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標題: 公理——數學的基礎 [打印本頁]
作者: 掃街    時間: 2014-10-16 11:19
標題: 公理——數學的基礎
在傳統邏輯中，公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明時，因果關系畢竟不能無限地追溯，而需停止于無需證明的公理。通常公理都很簡單，且符合直覺，如“a+b=b+a”。
) I2 b0 t1 l1 m$ O不同的系統，會預計不同的公理。例如非歐幾何的公理，和歐氏幾何的公理就有一點不同。比如說我們看歐式幾何。在幾個簡單的公理假設下，我們可以得到一系列的結論，很多是深刻的，甚至是反直覺的。在建立這個模型之后，一個重要的問題就是我們需要幾個公理來建立這個模型。比如歐式幾何的每個公設是可以由其他公理得出的一個定理/結論？還是必須也是一個公理？
" A# J& M) m7 Z0 X9 [, e1 J8 E比如歐式幾何里“過給定直線外一點，有且僅有一條直線與之平行”在很長時間內是不清楚它的位置的，后來發現對于歐式幾何，你可以認為是這個體系的“公理”，只有認定它，才有后來的美妙結論。
* f) n# E. l1 X# p, J; V沒有它呢？那時你就進入了另一個模型，你會得到其他的美妙結論：）# a2 I' r: y5 ?( G) q+ m
所以，在不同的公理假設下，我們得到了不同的數學體系，以此為基礎，我們就可以得到對現實和對數學本身的各種模型。這種公理化的一個好處是，當你覺得現在的數學模型并不適合現實，或者并不滿足理論發展需要時，有可能只是你假設了太多的公理前提，換一套公理，換一套前提，你就能得到很不一樣的數學體系，原本的困難可能就很容易解決了。
6 w/ t0 D; e# O" i0 Y( y不證自明性是公理的特點，這也是為什么數學家質疑歐幾里得的第五公設——平行公理的原因，平行公理看起來并不象其他幾條公理一樣明白了當（比如第一條公設：任意兩個點可以通過一條直線連接），而非歐幾何的建立，也正說明了第五公設的不必要性。
6 `9 U; c! o# ^: v從一方面說，公理也可以看作是對于一些一般經驗的總結，這些總結是無可爭議的正確的，還用第一公設說，“任意兩個點可以通過一條直線連接”不管這直線如何定義，總之兩點之間可以連出一條線（天知道在哪一維空間里就是一條直線叻？），這既符合直覺，也是簡單明確的事實。
3 P5 s2 ]2 Y% f' j  Z+ ~( H) e; m& V從數學邏輯的角度，要證明一個定理就要證明導出這個定理的定理，進而要證明導出導出這個定理的定理的定理.......這樣一直往回走，我們需要證明一個定理串，如果這個過程無限回溯顯然是不可接受的，必須要有一些“東西”作為這個定理串的源頭，回溯的過程終止與這個源頭，這個源頭我們就說它是“公理”，當然如果這個源頭與某條已知公理違背，則這一串就都是假命題了。
0 e/ r3 W* C$ w+ N5 b3 K: c" V1 h扯遠了，回到公理上來，形式主義數學家如希爾伯特，就通過建立形式化公理體系，把數學帶到了一個更加嚴密的世界中來了。每一套公理體系中的公理，必須互相獨立，且相容，否則就有矛盾了。所以一個公理背后是一套公理體系，這樣就構成了一套數學的基礎。* B, I  ^( x$ S. c% |2 L
數學的圖景也沒有那么統一的，一套非偶的公理體系，就一個非偶幾何空間（當然希爾伯特老先生的幾何公理體系吧幾何學統一了.....可不可以不要這么強大嘛~~）；一個連續統假設，分出兩個數學的世界，
  E! ]6 |) U" r) ?總之公理，公理體系，就是數學的的底樁。
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4 A9 y9 a, y3 W9 [- P& G; V點評：
$ J* |$ {% c: E3 r# A' H那問題就來了，三角形的內角和為什么是180度% Y1 J! F( W7 H1 d; ?) H7 d' e

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作者: 鬼魅道長    時間: 2014-10-16 11:58
倒時差中，無聊ing+ Y! ~4 s) b" T/ M; R4 \
證明：任意三角形內角和為180°- M. d* L0 v" I3 j; B3 G
證：設三角形三端點為A,B,C，其對應邊為a，b，c
  [/ `/ M: u3 I/ M0 [) ^       通過A點做一條直線l，使 l 與邊 a 平行
- J5 |" u' b$ I; W, u3 p" T- _      由平行線定律可知，角BCA與角CAl 相等，角CBA與角BAl 相等
- j1 i) ^8 N4 q* j- I7 c1 _      由圖中可知，角CAl+角BAl+角CAB組成直線l8 q7 k* |* q9 h- G
      由公理：直線夾角180°，0 {( n4 w! A1 N* D, u2 i$ i
      可知任意三角形內角和180°! s" W+ t, j2 j8 Q7 O4 b  q% l
證完
/ n$ n! u+ r9 w# T- y! J: P' ^; }6 p
l 是雙向的，所以其實這個證明不完整，懶得再畫圖了，就這樣吧。
3 k% N' I: W/ A" O0 T; Q( S, L  ^% G今兒個我真閑，哈。
作者: 米fans    時間: 2014-10-16 12:08
大蝦好功力
作者: 探索號QM    時間: 2014-10-16 12:54
建議大家參考維基百科---球面三角學." a  d5 f$ O- T. H% ?: k
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%AD%B8
作者: pain    時間: 2014-10-16 12:57
三角形的內角和是180度 是定理而不是公理。
% v9 I" q- y& \& v這個不用解釋。
作者: Pascal    時間: 2014-10-17 11:55
還有基本概念也是數學的基礎。4 m8 C0 V& t* y
就拿咱們熟悉的歐氏幾何為例，在定義、公理的基礎上，才能推出后面的命題。
, t" Z7 A9 s: R( [: h定義就是概念。
作者: lglabc2008    時間: 2014-10-17 21:54
學習了
作者: 三八大蓋    時間: 2014-10-18 10:46
我怎么記得上中學的時候老師給過證明
作者: 405452975    時間: 2014-10-18 16:07
學習！！
作者: 樂小白    時間: 2014-10-19 08:51
這個問題畫個圖出來看很明顯就能證明，前提是認可平行線定理，當然也可以先求證平形線定理。
) C) h& A0 y* j5 F3 H, r看到樓主的問題讓我想起來高中時候的一個問題：1/3=0.33333…………無限循環根據等式定理兩邊同乘以3得出的是3/3=0.99999999……無限循環，那么問題來了：1=0.99999……無限循環是怎么解釋的？！
作者: Pascal    時間: 2014-10-19 12:22
樂小白 發表于 2014-10-19 08:51 ) e' Z4 W7 h* \: T# V+ z
這個問題畫個圖出來看很明顯就能證明，前提是認可平行線定理，當然也可以先求證平形線定理。3 i7 z/ x6 h# u# _
看到樓主的問 ...

( P: {" M  G7 b( Z  截圖來自張奠宙的《現代數學與中學數學》P109
9 B) `, b: U; j# ^$ o' h$ U) E+ n. X9 Q. y$ l

. o2 [9 c5 h1 t# H- k" I4 P
作者: Pascal    時間: 2014-10-19 12:36
樂小白 發表于 2014-10-19 08:51
1 v" j4 {/ F9 ?/ T% `1 g這個問題畫個圖出來看很明顯就能證明，前提是認可平行線定理，當然也可以先求證平形線定理。
' c4 g/ V7 h, ?( B' A) g看到樓主的問 ...

0 W7 Y& t# I1 y; g. Y; V加德納的《無限過程——數學的分析的背景》P74~75, P143
( ^" Y5 V# F. m7 U0 {2 e: }5 h4 x4 t' M9 F2 G% I. {& E0 D

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作者: 樂小白    時間: 2014-10-19 14:20
Pascal 發表于 2014-10-19 12:36
- a. ^6 P# u$ K7 R加德納的《無限過程——數學的分析的背景》P74~75, P143
4 `" V, n: F1 o0 ^% k$ C
受教了，原來前人已經有了相關的研究，多謝大俠賜教！
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