗^2 )],當t=0,y=0；解這個方程y=L，就得出時間。有沒有解析解不知道，但我們是工程師，數值解法搞定
作者: pacelife    時間: 2017-7-13 22:00
本帖最后由 pacelife 于 2017-7-15 08:38 編輯
6 A! G+ ~0 _/ b
5 u7 G: V& [- n% R4 I; C* k解析解為：
- Q: k) N8 Q* L% T% t% H% ]' e[attach]427922[/attach]9 K4 ~4 H6 M3 u- ~4 W$ k
% |6 ]( n4 b( w2 ~1 C
下面動畫為L=100，v=1的情況：
/ d( s1 c- D6 s* O- z  G' {, l表達式為：9 y! A) i6 z  F# q, V( M
[attach]427920[/attach]
( s& ~4 \7 Z5 L( J! [因為x值為（-100,0），所以表達式中會有個i，7 e( {8 h+ L4 G- ~( i
按F5刷新一下看動畫，
; o' z& {/ N: M5 V) w- C
) l' i- Y: Z$ r4 x% E- t& S[attach]427919[/attach]
作者: 水秀天藍    時間: 2017-7-13 22:47
轉化為極坐標是否可行，好像求導變換蠻復雜，可能真要Maple才行。
作者: gerrard    時間: 2017-7-14 09:08
試著解一下
; [3 B" O1 G4 l0 k9 f7 A4 y
: S6 Z5 r: V% ^  [# R& X
作者: pacelife    時間: 2017-7-14 09:39
我的解法：[attach]427846[/attach]
9 A1 u- `) F( |' b, M# `
0 I; @; o* ]) M, I
3 O  i( ]4 O+ |! P' e
7 \! Z0 D. s0 f5 S; z! v3 K- A7 Z7 _+ L' Q. r+ e. c% ]
作者: 動靜之機    時間: 2017-7-16 00:47
回去翻書，網搜，找到有關資料，復習了一下。
0 P, Q( y6 G0 a( ~, H 抄作業如下：& M# q: o3 |2 ]) Q" n* h
[attach]427993[/attach]$ P* p, g% k) f1 T$ b; l2 }; P1 }

& G- c7 g9 A8 s8 K  w- u% U動圖， 俺就不會畫了。。。
/ B% _5 s# E. x" ^8 |1 y+ \
0 D" t* I7 R" X' d* \5 \
作者: 動靜之機    時間: 2017-7-16 10:50
昨晚一犯困，沒算時間，如果是考試， 又得丟分。- b$ o" I" B$ u5 k& ]
[attach]428020[/attach]
5 s! K; u# K7 S7 O
( i$ w5 ~2 K. U1 F$ x
& A$ l: q* _3 o獅子確實是花了同樣的時間，跑了兩倍的路程。

) B" r1 t3 ^5 T$ y$ ?- l. f2 ~
沒辦法，都是為了活命。
阿彌陀佛。。。。。。
7 X* B% _  A( B, J
% N3 T* b6 Z7 Z* I1 Q4 h
0 T) Q$ ~; c& S
8 `! c8 Q" O) i. @7 M) e$ e
作者: 我是烏鴉啊啊啊    時間: 2017-7-16 13:21
pacelife 發表于 2017-7-13 22:00
, W3 C! x: h1 q) X; K3 T3 o解析解為：

# x' |2 e3 E; C6 p+ a- N; g; ?那最后這個題的答案是多少啊，方便把動圖的代碼貼出來嘛1 E; f% M8 B" p0 u: S3 {/ W
作者: zhuzai    時間: 2017-7-16 14:23
pacelife 發表于 2017-7-14 09:396 C/ C8 [0 K' M1 }
我的解法：

* y8 m& g% l3 N" U能詳細點嗎？
9 Z8 }1 Y, F4 e$ r1 K; a
作者: 我是烏鴉啊啊啊    時間: 2017-7-17 17:54
我是烏鴉啊啊啊 發表于 2017-7-16 13:21
6 _8 o6 d+ Q7 o$ F1 o2 {那最后這個題的答案是多少啊，方便把動圖的代碼貼出來嘛

+ G( J! {0 t/ ?' @/ z' F+ n恩，有看到，那個動圖是用Mathematica做出來的吧，想看看代碼可以嘛
& U" w6 x! z# r, E9 K4 W2 z% [
作者: 肥啊肥    時間: 2017-7-17 19:48
pacelife 發表于 2017-7-13 22:00) f# S; N: C! c' t9 i$ E4 {& D
解析解為：

1 t" }+ {4 n+ [! t能把動圖的代碼發一下么，應該是mathematic吧1 b/ ]$ S$ u* r, I) l7 q' \
作者: 段學斌    時間: 2017-7-18 20:21
求mathematic的代碼
作者: pacelife    時間: 2017-7-19 22:05
我是烏鴉啊啊啊 發表于 2017-7-17 17:54
9 u6 O/ z) v, J. Z9 ?3 |. L恩，有看到，那個動圖是用Mathematica做出來的吧，想看看代碼可以嘛

9 ?7 E; z. e- uK = DSolve[{-V/(x*f''[x])*Sqrt[1 + f'[x]^2] == 2*V, f[-L] == 0, 2 |9 V  p5 W' Y; b' R2 l& o) u8 A
    f'[-L] == 0}, {f[x]}, x];/ m+ T* A5 \& ?& P/ i
M = K /. {V -> 1, L -> 100};6 j, B2 I- p7 ?$ H9 f- _* S& E
Manipulate[! }& [& v; n5 Q( n  {6 V6 h/ [1 ~
Plot[M[[2, 1, 2]], {x, -100, 0},
' K; E) s9 a" {% C1 V6 w  Epilog -> {PointSize[0.01], Black,
  M, P7 {" e: _; {1 G; w4 v    Point[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,
* x9 S6 s+ @! Q! \       M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}], Red, Dashed, ; ]' z3 j! l' E" o1 i# H
    Line[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,
+ D) U8 z) q7 N1 i       M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}]}], {a, -100, . z6 g" ?: i9 n, R8 K8 _
  0}]& m, M; R. g# q* A$ N5 S7 r
Export["1.gif",
) z# r$ U8 c) |) R, y0 x. G3 w4 T Table[Plot[M[[2, 1, 2]], {x, -100, 0},
0 x1 @  V/ `* L   Epilog -> {PointSize[0.01], Black, , ]1 }6 k4 @$ h+ C. H: C
     Point[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,
/ t. J9 D  O1 f5 C, @        M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}], Red, Dashed,
5 y6 r8 l9 k# S: S% D      Line[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0, # P- W  P- }) P" p
        M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}]}], {a, ; I5 g/ z( W% K6 p
   Join[Range[-100, -1], {-0.0001}]}]]
, V: E* e5 d. i+ l6 W  z' y. ^/ ?0 @2 R2 g) k1 @. T9 J' K6 y
作者: myfunction    時間: 2017-7-21 18:03
學習了。
作者: 快樂ipk    時間: 2017-8-7 22:33
太好了，非常感謝樓主的分享!
作者: qq5847271217    時間: 2017-8-9 16:38
不是很懂你們，也許是我太傻，我這么看：
/ m. P5 b9 k  e( B% h0 E7 H 獅子位于0，8 ~+ g; P. H( b1 x
羊位于L 4 b; Y" u: s- F
羊最終被抓的路程為S15 u! [9 P0 z+ I) |- k0 f
獅子最終路程為S1+L* E! p$ |) Z4 N3 \& N
S1=Vt% c. u  \3 w. x9 n, v
S1+L=2Vt
5 Z& c: c: n; v; G# e' |9 G/ F 可以得知L=VT - F+ G; l* _- u0 @$ [
8 S3 W9 E2 N! t- W* g3 a9 d# e  Y

7 V7 f" h9 c: l% {% k然后畫位移與時間的方程圖，是兩條相交的直線。然后還有啥？



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