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標(biāo)題: 一道解方程的題目，有興趣的壇友可以試試 [打印本頁(yè)]
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 08:45
標(biāo)題: 一道解方程的題目，有興趣的壇友可以試試
最近壇友比較熱衷于討論數(shù)學(xué)問(wèn)題，我這邊有個(gè)題目可以讓大家熱熱身
& f: Z5 b' t8 l% l* W! y其實(shí)題目很簡(jiǎn)單，一個(gè)方程題：20sinx＝x
& B  Y: F- N+ q% t4 o) y( V求滿足的x值
作者: ld314699339    時(shí)間: 2013-1-10 08:53
X=0算一個(gè)。
作者: ld314699339    時(shí)間: 2013-1-10 09:06
按照函數(shù)畫(huà)圖分析應(yīng)該是x的值有11個(gè)，其中一個(gè)是0 ，另外的10個(gè)是正負(fù)關(guān)系。坐等高手。
作者: crazypeanut    時(shí)間: 2013-1-10 09:11
超越方程，沒(méi)有初等解的3 C( p6 c1 u8 J/ u
  S0 X1 `5 z% I5 O9 C7 R
牛頓迭代可以求近似解
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 09:13
ld314699339 發(fā)表于 2013-1-10 08:53:29 : @3 A% W& q2 k; ^+ j
X=0算一個(gè)。

: V. E) I5 u; o解有很多個(gè)，我可以隨便寫(xiě)幾個(gè)出來(lái) 6.620579107,2.991456433,8.960237641,13.29342428.....關(guān)鍵不是值，而是求解的方法
作者: の小南灬    時(shí)間: 2013-1-10 09:15
提示: 作者被禁止或刪除 內(nèi)容自動(dòng)屏蔽
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 09:17
crazypeanut 發(fā)表于 2013-1-10 09:11:10 " p2 j' n% P  l: S" y3 e
超越方程，沒(méi)有初等解的8 C8 Q# H% @; k- G- i! u

- _( T! M% |3 [: D牛頓迭代可以求近似解

9 c3 \1 H- k  c* A7 e這位兄弟說(shuō)的不錯(cuò)，但現(xiàn)實(shí)中可能出現(xiàn)的方程未必就一定為初等方程，大俠有時(shí)間的話可否一試
作者: 天路客向東    時(shí)間: 2013-1-10 09:17
可以把sinx轉(zhuǎn)化為傅里葉級(jí)數(shù)，但之后怎么解呢？無(wú)窮級(jí)數(shù)
作者: crazypeanut    時(shí)間: 2013-1-10 09:21
pacelife 發(fā)表于 2013-1-10 09:17
& s4 S  a7 k4 R; F$ ?$ d' h. n1 S這位兄弟說(shuō)的不錯(cuò)，但現(xiàn)實(shí)中可能出現(xiàn)的方程未必就一定為初等方程，大俠有時(shí)間的話可否一試
8 E  X! l7 _8 v1 u1 k
硬要解也是有辦法的
8 d+ n- Z/ O& F' y+ M. b
4 O/ o& \; e* I4 x6 Q$ x" T* ~$ V3 @6 @+ Fsinx=x-x³/3!+x^5/5!-x^7/7!+...- N, u) X+ r/ n
此級(jí)數(shù)在全復(fù)平面內(nèi)收斂5 R5 y7 c0 Y5 @* D4 I# J
% N5 H. P. L! b8 \
取前4項(xiàng)，化為代數(shù)方程20（x-x³/3!+x^5/5!-x^7/7!）=x來(lái)求近似解
# l/ M2 q0 m4 W. ]2 g+ n3 G根據(jù)伽羅華方程理論，可知此方程可用代數(shù)求解
, G) `9 k. K* ]5 ~/ z) K' V
作者: liangh    時(shí)間: 2013-1-10 09:25
好像只有0？
( w# l; U$ v8 f等答案
作者: 小白丶經(jīng)典    時(shí)間: 2013-1-10 09:30
[attach]271598[/attach]
0 X% V. X+ g2 }4 \) s3 J2 ?7 B (0,0) (2.99 ,0.15) (6.62 ,0.33) (18.96 ,0.45) (13.29 ,0.66) (14.87 ,0.74)
$ d8 C( G  c# X; L- d正負(fù)啦
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 09:31
liangh 發(fā)表于 2013-1-10 09:25:03
1 [: ]' U: ]' O, q9 D好像只有0？
  I; i' g0 S# _等答案
6 G% V, ?8 @+ _, q
圖形肯定錯(cuò)了，你可以驗(yàn)算一下我之前給的幾個(gè)值
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 09:36
小白丶經(jīng)典 發(fā)表于 2013-1-10 09:30:22 ! y" Y( z# U* d4 Y' N6 Z( v- j! S
; L! M. R0 ^% a  B+ G
: _6 W% K8 p. \$ [5 ?
2 p2 a6 e' E% p+ s( f* L+ V; S
(0,0) (2.99 ,0.15) (6.62 ,0.33) (18.96 ,0.45) (13.29 ,0.66) (14.87 ,0.74)8 z! ]! t  c) P& C) f* n' R6 N
正負(fù)啦

6 d7 r" |$ @9 F- D. b% t# _  B這位兄臺(tái)很聰明，不過(guò)這種方法不免有些遺憾，這只是通過(guò)繪圖軟件掩蓋了算法，不過(guò)應(yīng)用于實(shí)踐確實(shí)又快又準(zhǔn)
作者: liangh    時(shí)間: 2013-1-10 09:47
弧度的) S7 Q2 t- c& t, O9 Q- [" O
好像有11個(gè)合適的。
作者: 桂花暗香    時(shí)間: 2013-1-10 09:55
本帖最后由 桂花暗香 于 2013-1-10 10:27 編輯 - Q- x# D; }+ k$ W6 h$ h2 E

# l  Q/ `, u, l/ e令y=20sin(x)   x=1 求出y，
8 C4 T  w: \2 U' [0 j: k     令x=y  代入20sin(x)求出y: W) C, N: d/ @
      這樣一直算下去直到達(dá)到滿意的精度位置  也就是迭代法。* P2 N' r# k8 f! E1 r2 K* l/ Z
考慮到函數(shù)的單調(diào)性，x初值賦值要考慮。
  X9 M8 }. Q0 o& h# l' }
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 09:55
其實(shí)很清楚，只要求出正值就全出來(lái)了，因?yàn)槿绻顇＝-x，可以得到等式仍成立，所以求出的正值的負(fù)數(shù)也是解
作者: 海上音樂(lè)史    時(shí)間: 2013-1-10 10:00
桂花暗香 發(fā)表于 2013-1-10 09:55
% I# M0 k" @% c/ I令y=20sin(x)   x=1 求出y，
- c8 ~# _' U4 ~( R     令x=y  代入20sin(x)求出y% @' X8 G1 P1 H. ^' f5 J4 B
      這樣一直算下去直到達(dá)到滿意的精度位置 ...
% ], a( _/ X" g4 E. f' R, y1 V$ m0 e
你好桂花暗香
, ~8 D$ y/ i/ v) p8 d1 ^
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 10:01
桂花暗香 發(fā)表于 2013-1-10 09:55:39
9 A5 B6 F2 w2 {  Y令y=20sin(x)   x=1 求出y，
3 |2 m/ F4 r( E# m2 e% h     令x=y  代入20sin(x)求出y
9 N+ m, z0 K6 C& t5 P% G/ C) M      這樣一直算下去直到達(dá)到滿意的精度位置  也就是迭代法。

& ^& a% @* U7 Q" N: |; d. l你的方法我代了121此次都還沒(méi)得出結(jié)果
作者: 天路客向東    時(shí)間: 2013-1-10 10:02
各位大俠有點(diǎn)不明白，圖解的方法應(yīng)該是用兩條y=x/20,和y=sinx的曲線求交點(diǎn)吧，那y=x/k，只要k不為0,那都可以在x=0的點(diǎn)相交，豈不是sinx/x=任意不為零的數(shù)了。
作者: 東海fyh126    時(shí)間: 2013-1-10 10:12
{:soso__16984349925490629196_1:}{:soso_e183:}
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 10:29
天路客向東 發(fā)表于 2013-1-10 10:02:43
) ?, s8 @  `6 q' U( H# q+ O( d; F各位大俠有點(diǎn)不明白，圖解的方法應(yīng)該是用兩條y=x/20,和y=sinx的曲線求交點(diǎn)吧，那y=x/k，只要k不為0,那都可以在x=0的點(diǎn)相交，豈不是sinx/x=任意不為零的數(shù)了。

: |9 [! @  a0 H4 q0 d2 s你的意思有點(diǎn)不太明白，x＝0確實(shí)是所有sinx＝kx方程的解
作者: 天路客向東    時(shí)間: 2013-1-10 10:37
pacelife 發(fā)表于 2013-1-10 10:29
, A1 Z) t8 p; L' G7 H- i& M) g你的意思有點(diǎn)不太明白，x＝0確實(shí)是所有sinx＝kx方程的解

- X7 c: S! y$ b
# O$ e4 \6 J! t% `我對(duì)極限的概念不明確，limx->0，sinx/x=1,應(yīng)用方面常在這種情況下用x，取代sinx。如何理解這個(gè)lim和等于的區(qū)別。
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 11:12
天路客向東 發(fā)表于 2013-1-10 10:37:58 , k$ n  d1 Q0 B4 J/ T, z8 D/ a3 C

. l1 G4 c8 S( @! M9 q" e% y2 m2 v5 C- r9 y' }( G9 l. p5 m: b
我對(duì)極限的概念不明確，limx->0，sinx/x=1,應(yīng)用方面常在這種情況下用x，取代sinx。如何理解這個(gè)lim和等于的區(qū)別。

1 `  R0 t( e: M. F& z+ f) ]這個(gè)就得多看看高數(shù)教材了，三言兩句很難說(shuō)清楚
作者: jiangssli    時(shí)間: 2013-1-10 11:14
本帖最后由 jiangssli 于 2013-1-10 11:17 編輯 & t8 g8 ?# W  q  J, o# O
; p+ Q7 j  Z' b4 X
我用數(shù)控系統(tǒng)程序做了一個(gè)求解本題的程序,但是有一個(gè)問(wèn)題,就是取數(shù)精度問(wèn)題,數(shù)控系統(tǒng)只能小數(shù)點(diǎn)后面8位數(shù),超過(guò)了就不顯示了,同時(shí)計(jì)算時(shí)間太長(zhǎng)了,居然算了20多分鐘沒(méi)有合適的結(jié)果{:soso_e110:},是不是我對(duì)這個(gè)方程理解有錯(cuò)?
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 11:58
jiangssli 發(fā)表于 2013-1-10 11:14:25 0 b9 n+ r# {& x7 Q3 _
本帖最后由 jiangssli 于 2013-1-10 11:17 編輯 . u5 z$ Q+ |" q4 F9 V+ s7 ?! A

' V3 e- g9 O( y5 x4 g" ^0 u我用數(shù)控系統(tǒng)程序做了一個(gè)求解本題的程序,但是有一個(gè)問(wèn)題,就是取數(shù)精度問(wèn)題,數(shù)控系統(tǒng)只能小數(shù)點(diǎn)后面8位數(shù),超過(guò)了就不顯示了
5 {* b( r& a% F  C2 Y
應(yīng)該沒(méi)關(guān)系吧，程序的話計(jì)算精度應(yīng)該會(huì)受到數(shù)據(jù)類型的影響吧
作者: jiangssli    時(shí)間: 2013-1-10 14:09
天路客向東 發(fā)表于 2013-1-10 10:02 * [" Z$ A3 Q6 y3 X
各位大俠有點(diǎn)不明白，圖解的方法應(yīng)該是用兩條y=x/20,和y=sinx的曲線求交點(diǎn)吧，那y=x/k，只要k不為0,那都可以 ...
, \. [& r# {) a: B$ K
本人數(shù)學(xué)很差,不知道這個(gè)方程為什么是兩條線,真心求教...{:soso_e100:}
作者: 天路客向東    時(shí)間: 2013-1-10 16:39
jiangssli 發(fā)表于 2013-1-10 14:09
% n' ]0 Y+ l1 V本人數(shù)學(xué)很差,不知道這個(gè)方程為什么是兩條線,真心求教...

2 r# a! Q- C8 r. z; j9 s這個(gè)方程不是兩條線，分為y=sinx y=x/20,找交點(diǎn)是一種求解方法，因?yàn)橄嘟坏狞c(diǎn)兩曲線x,y是相同的，也就滿足了等式。你也可以畫(huà)出y=20sinx-x的曲線，看它和x軸有幾個(gè)交點(diǎn)，也可以找到答案。
作者: qinrj    時(shí)間: 2013-1-10 20:24
這些東東不懂
作者: jiangssli    時(shí)間: 2013-1-10 21:04
天路客向東 發(fā)表于 2013-1-10 16:39 7 O" @& H- n/ r0 w$ r; M) i6 ]
這個(gè)方程不是兩條線，分為y=sinx y=x/20,找交點(diǎn)是一種求解方法，因?yàn)橄嘟坏狞c(diǎn)兩曲線x,y是相同的，也就滿足 ...
9 D/ v7 V* d1 y" z
還是不懂,怪不得我的程序計(jì)算不出合適的結(jié)果,原來(lái)是我理解有誤...
作者: 逍遙處士    時(shí)間: 2013-1-11 09:41
jiangssli 發(fā)表于 2013-1-10 21:04 . j$ c7 ~: {' Q
還是不懂,怪不得我的程序計(jì)算不出合適的結(jié)果,原來(lái)是我理解有誤...

  i% S% G+ w7 a* W0 B. w& J代數(shù)式變幻萬(wàn)千，秘訣在一個(gè)“代”字上。
$ i( Z: [# K9 |: V/ M" b8 M! w20sinx=x，這是一個(gè)方程，它可以變換啊，變成sinx=x/20，還可以變成20=x/sinx。
1 j: Y: f1 v9 {$ ?( G  z令y1=20sinx，y2=x，它不就是y1=y2嗎？y1和y2都是函數(shù)，凡函數(shù)都有自己的曲線圖像，那么y1=y2不就是求y1和y2兩條曲線的交點(diǎn)嗎？
) P/ v8 B! ?  p% w( o2 D" ^玩法可多了，還可以令 x=g(x)*sinx，代入進(jìn)去，得 20sinx=g(x)*sinx，最后得 g(x)=20=x/sinx，玩回去了，哈哈。
! v5 P, {# \! b' Z/ C* V還可以玩差商，把它變成 y = x-20sinx，差商視△x為無(wú)窮小，把它略去，則得導(dǎo)函數(shù) y' = 1-20cosx，還可以積分，得原函數(shù)g = ∫y = 0.5x^2 + 20cosx + C1。導(dǎo)函數(shù)還可以繼續(xù)求導(dǎo)，原函數(shù)還可以繼續(xù)求積，上窮碧落下黃泉，兩處茫茫皆不見(jiàn)，子子孫孫無(wú)窮盡也。3 R3 {/ W; ?& a7 n- M
0 [- d" U7 w7 B$ _, |
作者: jiangssli    時(shí)間: 2013-1-11 10:43
逍遙處士 發(fā)表于 2013-1-11 09:41 - e$ G7 t  u7 N' q# ~  K( q
代數(shù)式變幻萬(wàn)千，秘訣在一個(gè)“代”字上。- P1 q; }/ U! N: }, X
20sinx=x，這是一個(gè)方程，它可以變換啊，變成sinx=x/20，還可以 ...

% S0 I6 N6 b+ I& e/ M8 T1 y哎.....太復(fù)雜了,年紀(jì)大學(xué)不會(huì)啊!謝謝您的指教!
作者: 林中臥虎    時(shí)間: 2013-1-13 10:26
liangh 發(fā)表于 2013-1-10 09:47
: B8 i& R- x4 R$ K: f, X2 d. ]1 p0 q+ R弧度的7 J! e( O% U" C+ t: R* u: _- ?
好像有11個(gè)合適的。

, {" _$ q! S! w+ y/ f" d這個(gè)好！
作者: ypx3293    時(shí)間: 2013-1-14 12:45
sinx里x是角度 等式右邊的x又是個(gè)實(shí)數(shù)  好久沒(méi)接觸數(shù)學(xué)了不知道是不是自己鉆牛角尖了
作者: 子子61961    時(shí)間: 2013-1-14 16:49
如果是俺，會(huì)使用Excel的“單變量求解”功能計(jì)算。
7 u3 @) R3 l4 `當(dāng)然因?yàn)槎鄠€(gè)解，所以需要多試幾次。
作者: 草原蒙狼    時(shí)間: 2013-1-15 13:43
14樓的圖像法求交點(diǎn)是最簡(jiǎn)單的方法  最直觀  最清晰  
作者: 雨歌風(fēng)    時(shí)間: 2013-1-16 09:21
當(dāng)X=0時(shí)是一個(gè)解，是當(dāng)X趨近于0是sinX/X=1
作者: sanxian    時(shí)間: 2013-1-16 17:06
pacelife 發(fā)表于 2013-1-10 10:01
. t% A$ f, d, {2 P" L! {你的方法我代了121此次都還沒(méi)得出結(jié)果
! R6 G& t8 ?! r0 i8 y% w% o' g
要用牛頓迭代 有公式的 那個(gè)收斂速度快- Y9 ^: K" j% Z
作者: 子子61961    時(shí)間: 2013-1-16 20:04
ypx3293 發(fā)表于 2013-1-14 13:45
( r! W. F/ H$ z! ?: u. R0 c) Y' ksinx里x是角度 等式右邊的x又是個(gè)實(shí)數(shù)  好久沒(méi)接觸數(shù)學(xué)了不知道是不是自己鉆牛角尖了

0 n8 M4 `. x1 q, `, X; z- m角度是可以轉(zhuǎn)化為弧度的，弧度就基本和實(shí)數(shù)可以通用。
作者: hotyemw    時(shí)間: 2013-1-17 12:00
ypx3293 發(fā)表于 2013-1-14 12:45
5 k8 p, F3 `: Y6 H! U+ msinx里x是角度 等式右邊的x又是個(gè)實(shí)數(shù)  好久沒(méi)接觸數(shù)學(xué)了不知道是不是自己鉆牛角尖了

+ O3 R; r9 c& dX是弧度，是以派（π）為基礎(chǔ)的
! u  ^3 u" R/ o0 o7 \3 g
作者: ypx3293    時(shí)間: 2013-1-17 12:45
hotyemw 發(fā)表于 2013-1-17 12:00 / F0 G$ A4 j: c& O5 f8 C8 i
X是弧度，是以派（π）為基礎(chǔ)的

6 ?% r4 Q, R) t: [* L謝了 一段時(shí)間沒(méi)用連基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念都忘記了 得虧不是大家面對(duì)面討論 不然就身敗名裂了
) O0 m& s7 W* B  g1 I
作者: ypx3293    時(shí)間: 2013-1-17 12:46
子子61961 發(fā)表于 2013-1-16 20:04 6 @$ T5 z+ ?' A+ K
角度是可以轉(zhuǎn)化為弧度的，弧度就基本和實(shí)數(shù)可以通用。
$ a$ k) p1 t" o: ?( L! F/ E
謝了 回復(fù)完特意去確認(rèn)了下 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有點(diǎn)差 得虧自己還想拾一下微積分呢 還是先從基礎(chǔ)的來(lái)吧
作者: yinzengguang    時(shí)間: 2013-1-17 21:16
matlab一下就求出來(lái)啦



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