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標題: 0.999......到底應不應該等于1？ [打印本頁]
作者: fanwort 時間: 2014-6-13 20:46
標題: 0.999......到底應不應該等于1？
今天跟大家探討一個數學問題（別人提出的）：0.999...到底是否應該=1，如果你急著說：NO！請繼續往下看！
; R! m3 f: K; S/ {$ V大家都知道：0.3333.....=1/3
# I1 W n7 V M7 D兩邊同事乘以3得到：0.999.....=1/3*3=1
8 h# x+ L* l* O# ?1 |如果你仍然堅持自己的看法，那么請繼續...6 r. V. w' `" k
0.999.....乘以10: 10*（0.999....）=9.999.....& v, F: l- M( ^; g
兩邊同時減掉0.999： 10*（0.999....）-1*（0.999...）=9.99...-0.999...8 J2 d: D# f X9 \* r/ O# {/ u" s; X
得到了9*（0.999...）=9# i2 r. j/ M3 w6 B
什么數乘以9等于9，當然是1啦！* R) I! J& n* C# _2 D$ I6 E
% a& \4 }: w$ n/ |5 o3 R& T$ _$ y
4 `. f& a" \1 A. s, q
作者: xiuguoz 時間: 2014-6-13 20:55
0.333333=1/3？，
作者: LIAOYAO 時間: 2014-6-13 21:00
已役于物矣
作者: peace80 時間: 2014-6-13 21:24
按照數學極限理論，0.9999后面的省略號趨向于無窮大的時候就等于1.3 X, [( ^0 {6 a( N+ E3 z
不過如果用我們最有中國特色的回答，那就是：看情況。( @6 e0 w& W. f' z h
哈哈，以上純屬灌水，樓下繼續。
作者: 滬北機工 時間: 2014-6-13 21:34
對于這個問題，看過一個專門的解答。和4樓說的一樣，按照高等數學的極限理論，這個等式確實存在。
作者: HC小丁 時間: 2014-6-13 21:37
小學生的可以做的題
作者: 王虎剩大將軍！ 時間: 2014-6-13 21:38
也想了解
作者: 好方案 時間: 2014-6-13 21:40
偷換概念。而已。
作者: muratec139 時間: 2014-6-13 21:42
球體積的計算公式，也根據極限法得出來的。0.999…=1，這個可以有~
作者: 我很呆 時間: 2014-6-13 21:47
誰告訴你0.333333就等于1除以3的？
作者: Pascal 時間: 2014-6-13 22:13
證明過程中的2大錯誤。2 b. c1 L$ [, \
1. 呆俠和2樓的社友已指出，不贅述。
4 n1 K+ o( N3 ^* T: ~; {2. 無限小數可以加減乘除么？仔細想想再回答。
作者: fanwort 時間: 2014-6-13 22:27
無限小數就是通過除法得出來的！當然也可以乘除啦！
作者: zhuxuwei8 時間: 2014-6-13 22:42
那我在想pi == 3.1415926.。。。？？？
& ?; K9 H5 a, G4 x1 m. ~/ U此樓灌水，樓下繼續。。。
作者: Cavalier_Ricky 時間: 2014-6-13 22:44
想起梅超風了......
作者: zerowing 時間: 2014-6-13 22:47
Pascal 發表于 2014-6-13 22:13 
9 G7 {4 I6 U6 _6 r2 R
證明過程中的2大錯誤。
+ b+ r8 h% C% U: t# d1. 呆俠和2樓的社友已指出，不贅述。' ^* b6 i1 H0 O7 ~
2. 無限小數可以加減乘除么？仔細想想再回答 ...
5 F8 m/ T& b( v* j T# R6 X5 I第一個問題。0.333........這樣的無限循環小數是否等于1/3。答案是肯定的。因為首先，循環小數的定義就是“有理數的小數表示”。而像0.3333......這樣的無限循環小數恰好是1/3的小數表示形式。這個是有據可循的。
; S3 Y+ @" ]! c, D& S第二個問題，是否可以四則運算。答案也是肯定的。
' \& H. `5 ?+ d6 l7 r首先，無限循環小數可以通過"分數化法＂轉化為分數。而分數是可以四則運算的。所以，這樣的小數也可以四則運算。
作者: Pascal 時間: 2014-6-13 23:42
zerowing 發表于 2014-6-13 22:47 4 c; [' o& b9 c3 L
第一個問題。0.333........這樣的無限循環小數是否等于1/3。答案是肯定的。因為首先，循環小數的定義就是 ...
# \$ k O4 B5 p2 W u# B- |1 \問題一是我表述錯誤。
8 _& R! u a+ t, O- j0 Y1. 首先0.9......=1和0.333.......=1/3在標準分析中，結論是對的。
2 E9 [! N! T6 u; r2. 我想表達的是0.333.......=1/3不能作為已知結論來證明0.9......=1。0.333.......=1/3本身需要證明。0 f! g+ ~" t- |' s) J: B) u- e8 ^
作者: 品豐-程 時間: 2014-6-14 01:07
本帖最后由 品豐-程 于 2014-6-14 01:09 編輯
' t% M7 V/ d+ |0 T/ m, U' a2 [( m, [( R0 f8 n& s0 ^& K+ y% X% m* y
0.99999999的N次方你看是不是1？就像你做設備，每個地方都差一點，材料差，工藝差，熱處理差，裝配差，調試差，養護差，那你這臺設備還能和別人的一樣好用？
作者: 逍遙處士 時間: 2014-6-14 07:50
每隔一段時間，這個問題總會出現。
作者: 策源地 時間: 2014-6-14 12:00
是 微積分原理就是這個，無窮小，無限細化處理 p' }5 n9 \& ~' @: ]
作者: 品豐-程 時間: 2014-6-14 12:04
@zerowing 大俠如果0.99999999999的分數形式可以看作為1/3*3=1 這樣的確等于1，這是分數的計算公式規則決定的結果。但個人認為0.9999999999999的無限循環單不等于1，他只是無限接近于1。
作者: Pascal 時間: 2014-6-14 12:07
zerowing 發表于 2014-6-13 22:47 $ h I$ U; S% l) P4 w. H8 T2 ~% Y6 c
第一個問題。0.333........這樣的無限循環小數是否等于1/3。答案是肯定的。因為首先，循環小數的定義就是 ...
1. 實數理論里，是沒有0.333....=1/3這個定義的，這個結論是計算/證明出來的。7 r! b/ d4 _9 K3 {- ^7 Z
2. 無限小數是不能直接四則運算的，當然可以轉化為分數再運算，但LZ的證明過程是直接運算的。7 ^5 A( i8 N# C$ `, w
7 W# r# H" H& t% X! M6 C- ?3 h3 p
作者: zerowing 時間: 2014-6-14 12:51
本帖最后由 zerowing 于 2014-6-14 12:54 編輯 9 E" ~+ Z3 z$ S' O: |, |
Pascal 發表于 2014-6-14 12:07 . r$ l+ C" ]3 {
1. 實數理論里，是沒有0.333....=1/3這個定義的，這個結論是計算/證明出來的。
& I! N2 Y9 V* ~. K7 H2. 無限小數是不能直接四 ...
1。大俠說的這個沒有定義，俺不想過多的去爭。http://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal
! a) h/ l, F* W9 L7 o這里有維基的網址，至少從這里的說法看，0.3333...是被定義為分數1/3的小數形式的。% }! \$ G! @2 V9 }8 |2 E
2。對于四則運算，無論是在證明0.999...是否等于1里，還是在無限循環小數的逆反算分數里都有直接使用。俺不敢茍同大俠的這個觀點。
, ~5 C* N$ L# L/ ?! N1 n3。附帶一問，如果無限循環小數不能直接四則運算，那么為什么無理數可以？比如pi。
作者: Pascal 時間: 2014-6-14 16:30
zerowing 發表于 2014-6-14 12:51
2 F( G ]2 _- Y4 w5 X- t1。大俠說的這個沒有定義，俺不想過多的去爭。http://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal
Y* z4 E' t/ g! a這里有維 ...
1. 好吧，咱們不爭論1/3的定義問題。. `5 Q+ U" w8 i( e
2. 我先回答第3問吧，π的計算，比如π+π，答案就是2π，不可能把π展開來再相加。
+ w2 _% z0 W$ S8 D, ^) X e" e3. 無限小數怎么和10乘，2個無限小數怎么相加，都是沒有定義過的運算。盡管有時候答案是對的，但運算是非法的。事實上，2 個無限小數要加要乘，從哪一位算起呢？進位怎么辦？都是問題。
0 A+ c5 r1 G" F4. 1/9+1/9=2/9，沒問題；但0.1111.....+0.1111.....=0.2222......就不行。
作者: Pascal 時間: 2014-6-14 17:26
截圖來自華師大張奠宙先生的《現代數學與中學數學》P109
% f: s; s/ N6 J8 j& b) R
作者: huhengjie 時間: 2014-6-14 17:41
理論與實際是存在差距的
作者: Pascal 時間: 2014-6-14 18:23
LZ的論證雖然有問題，但結論本身是正確的。" S' _+ R% H1 V" f& Y d v( r1 I
怎么證明?品豐社友前面都寫出來一些了。7 e9 I) h) f/ g& p' W# B% l% @
截圖來自克萊因《高觀點下的初等數學》第一卷 P28
作者: zerowing 時間: 2014-6-14 22:34
Pascal 發表于 2014-6-14 18:23
9 ~! m$ e0 Z N+ w% j. {7 m- ]( gLZ的論證雖然有問題，但結論本身是正確的。5 L8 k' w8 `) `$ ?# l
怎么證明?品豐社友前面都寫出來一些了。" u5 _% |( c# N) v( Z6 X; F
截圖來自克萊因《高觀 ...
呵呵,大俠,你不覺得你引用的這段定義和之前的張先生的講法矛盾嗎?8 N% _5 \& b: l7 c- z
既然無限小數不能四則運算,那么又怎么冒出一個其差值無限小呢?如果0.1111....+0.11111....不能找到一個具體的數位進行性計算，那為什么1-0.9999....就可以呢？這豈不成了雙重標準？. c& }( T/ \5 T5 a7 n+ {
同樣的，你也說了，計算Pi就是直接算pi+pi，那么，如果說無限循環小數的定義說成立，0.333.....+0.333...和1/3+1/3有什么區別呢？6 X) i6 P( H) @+ L$ P3 [/ r
總之，個人認為，討論一個數系，無論是原理還是論證方法，其引用最好出自一人。至少可以肯定張先生的理論同魏先生存在分歧。而魏先生的理論，其實是從另一個角度去闡述柯西序列。即，有理數x和y之間的距離定義為絕對值|x − y|，其中絕對值|z|定義為z和−z的最大值，因此總是非負的。這樣實數便被定義為關于這個距離的具有柯西序列性質的有理數序列。也就是說，每一個實數都是一個柯西收斂的數列（x0，x1，x2，…）。這是一個從自然數到有理數的映射，使得對于任何正有理數δ，總存在一個N，使得對于所有的m、n > N，都有|xm − xn| ≤ δ。（兩項之間的距離變得比任何正的有理數都要小。）
/ n% P* ]- z4 \' P另外，可以一提的，在數學中，如果一個定理可以被由公理證明，且這個定理存在一個由其推出的充要推論，那么這個定理和推論都可以直接應用。那么1/3=0.33....是否屬于這樣的一個判定序列內呢？如果屬于，那么四則為什么成為無意義的呢？
' @9 N: S9 N7 Q' Z. r2 r類似的例子比如說平行線定理及其推論，如果說可以類比的話，作為公理，我們同樣認為平行線是兩條無線長度時都不會相交的直線，那么同樣的，如果一條直線上存在有限距離的兩個點，且這兩個分別在兩條平行線上，那么這條直線與平行線相交。如果存在無限距離的兩個點，那么這條直線是平行于平行線呢還是相交呢？呵呵。因為，如果你一定要強調無限小數的四則運算中因為不能找到一個確定的位數來進行計算，那么同樣的，這條具有無限距離的兩個點的直線，同樣無法找到一個確定的距離，或者說無法找到交點的確實位置，那么這種時候是平行還是相交呢？5 k9 j Y- n. _$ Q! P5 h
另外，說句個人理解，張先生的說法實際上是一種悖論。非錯非對，因為你從任何兩個相反的角度去論證都能得到一個合理的結果。所以，沒必要糾結于此。在完備數系之中，無論是四則還是定義，應用即可。
作者: Pascal 時間: 2014-6-15 09:45
本帖最后由 Pascal 于 2014-6-15 09:47 編輯
7 A9 w% K" K) E2 F; F( X; X* `! R- N7 S, Y6 R! Y4 c
呵呵，zero大俠，我試著解釋下。" s U$ ]. I5 Q+ r
1. 無限小數不能四則運算，不代表不能進行不等式運算。0.111......<1，數學上是承認的。同樣，魏先生算出來1-0.999...了么？沒有，但是他對差值進行了不等式運算。請再讀下魏先生的話。
9 y2 |% l. R" t, B& [2. 我在23樓有個補充說明，“”但0.1111.....+0.1111.....=0.2222......就不行“，不是說這個等式不成立，而是說這種直接加的運算不行”。
8 z" D+ u/ _4 P: f+ J. G3. 0.333.....+0.333...和1/3+1/3有什么區別呢？0.333.....+0.333...在數量上等于2/3，但這種直接加的運算是非法的。結論正確不代表運算過程正確，這在數學中太常見了。5 d' t( e2 ^, p. c7 g$ ^# O' R- A
4. 我也曾經想過，既然0.333.....+0.333...在數量上等于2/3，那可不可以自己來定義下無限小數的運算規則？理論上是可以的，數學不就是如此嗎？當然，給出的定義不能與已有的公理體系相矛盾！不過我沒這個能力去定義。4 d+ c8 t' `4 b
5. 平行問題，我的回答是兩條線是平行的，也可以說它們相交于無窮遠。
作者: Pascal 時間: 2014-6-15 11:13
截圖來自加德納的《無限過程——數學的分析的背景》P74~75, P143# O/ ] H% w, T& a+ e
作者: Pascal 時間: 2014-6-15 11:14
剛沒粘貼上。
作者: 何為機械 時間: 2014-6-15 14:52
感覺在鉆牛角
作者: zerowing 時間: 2014-6-15 15:08
Pascal 發表于 2014-6-15 09:45
( d) _7 o/ V. L呵呵，zero大俠，我試著解釋下。* a1 j) p' H& B' e5 @( Q4 m3 u
1. 無限小數不能四則運算，不代表不能進行不等式運算。0.111......
9 Y- |7 [- G/ k6 CP大。爭論點貌似已經清晰了，只在一個四則運算的存在意義上。呵呵，這么討論挺有意思的。8 l8 V! C0 P! f" G3 d5 _
我說下我說的思路，首先，不等式的存在沒有問題，你可以說1與0.9999...的差值小于0.1,0.01,0.001等等，這些都沒問題。但是就如同說無限小數四則運算一樣，這種無限小的比較你也無法找到一個最終的“右位”，不是嗎？因為同樣找不到一個最終的“右位”，那么1和0.999...的差值又該如何定義呢？魏先生的原話提到的是“差值”，而這個值是如何得到的才是關鍵。如果沒有四則這個前提，那么這個差值本身也沒有存在的意義不是嗎？
( v, L* ^, P3 l6 x所以，我才會提到柯西，因為柯西收斂可以解釋這個過程。或者說等比級數收斂也可以解釋這樣的一個過程。因為一個收斂的函數一定存在一個極限值。
8 F5 H# [: d8 A2 j! @8 @呵呵。
作者: Pascal 時間: 2014-6-15 20:31
zerowing 發表于 2014-6-15 15:08
+ x1 G3 I3 t& M! W+ u, ]9 s, LP大。爭論點貌似已經清晰了，只在一個四則運算的存在意義上。呵呵，這么討論挺有意思的。
+ W! P; n" X6 N, Y7 D我說下我說的思 ...
zero大俠：
. t# m5 L. [$ {$ [/ {$ F! o6 S1. 不等式不需要具體的差值。比如0.2<0.2.....<0.3, 0.1<0.1....<0.20 i. |; @4 \8 |. L" m/ Z) m
由上面2個不等式可以得到0<0.2....-0.1....<0.2。我不需要具體差值的定義，就能把2個無限小數的差值控制在一個范圍了。* j9 J, H; T( q% m
2. 實數理論確實有好幾個體系，但零俠肯定知道這幾個體系都是等價的。分析書上都有證明。所以“討論一個數系，無論是原理還! ~ M- a. s' ?# [- @6 z
是論證方法，其引用最好出自一人”，我覺得沒必要。5 j# b6 i. H9 ^6 _, f
6 Z* P9 R$ Z4 ~) ^+ i6 R( g
8 ]/ R w/ E3 @ |2 `; G4 s
作者: 茉莉素馨 時間: 2014-6-15 20:45
zerowing 發表于 2014-6-15 15:08 / M; V3 a& n: T+ V( Q7 m
P大。爭論點貌似已經清晰了，只在一個四則運算的存在意義上。呵呵，這么討論挺有意思的。( b; @4 s5 z: e; p: n: o
我說下我說的思 ...
) V/ ~& B! w8 }, b/ e( V: o幾位大俠其實都是在討論實數系的構造! d7 q; l4 x$ Y5 y
記得中科大 史濟懷的書里面是用無限小數構造的實數系& B0 |. p% e7 l
而rudin的書里面，使用cauchy sequence 和 cuting 來構造的
$ ]' r: v" D3 R+ Q總之，實數這個基礎還是穩固的，沒什么可爭論的# V+ W. Q5 G/ d) k
論壇里，時不時就會有人拿這個問題出來討論一下，哈哈
作者: zerowing 時間: 2014-6-16 00:24
Pascal 發表于 2014-6-15 20:31 + E$ a( x0 e$ H
zero大俠：& G! _# Q' p& c' k; U5 a, |
1. 不等式不需要具體的差值。比如0.2
/ ~/ N- B2 r- o; J+ @1.你這么寫，本身要承認不等號兩側的可加減性的。你可以說我不用找到一個具體的“右位”去進位，但是卻是在應用不等號兩側共加的性質，不是嗎？如果這么寫是成立的。那么這種性質跟是否應用不等式無關，只跟是否承認加減性有關。那么同樣也可以寫：. n8 G/ |/ m4 m0 C
1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3
* m, j. u6 j, N5 U8 P( E也就是說，這個關系中，因為承認兩側共加的成立，所以，0.666...恒等于0.333...+0.333...。當然，你仍然可以說，只是等于，而沒有進行實際的四則。那么這就是我前面說的，如果存在一個公理或者一個定理，其存在一個充要的推論，那么這個推論就是可以被直接使用的。那么對于上述等式，其實質就是定理得充要推論，又緣何有無意義之說呢？豈不是成了雙重標準？5 X1 L9 ~1 B k6 M2 c* t) ^- N
當然，你也可以繼續強調說，兩個無限循環小數因為不能找到最終的“右位”，所以用有限位的四則運算不符合無限的要求。其根本在于不能進行“右位”的起始。而同樣的，在進行1與0.999...的差值比較時，實際上在引入一個“右位”，即，無論你找到多小的一個位數值，（1/10)^a, a屬于正整數，都一定存在這個差值b，b<1(1/10)^a，即，b一定為這個無限小值的右位，而同時隱帶的一個條件就是，這個無限小值的右位如果可以被找到，就可以依次進行四則。呵呵，沒錯吧。
2 ?4 w, G. m8 }! v$ E( Y: W那么這里就存在我說的要引用同一個源的理論的問題。
) K' d2 h l! R1 e+ }. N對于通常可證的1=0.999...，其基礎是實數的阿基米德性質。也就是不存在非0無窮小，這也是魏先生在用一個精確的描述“差值”的原因，“其差值小于任何一個設定的常數小值”。換句話說，這個定義一定是在基于不存在非0無窮小的基礎上，討論一個可以被設定的有限“右位”的情況。而這個就是同張先生理論沖突的地方。張先生認定了區間套，而不肯定有限位的四則，那么也就是說在這樣的一個區間套中，你不能設定一個有限“右位”。所以，二者不可能同時應用的。
7 H8 {" {- f5 v- M4 g5 S' b同樣的，換句話說，你承認不等式及其性質。那么本身１-0.999....<0.1or0.01...這樣一個不等式實際上是不滿足本身定義的。
) i6 r5 T1 A/ H& r* G# [首先，不等比式四則形式的基本是比較不等號兩側的實數。那么你可以說1<a，a為一個實數。1-0.999...<a-0.9999...。這是成立的。而，對于1-0.9999...同0.1或者0.001這樣的比較，本身則需要證明。不是嗎？因為，你并不承認1與0.999..之間可以進行直接的四則。那么，在不等式兩邊去比較一個實數值同一個算式的大小是沒有意義的。這就好似我不能說磚<刀。1 d- I3 a6 Z+ q2 u9 m; H# O
- X+ `. n. j; `4 l' u, u& S7 R總之，大俠說的四則的運算意義，其實本身就是在討論一個區間套。你定義出一個區間套，那么四則本身就要發生變化。你定義的是一個限位，那么四則本身就是另一個系統。所以，于我來說，我不能說服大俠接受可以四則的理論，而大俠所敘述的理論本身于我來說卻相對矛盾。哈哈。至于數系是否等價，至少目前知道的有一些是不等的。比如P進數。因為在p進數中，可以證明....999.99999.....這樣的無限小數是等于0的。哈哈。
, ^0 W. ^7 i6 a& W* R1 R
作者: Pascal 時間: 2014-6-16 10:49
zerowing 發表于 2014-6-16 00:24
2 ^7 N. o' R" f7 P5 \7 M1.你這么寫，本身要承認不等號兩側的可加減性的。你可以說我不用找到一個具體的“右位”去進位，但是卻是 ...
zero 大俠，抱歉，你這個帖子我沒怎么看懂。. r* r/ `( k( Z! q0 ]( e; c1 p& |1 n
1. P進數，我沒聽說過，是實數理論之一么？
2 W5 k. W" ]0 y/ ~$ D# P2. “承認不等號兩側的可加減性”與“找到一個具體的“右位”去進位”怎么就矛盾了？
7 Z0 K( T6 `5 c. R3. 我不承認1與0.999..之間可以進行直接的四則，不代表我不能對差值的范圍進行運算啊。
作者: zerowing 時間: 2014-6-16 13:54
Pascal 發表于 2014-6-16 10:49 e9 x2 [! A2 w: r' e
zero 大俠，抱歉，你這個帖子我沒怎么看懂。
' [# C7 {8 f% |1. P進數，我沒聽說過，是實數理論之一么？: G5 N; c7 K% u( ?) A
2. “承認不等 ...
* l+ S1 L: l+ [4 A" S4 OP大，可能說得有點繞。8 P9 @- M5 \9 F" @; p- s
1. p進數是有理數的一個擴展數域，但與常見的實數域拓展不同。不過我對此的認識也緊限于知道。呵呵。但據說這個數域在前沿學科內應用很廣。
: |6 U$ F+ d5 z2. 關于差值問題。首先，只有當你能判斷相比較的兩個實數的大小時，你才能判斷其差值。也就是所謂在一個數軸上，你要先能判斷出二者的左右關系。其次，當你能判斷出左右關系后，你必須通過一個減法處理，才能得到一個“差值”。如果存在兩個實數ａ，ｂ。你既不能判斷其大小，又不能進行減法，那么你該如何定義和比較ａ-b這個代數式呢？這就是我在說的矛盾。8 q0 B/ D. `. o: H9 N( \) v5 Z8 s
同樣的，對于1-0.99....這個算式，你既不能判斷其大小，又不能進行加減法，你如何得到一個其差值小于0.1,0.01這樣的結果的呢？你不要說因為他一定比0.1小這種話，因為這種說法在數學推理和證明里行不通的。你可以說，1<1.1。1-0.99..<1.1-0.99..8 K: n A& _# m2 S9 l
但卻不能得到1-0.99..<1.1-1。對嗎？對于這樣一個不等式，0.99..和1的大小在你證明前，你是不能應用其大小概念的。; a& c5 p+ o+ s# I* g& J
然后說右位問題，這里還要提那句，對于阿基米德性質的完備數系，不存在非0無窮小。也就是說，lim(1/10)^n=0，而不是一個找不到右位的小數。所以，在這個前提下，魏先生的比較說法，其實在說1與0.99...的差值是一個無窮小，即0，而0是一定小于你能設定的任意小的實數的。$ N8 l% k1 b5 {
這里，我必須承認一點，在存在進位問題的無限小數運算中，這個所謂的右位其實是個麻煩。比如0.77...+0.33...。這種情況符合張先生所說的右位進位問題。但是實際上卻不需要去找右位。因為這樣的式子其實可以寫成0.77...+0.22...+0.11...=1+0.11...=1.1...（先假設可以四則）。即實際上，這種無限小數的運算也在遵循基礎的整數運算時的計算規律，比如7+4=7+3+1=10+1=11。為什么要強調這個，因為雖然我們常用的是10進制計數，但實際上存在12進制，8進制，2進制等多種記數法。所以，四則運算的進位本質上都是在分解和結合處一個個的可進位數，然后再逐位寫出余數這個過程中進行的。而對于無限小數，其計算實質也是如此。雖然，對于無理數來說，這樣的計算變得相當困難。比如pi。而對于這類無理數，實際運算中，多數時候都是按照有限位四則運算的。因為你不能最后只寫一個4pi,5pi之類的代數。實際使用中，你是一定要有所取舍的。
! {( E/ G' u5 B. U. ]# H( R% D% @& ]
作者: Pascal 時間: 2014-6-16 16:20
zerowing 發表于 2014-6-16 13:54 7 T9 t4 L7 m. b
P大，可能說得有點繞。
% {9 L! X: `3 G" U2 H1. p進數是有理數的一個擴展數域，但與常見的實數域拓展不同。不過我對此的認識也 ...
zero俠，這個帖子寫得很明白，謝謝！
' A6 d8 s$ k4 K% O7 R9 q8 f. K我還沒想好怎么回復你，可否讓我掛下免戰牌？
作者: Pascal 時間: 2014-6-16 22:47
zerowing 發表于 2014-6-16 13:54
6 ]: Y/ w& E8 b: EP大，可能說得有點繞。
& m# t+ U1 c" L. b+ G6 ~: l: `1. p進數是有理數的一個擴展數域，但與常見的實數域拓展不同。不過我對此的認識也 ...
) x+ O/ |6 J0 m5 W9 \zero大俠：
' s6 a% ]6 m1 ]2 G1. 數量比較是不需要具體差值的，也就不存在假定最右一位的說法。比如咱倆來比身高，零俠身高1.8......，我身高1.7.....。咱倆只要站一起，社友們立馬就知道誰高了，但是咱倆身高具體差值他們不知道。社友們做了數量比較不等于他們計算了1.8....-1.7.....的差值。計算差值只是比較的一個手段。+ z5 `. {0 Y- F+ j: V/ @" ?& O& D
2. 證明1-0.9...=0只需要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數就行了，數量比較不一定非要具體差值的。
+ k H- M5 G( @ {( U+ o3. 數學的證明，一步步都是有來歷的，沒有定義的運算不能算，但下面幾個運算是可以的，因為有定義。
' T& ~- ]# I! \0.1....-0.1.....=0+ `6 f* B7 S; T6 l
1x0.1....=0.1.....- {6 b, z" g* t7 |: Q. U+ M, V6 f
0.1.....+0=0.1.....
1 q( |* w; J; z, W0 \& z, \) o
4. “如果存在一個公理或者一個定理，其存在一個充要的推論，那么這個推論就是可以被直接使用的。那么對于上述等式，其實質就是定理得充要推論，又緣何有無意義之說呢？”
" U% k+ f2 M8 J" N, ~3 | 你這句話，我承認“如果存在一個公理或者一個定理，其存在一個充要的推論，那么這個推論就是可以被直接使用的。”
" t2 T; v- x( g 可是2/3=1/3+1/3=0.333...+0.333...說明了什么？只能說明2個量相等，能說明無限小數直接加是可以的？
7 P2 E$ c( ~* \# d$ [4 |$ ^ 比如：1+1/4+1/8+1/16+.....=(1+1/4)+(1/8+1/16)+.....，你能就此得出無窮項加法里結合律是可以用的么？
, U0 {: Y3 {! I" c* _+ b+ @5 Y, i
7 _! U- P" x( J# X9 F- |8 R
作者: 少-俠 時間: 2014-6-16 22:52
馬克思教導我們 ：具體情況具體分析，我們要以辯證的目光來看問題# k9 S' E% ?6 Q. G) d! |( a
其實0.9999…… 與1二者是相互滲透相互轉化相互影響。
4 j+ x, j* ]7 Z( R在一定條件下，0.99999……可以看作1 ，在一定條件下，1又可以看作0.9999……
4 U1 P% \9 c& N$ h+ ^3 w" S0 B綜上 ， 0.999999……就是1 得證
作者: zerowing 時間: 2014-6-17 00:06
Pascal 發表于 2014-6-16 22:47 " q. e" H# A) }7 W
zero大俠：
( k8 {" n' e3 B7 ], Y+ F. I9 Z9 V1. 數量比較是不需要具體差值的，也就不存在假定最右一位的說法。比如咱倆來比身高，零俠身高 ...
P大。我感覺討論越來越有意思了。1 M1 v" ~& @$ L" F" [/ M
1。數量比較比一定需要差值，因為只要有參照物即可。但是數值比較不同。可以借用你這個例子。（我沒有那么高啊）。A身高1米8，B身高1米7，這樣兩個人站一起就知道差別。但是如果我們討論二者身高差量同另外一個參照物，比如一顆手雷的比較時，直接的做法是把他們放一起，再比較。而當你不能把兩個比較對象直觀的放在一起時呢？或者對比時看參照物的具體位置變動呢？這樣就沒有辦法比較了。或者說，A身高1米71，B身高1米7。這種小差距不能辨識的情況呢？所以我才強調，不要說1-0.99...的差值一定比0.1小這樣的話，因為這種直觀上的比較不能作為數學論證的依據。同樣的例子就是歌德巴赫猜想。比如1+2=3。如果就是直觀的講的話，那就不需要證明了，不是嗎？
% h! w8 L* @$ n- Y+ P6 o所以，當討論數值比較，特別是差值比較時，你至少是要確定這個值的。
; w9 s8 S/ h: F6 T; H2。關于這句“證明1-0.9...=0只需要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數就行了”。我感覺我們像是進入了一個雞和蛋的哲學問題中。究竟是先有證明1-0.9...=0還是先有|1-0.9....|<任意給定正數。哈哈。這么說吧，
3 ^- Q' O* `; f2 {, u3 V我們先討論下|1-0.9....|<任意給定正數這句話。比如我給定一個正數0.1，你該如何證明1-0.9....小于0.1呢？你可以說，1-0.9=0.1。1-0.99=0.01<0.1。所以，1-0.99...<0.1。但是問題就出來了，你計算前兩個式子的時候，是有限位計算，按找張先生的理論，是有意義的。而問題就出在第三步上。0.99...=0.99嗎？0.99...>0.99嗎？0.99...<0.99嗎？所有的這三個比較式你都不能直接使用，你都必須先要證明一個確定的關系發生在0.99..同0.99之間。而如何確定，這就是需要四則運算的地方。比如0.99...同0.99在小數點后的前兩位相同，但0.99..右側還有數位。即0.99...=0.99+0.009...，而0.009..>0，所以0.99..<0.99。而這之中，實際上你已經在用一次四則運算了。所以，說這么多，其實就是一句話，如果拋棄四則運算本身，|1-0.9....|<任意給定正數 這個問題不可證。既然不可證，那么至少你不能用這個式子說明1=0.99...
4 s( k9 I# D% }4 b接著就是1=0.99..的證明，其實你可以去看各種的證明的方法，有級數計算的，有錯位相減的。但是最終都是在一個進行四則運算的基礎上。比如說級數計算的。0.99...=9*(1/10)+9*(1/10)^2....9*(1/10)^n。然后通過等比數列和法求的& _7 V& ^3 w2 \3 P9 o
0.99..=1-lim(1/10)^n=1。而這其中，其實也是在四則運算。如果嚴格按照張先生的理論，那么同樣，9*（1/10）^n是找不到的右位，那么最后的lim(1/10)^n原則上也不應該出現。說白了，就是不可證。* X4 n+ z# p Y
總之，通過假設推論，如果因為找不到右位而否定四運算的可行性，那么現有的多數證明本身都是不成立的。1-0.99...同“任意給定正數”的比較就成了雞蛋問題。哈哈。
2 X/ i D4 |! u3。我不太明白大俠寫這三個式子同證明1-0.99..的差值和任意正數的關系有什么聯系。
) S3 `+ w$ r( C4。我寫的那個式子，希望大俠看全。
+ X- Z$ n `# S% l' T; v9 X2 c1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/34 S; |. U: B$ W4 Q* s! A( t
其關鍵是第二個等號的右側。因為那一部分的計算是脫離小數但卻符合小數各數位四則的部分。也就是說，講0.33..級數話，然后各級數的分數表達做加法。換句話說，如果你承認這種級數分數的運算方法是對的，這跟直接去計算無限循環小數的各數位是一致的。因為，0.33...+0.33...四則運算的時候實際上是0.3+0.3+0.03+0.03+0.003+0.003+....。說白了，無論你是否能找到右位，級數計算和直接小數計算都是在這樣進行的。唯一讓人疑惑的就是進位，但我之前闡述過了，其實進位并不是問題。
作者: Pascal 時間: 2014-6-17 10:09
zerowing 發表于 2014-6-17 00:06 , r( Q' F) ` v( X2 l, a( G
P大。我感覺討論越來越有意思了。; f x u3 V+ [+ k2 w e
1。數量比較比一定需要差值，因為只要有參照物即可。但是數值比較不同 ...
1. 數值比較同樣不需要具體差值。
( {; {$ o! X% j5 @! [假設咱倆穿越下，來到一個古代，那時人們還沒有具體數的概念，但有多少的概念。零俠你是元帥，統領一大群兵，還有一大群馬。我是你朋友，跑過來看你，你很高興，請我喝酒。然后我問你一個問題，零帥，你到底是兵多呢，還是馬多呢？你回答不了，因為那時不會數數，但咱們還是想到了一個辦法，讓每個兵去牽一匹馬。最后有兵沒牽到馬，說明兵多；有馬沒兵牽，說明馬多；以上兩種情況都沒有，說明兵和馬一樣多。9 u9 z4 a: a; _2 L
另外從歷史上看，多少的概念比減法概念出現的要早很多。所以說數值比較不需要具體差值。至于“小差距不能辨識的情況呢”，放大呀，數學最擅長這個了。! C# B3 V6 j. Y" w- |) M
2.” 0.99...=0.99嗎？0.99...>0.99嗎？0.99...<0.99嗎？”
# i. @1 t6 k* T# }6 d: H- c8 W零俠后面有0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n，同樣可以展開0.99.....啊，很容易就能證明0.99...>0.99。不存在雞蛋問題。
: r4 h, p* t1 g! ?3. 下面3個算式只是想說明有些無限小數是可以運算的，只要有定義。+ I* Y9 d2 I4 L5 W7 I( s
0.1....-0.1.....=0
" E' U3 H4 k. V& x3 w 1x0.1....=0.1.....6 T& B3 e# `& F
0.1.....+0=0.1.....( r+ o3 z5 L% Q2 u# d7 o
4. “我寫的那個式子，希望大俠看全。
1 d- Z" }3 {* ]2 I% j1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3”; @/ @. l, ~5 U0 e( U6 d. x7 ~
上面運算的實質是極限，并沒有定義/證明無限小數的運算規則。* Y5 x' v; d* m" m
5. “其實進位并不是問題。”因為咱們討論的1/3、1/9有點特殊，循環節只有1位。循環節不同的小數怎么加？1/3+π怎么加？
作者: zerowing 時間: 2014-6-17 14:20
Pascal 發表于 2014-6-17 10:09 1 @) o" b! ~3 y R
1. 數值比較同樣不需要具體差值。
' n/ s: f. V( A& @; E7 r假設咱倆穿越下，來到一個古代，那時人們還沒有具體數的概念，但有多少 ...
8 p2 n$ S S* s- U2 Q3 k3 A1。呵呵，你的例子很有意思。但是還是那句話，不能作為一個定理來應用于證明。不扯那么遠的例子，就說1和0.99..的差值，這么說，我們不四則，也不知道差值究竟有多少，然后我給了一個小實數，0.000....001，在1的前面有n個，或者無限個零。那么你該如何比較這個差值和這個小實數的大小呢？你可以證明，1-0.99..的有限位差值小于0.1,0.01等等，但是推倒無限位的時候，你既不能通過四則運算得到一個實際的差值，又不能通過所謂的觀察法得到差值小于另一個差值的結論，那么你該怎么辦呢？如果我們把這個推廣到那個人和馬的例子上。比如人很多，馬也很多。前面不斷的有人在牽馬，后面還有很長的隊在等待牽馬，而檢查的人在檢查到一半的時候就已經說不清究竟誰牽過馬，誰沒有了。那么這種情況，你還有辦法比較嗎？另外，這個例子其實是在一個參照系下進行的。當你換了參照系呢？比如那個著名的新龜兔賽跑的例子，烏龜和兔子兩人從一點出發自東向西跑，裁判是太陽。最后的結果就是烏龜比兔子跑得快。哈哈。這也是為什么我說這樣的所謂可比性不能作為證明的依據的原因。
" P: j* @% K8 u/ ^; x" B, A* X2。呵呵，我希望你再看下我的話。0.99....可以通過級數展開，但是分數展開的本身實際上等價于小數逐位展開的本身。換句或說，220就等價于200+20+0, 等價于2*100+2*10+0*1。同樣的，0.3165=0+3*（1/10）+1*(1/10)^2+6*(1/10)^3+5*(1/10)^4也等價于0+3*0.1+1*0.01+6*0.001+5*0.0001。這樣的式子恒等價，因為這是實數構成的基本法則，即逐位安置。而逐位安置本身就是在應用四則運算。所以，如果說無限小數不能進行四則運算，那么同樣的，0.99...就不能寫成0+9*0.1+9*0.01+9*0.001....這種形勢。因為你后面的無限位數該如何相加呢？是否會有進位呢？是否在某一位，9*（1/10）^n=0了呢？既然不能這樣寫，那么還是那個問題，你怎么比較呢？
+ }* w' M( k1 d( I3。這三個例子其實不是在說無限小數可以運算，而是在說任意實數的一個通性。這個通性本身跟四則運算沒有什么關系。0 @+ p7 X% {3 A! S
4。那個式子的關鍵在于逐位安置，然后逐位相加。所以才有2*3*（1/10）的寫法。就像我前面說的，逐位安置是實數構成的基本法則。如果你承認這種逐位相加，那么跟你在運算0.33...+0.33..的逐位相加有什么區別呢？只是因為一個是分數的逐位形勢一個是小數的逐位形勢嗎？這才是這個長等式要表述的問題。跟級數也好，跟極限也好，都沒有關系。本質是數字構成。" ]* ?; I/ J+ V( O( ?( @
5。我在更早的回復里提到過，進位計算對于無限循環小數不是問題，對于無理數比較麻煩。而實際上，即便不使用小數形勢進行計算，你依舊沒有辦法計算無理數。比如1/3+Pi，他究竟是多少呢？或者說他究竟等于一個什么像的無限不循環小數呢？同樣的，如果你不用1/3的小數形勢0.33...同Pi的有限小數形勢比如3.14159進行四則運算，你有什么辦法從1/3+Pi這個式子中得到一個數值解嗎？沒有！你不僅得不到一個無限右位的解，也得不到一個有限右位的解。不是嗎？
作者: Pascal 時間: 2014-6-17 21:50
本帖最后由 Pascal 于 2014-6-17 21:56 編輯 : S. E* [# j9 j7 U9 K6 `
zerowing 發表于 2014-6-17 14:20 
8 `! U3 ~- z, Q9 L1。呵呵，你的例子很有意思。但是還是那句話，不能作為一個定理來應用于證明。不扯那么遠的例子，就說1和 ...
2 c( f& J# u& X
zero大俠：
3 G6 @. r- Y- }2 o. |9 e1. 故事，而且還是虛擬的故事自然不能當定理用。可是我用的方法是可以當定理用的。
因為我在2個集合的元素之間建立起了一一對應的關系。一一對應準則是康托爾集合論的基石，集合論與現代數學的關系我
- l+ b% V) e6 S" _+ Z% Z 就不說了。
2. “ 0.000....001，在1的前面有n個，或者無限個零”，無限個零說法是不對的，具體見截圖--最后一位。# q! C/ H$ Z( E% i ]+ U
3. “你可以證明，1-0.99..的有限位差值小于0.1,0.01等等，但是推倒無限位的時候，”
) _; a3 E+ W c. |1 X/ ^ 為什么要推到無限位呢？我只要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數就行了，只要你給定了一個數，這個數就固定下來了，我肯
0 I0 D6 u; k2 _; o2 v 定能證明│ 1-0.9...│<這個數，按照實數系的阿基米德性質，就能得到│ 1-0.9...│=0。
0 P5 m+ g9 I1 q3 U7 G( W1 O8 }
4. “你既不能通過四則運算得到一個實際的差值，又不能通過所謂的觀察法得到差值小于另一個差值的結論，”; i: \; H* J' X' B" [/ h
怎么不能得到差值小于另一個差值？見截圖--實數的比較，來自張筑生的數學分析。
由比較規則輕松可得0.9....>0.9或0.99或0.999。
5. 實際生活中，如果零俠有個幾萬兵馬，我那個方法確實很難執行；如果零俠只有幾十兵馬，幾分鐘結果就出來了。不過從數
$ t! N: c- `0 i, x; U9 l2 D 學上看，幾十兵馬可以用這種方法判別多少？那幾萬兵馬同樣可以用這種方法判別多少！
6. “0.99...就不能寫成0+9*0.1+9*0.01+9*0.001....這種形式。因為你后面的無限位數該如何相加呢？”
5 I7 o8 e/ J7 L6 X. N9 \ 為什么要硬加呢？無窮級數和難道是一項一項加出來的？
7. “那個式子的關鍵在于逐位安置，然后逐位相加”
逐位安置我承認，可為什么要逐位相加呢？理由同第6點。
8. “如果你不用1/3的小數形勢0.33...同Pi的有限小數形勢比如3.14159進行四則運算，你有什么辦法從1/3+Pi這個式子中得到一個
; o( ^+ B" r) h L U. K w1 l 數值解嗎？”
有一個很用力的近似計算工具，叫逼近。數值解，可以呀，你要精確到幾位小數？
零俠可以回顧下人類認識π的歷史，從周三徑一開始，雖然人們不知道π具體數值，甚至不知道π是無理數，但已經把π控制在
5 Y% k2 t' B* n# B 3~4了，到劉徽的割圓術，就可以把π控制在很精確的范圍了；π可以逼近，π+1/3同樣可以逼近。
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