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機械社區

標題: 證明0.9999999....=1 [打印本頁]
作者: 冷水黃金    時間: 2012-8-23 23:36
標題: 證明0.9999999....=1
[attach]258654[/attach]
作者: 林の屋    時間: 2012-8-24 00:07
精彩......!!!
作者: robaiming    時間: 2012-8-24 00:31
額。。。。。$ \: t  w  z3 v  g# S1 j  @
如果你去買菜，賣菜的都會怕你
作者: wawaadd    時間: 2012-8-24 03:27
只能說極限等于1吧，不知道乘法是否有從理論上嚴格地擴充定義到無限小數的情況，如果沒有，第一步到第二步就是不成立的
作者: xiaoshxin    時間: 2012-8-24 06:48
0.999999999=0.333333333+0.333333333+0.333333333* ?8 S2 |& l. @& g9 D; K+ k
0.999999999=1/3+1/3+1/3
; _, m' @: b& Q: r0.999999999=14 \; ^4 ^/ F5 N+ y, j
證明完畢
作者: 原諒我今天    時間: 2012-8-24 06:59
這個以前數學老師給我們講過，它確實就是相等的。要不然，誰能證明1比0.99999999...大？大多少？
作者: 無冕游俠    時間: 2012-8-24 08:28
等式之所以成立，錯在第四步
作者: waiwai0809    時間: 2012-8-24 08:51
有才& W# v( z* W: e
作者: 一碗湯wh    時間: 2012-8-24 09:02
10a=9+a，，，
作者: charles006    時間: 2012-8-24 09:05
第四步錯了：10a=9+a-0.000000000.....9
作者: 悠悠南山    時間: 2012-8-24 10:25
偷換概念，呵呵！
作者: 天天工作室    時間: 2012-8-24 10:25
樓主你真能忽悠啊。
作者: 旋子    時間: 2012-8-26 20:49
哈，有意思！！
作者: 木子亻    時間: 2012-8-27 09:27
差不多精神
作者: 風之舞-蛋炒飯    時間: 2012-8-27 09:43
天才
作者: 楊鋮皓    時間: 2012-8-27 09:49
誰讓這小數無限循環起來的呢？
作者: 楊鋮皓    時間: 2012-8-27 17:28
1/3是約等于0.333333333333.......吧？？？
作者: Twiney123    時間: 2012-8-28 23:01
   樓主精彩！
作者: william78    時間: 2012-8-30 16:58
10a＝9＋a，我愚笨，不明白
作者: Top璀璨    時間: 2012-9-2 17:48
太給力了，這算術
作者: liang271887922    時間: 2012-9-4 20:30
有意思，結論是正確的，但感覺證明過程不嚴謹，好像有問題，讓人不放心！
作者: 是成功    時間: 2012-9-5 14:23
等式成立，參見維基百科。+ @+ c& z* X+ i/ O; ^" E

/ R- y1 _0 H3 L2 x! bhttp://zh.wikipedia.org/wiki/0.999%E2%80%A61 r. n" \' g+ G$ T$ Y1 I, K
4 Y( R7 h1 I* t% R. |" |- `% D
3 d, b+ p6 n* t8 S( s7 y$ T' g' n
作者: zc812163754    時間: 2012-9-9 10:44
精彩~
作者: 雪豹LZW    時間: 2012-9-11 08:11
第四步的a和第一步的a數學意義是不一樣的。所以第四步的等式不成立
作者: 給我二兩面    時間: 2012-9-11 10:42
10乘以a的意思是，10從a的最后一位乘起，但我們找不到a的最后一位，所以等式是不成立的。所以，要用加法。五樓才是正解。
作者: 帥的離譜    時間: 2012-9-11 18:57
0.9999。。=0.111。。*9=1/9*9=1
作者: zhelongchen    時間: 2012-10-20 00:02
犀利！
作者: huhaofei    時間: 2012-10-20 09:14
這證明也成立？騙子橫行
作者: gushuaiqi17    時間: 2012-10-20 11:47
標題: 我也可以證明
如圖所示  a" [2 q' x$ w; ~( R" ^* N) M( N
作者: frazil    時間: 2012-10-22 11:27
可以看看北京大學一個博士論文，關于上帝的存在性的，主要從極限方面進行論述的，名字記不清了，看完之后你會覺得很有意思。
% P6 v3 h4 g, l; g7 ?在博士論文庫里面搜索上帝，應該可以找到。就是利用無限大圓和直線的關系來闡述的。
& P4 T, \; W, r& J( f/ a6 o
作者: 老四123    時間: 2012-11-10 15:52
小學時看過
作者: vooha    時間: 2012-11-10 16:24
第三到第四的時候，那個已經不是原來的那個了，雖然他很想那個，所以不能簡單的就出來第四步，要付出代價的
作者: vooha    時間: 2012-11-10 16:26
本帖最后由 vooha 于 2012-11-10 16:35 編輯
. E0 Q9 f) t# a$ f4 c7 Z  U+ T6 p' |  w& Z6 g8 B, r
第三到第四的時候，那個已經不是原來的那個了，雖然他很想那個，所以不能簡單的就出來第四步，要付出代價的5 [& \2 u/ a* S* w# d
+ u0 p9 m1 |. b' `, D
1和0.99999....如果相等的話，那么他們的差應該是0，但顯然他們的差肯定大于0,所以不相等4 _9 S) o& d+ h4 c+ J6 E0 ?
作者: 方圖    時間: 2012-11-16 21:31
咱們別整極限等數學概念吧， 應該還是有區別的吧，
! n. a' ?. \, Z* q# Y- C: }0.9999... 就像“發展中國家”， 像是個動態概念？
5 Y1 m3 k+ t( [) j1 就是發達國家了  
' E# d2 `, L3 C$ M
  ~7 T! \# s4 F# H古語云，失之毫厘，差之千里！  }  y( g  i' X+ Y
作者: 胡胡胡胡    時間: 2013-1-15 13:37
3*(1/3)haha
作者: kongping    時間: 2013-1-15 14:27
樓主的證明本身是正確的。0 O! k; D5 z$ K
0.9999999...是無限循環小數，這個無限循環小數就等于1。4 z  @; H# [( J, S: c9 J
只是一看到0.9999999...，就感覺這個數接近1但不等于1。這個感覺就不對。
5 G% ~/ q6 N) Z8 p+ k/ G3 T
作者: liang271887922    時間: 2013-1-16 19:43
本帖最后由 liang271887922 于 2013-1-16 19:48 編輯 / i  d- e' C5 n/ Q, u, {$ o
  \1 u0 U4 M. M) e+ [' k4 {% S
  好好研究一下再發表- d# s* r2 F+ _7 T
作者: 秋高麥子    時間: 2013-1-25 11:46
不讀大學真可怕，什么叫極限，什么叫無限接近，什么叫接近
作者: sunlight_1988    時間: 2013-1-25 12:04
哈哈！
作者: ★知足常樂★    時間: 2013-7-10 17:08
公說公有理婆說婆有理   這不是一般人討論的話題  弄點正事吧
作者: zxjcxx    時間: 2013-7-11 10:05
0.9999999是理性，只有人類具備這種能力；
! [* D  B+ p* i0 M7 @" E' \1是感性，動植物也可能具備這種能力。
+ h# \4 C% R$ n4 I, A$ x" x但人類很難將理性和感性和諧地統一為一體，這是人類痛苦的根源。
作者: zxjcxx    時間: 2013-7-11 10:07
理性，是在時間維度上的無限操作。
作者: Ghostbeing    時間: 2013-7-26 09:59
精彩你妹啊！
% Q+ _/ m3 C2 ~+ h+ M1 e% q樓主你把a帶進去的時候就默認0.9999999+一個無窮小量。。。。$ p7 Z( G  V- s1 o9 W5 ~+ y+ g, Z  T
你學的啥高數啊。。。。。
作者: landxie    時間: 2013-8-10 18:50
從實數的角度來看, 0.999999...=1, 實數可以從數列極限的角度來定義數； 但是爭執的點在于, 如果從有理數的角度來看, 我們該如何定義0.99999....., 因為有理數的定義是 a/b, a和b都是整數. 我所學的有理數概念并沒有整合無限這個概念. 所以這也是為什么有些人覺得0.9999...不等于1, 這個爭執在于定義
作者: 1032220424    時間: 2013-8-11 17:35
還真沒看出錯誤來
8 G0 E8 t/ O, L- s# g; _# k
作者: 狂飆的蝸牛Ky    時間: 2013-10-11 16:17
10a=9+a？ 這是什么推理？
作者: 旋子    時間: 2013-10-11 16:51
無限接近于1
作者: 茉莉素馨    時間: 2013-10-23 10:02
實數域對加法和乘法都是封閉的，這么做是沒有問題的" s4 T* ]* k( e# l& d% _1 f0 q0 b6 D
根據極限的定義，任意給定一個數ε>0，總是存在一個N，N=1/ε，$ T" O5 N/ P1 H/ {$ D  g
當有，n>N+1后，|1 - 0.999999...|<ε( l8 `& z3 E/ y. G0 c8 S, @  x
所以，0.9999... 的極限就是1
# l1 G8 B* N' {) j0 Y( D) l* ^數學分析里面寫的很清楚
作者: 阿俊-Hansen    時間: 2013-10-24 21:29
等式在第二部就不成立了
作者: wzdybyqhtt    時間: 2013-12-25 23:15
[b]1=1/3乘以3=0.3333333........乘以3 =0.999999.......
作者: 中等公差belee    時間: 2013-12-26 11:13
哈哈厲害
作者: crylament    時間: 2013-12-27 15:45
林の屋 發表于 2012-8-24 00:07 9 @1 R" U# O5 @: b4 L
精彩......!!!

' o1 R# P5 D8 ^; U* X0 X精彩個P，它論證的有問題，上面a=0.9999。。。
, Y/ W. g9 v; ?1 @  \- S' D下面a=1，什么東西啊。。。。。。。。。。。。。。。拍馬屁。. x4 O; d2 m( f6 w' d  w3 @: |4 C; a

. T6 W0 d, U. @) m0 w1/3=0.3333333333。。。。。。1 r* \; {( V0 x0 W* M3 W. K4 ^
3*1/3=0.3333333。。。。。*3=0.9999999999。。。。。
% a% b* R% q" t6 W* s" e, U' e( c3*1/3=1/3+1/3+1/3=1
4 T% {+ A* p( q1 n1 W8 ]9 `5 [0.999999。。。=1
1 y6 p( o! i8 y) T8 Q, R/ M1 [
作者: crazypeanut    時間: 2013-12-27 17:01
這個問題，回過頭來再看，應該這么解決
; f+ T' q. D9 c2 `- M0 F' u$ E7 f. i: R( N1 R3 \
0.9999.......在平時我們常用的微積分中（稱為標準分析，建立在實數集基礎上），是一個柯西序列，他是收斂到1的，所以可以認為0.9999......=1
/ }, B$ Q- m- m" g+ C% l  i" X! P* w( \1 Y( B0 }
但是，還有種非標準分析，他是建立在擴充的實數集上的，所謂擴充實數集，就是把無窮大，無窮小，也作為一個實數，加入到標準的實數集中。這種情況下，0.9999......無法收斂到1，他和1差一個無窮小
" ^+ X3 `  R% H2 G) ]2 `+ z. ^* N$ V+ ^" {/ p) T9 Z0 Y
所以，現代數學就是這樣，一個命題成立不成立，你得看他在哪個框架下，很多命題，在一個框架下是成立的，在另一個框架下就不成立了。比如1+1=3，在勒貝格測度下，是錯誤的（平時我們做的加法，乘法，就是在勒貝格測度下），想使1+1=3成立，而且不引起邏輯錯誤和矛盾，你只要自行定義新的測度即可。
作者: qq5655980    時間: 2013-12-27 20:02
提示: 作者被禁止或刪除 內容自動屏蔽
作者: suyingyyy    時間: 2014-1-14 00:23
第三部就錯了   10*a  最末尾怎么也是0   和10+a差那么一點點
作者: 軒轅相濡    時間: 2014-2-12 20:42
第一步到第二部 你確定可以乘？
作者: 軒轅相濡    時間: 2014-2-12 20:43
1/3+2/3=1
作者: 胡工hugong    時間: 2014-3-5 16:06
牛啊9 Q: D2 Q! U- W+ j* r
作者: 世界第一等の    時間: 2014-3-12 14:56
0.11111...=1/9; ?2 |2 q: n) _" {0 b
0.22222...=2/9
. K/ |  A3 |- v0.33333...=3/9) N4 S" m/ H5 B# @& w$ p
.
$ ?- o9 J. r$ Y; `3 O. c8 R.
& P- T6 x. h3 w0 d3 ~! C7 {.0 g; J0 v' j. N
0.99999...=9/9=1
作者: xi315    時間: 2014-3-13 10:27
我覺得第二個等號就已經有問題了，一個無窮的數 x 10是沒法運算的，不是簡單的移個小數點就算乘以10了。
作者: 千門萬戶    時間: 2014-4-26 00:39
0.9999....=0.3333....*3=(1\3)*3=1
作者: qzeng52    時間: 2014-4-27 18:40
第二步絕對有問題
作者: fuhuafeng72    時間: 2014-4-28 21:58
有意思
作者: 陸qq1    時間: 2014-5-15 08:17
混淆公式啊，這是
作者: panycbob    時間: 2014-5-16 09:00
提示: 作者被禁止或刪除 內容自動屏蔽
作者: syxgale    時間: 2014-5-16 09:24
我也覺得證明過程有點問題，無限循環參與計算不能不考慮誤差啊
作者: 麻神machine    時間: 2014-5-17 19:42
極限的情況這種算法不成立的
作者: 光111光    時間: 2014-5-21 14:07
數學知識還給老師了，給個準確的答案吧
作者: huangzhenbao    時間: 2015-2-4 15:15
等式之所以成立，錯在第四步
5 {/ u; p/ I5 ?/ b
作者: 袁光金    時間: 2015-2-5 09:29
9a=9是怎么做到的。前面一直用a做加法，后面直接就9a做乘法合適嗎？
作者: wq27265390    時間: 2015-2-6 14:27
好強大
作者: Pascal    時間: 2015-2-6 15:25
袁光金 發表于 2015-2-5 09:29 , Y8 E& _& V7 H
9a=9是怎么做到的。前面一直用a做加法，后面直接就9a做乘法合適嗎？

( i8 o8 K$ [( M  m% G1 L) S. m可參考下這個帖子
' Z- F9 w3 x' i4 ~4 \0 j6 n4 }3 Shttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=360758&extra=&page=1
作者: 刀切面    時間: 2015-2-9 06:42
標題: RE: 證明0.9999999....=1
xiaoshxin 發表于 2012-8-24 06:48
$ J( n9 b; Y3 r: o3 z0.999999999=0.333333333+0.333333333+0.333333333% [, z* u6 e' ?' k
0.999999999=1/3+1/3+1/3
) h0 W" D7 W+ ~9 p) ]# S0.999999999=1
8 r: r0 l* H8 L+ t3 Y, [. ^2 P1 O
好神奇
作者: dxx347    時間: 2015-2-9 11:32
0.99999......=3*0.3333333.....=3*（1/3）=1
作者: 陳小困    時間: 2015-5-22 16:40
逗  
作者: 颶天使    時間: 2015-12-29 16:19
一種混淆概念的方法
作者: cosxuan    時間: 2015-12-29 16:51
這個極限可以寫成1-1/（10^n）
作者: boa65432    時間: 2015-12-29 19:58
10a no 等于 9+a
作者: ustb_anays    時間: 2015-12-31 20:58
根本不用證明 我說兩者相等 有誰不服 可以給我找出介于1和0.9999...之間的數 哈哈  找不到吧
作者: cuiwu    時間: 2018-12-12 14:43
無冕游俠 發表于 2012-8-24 08:28
! y/ k7 ?0 z* {等式之所以成立，錯在第四步
0 C9 J6 ^8 s  }- Z6 `% y) {
同意
- C( a! K! m. H; R' t7 |
# Q: r+ L, w2 X: A
作者: move3309    時間: 2021-5-20 16:38
第四步不對，所以推導不成立
作者: Kai_CC    時間: 2021-5-21 02:08
啊。。。這個都成月經問題了，各個論壇上都會吵一遍/幾遍。。我也吵過幾次，淡定了一些，既然壇子里的兄弟們感興趣我也就說說我的看法。
  m" b' A# Y8 v1 Z6 A$ S6 M有人說這個題是能看出人學沒學過高數的分水嶺，其實不然。這其實只關于對于極限思想的理解而已。。9 l5 k! D2 y- D; N; n7 p

) ?, J% B- `$ p( h其實0.999...999是嚴格=1的。  D- T2 N" z" g! m8 N* P
: R. i  z& G$ ?; `( W0 r
一個簡單的證明：" \" ]1 d$ }+ P2 }' L7 X- |* Z

8 S8 _8 u, }5 e& E/ r【定理】在任意兩個不同的有理數之間必定存在著無窮多個有理數。) A/ d2 w) u( a" F) k* x$ e) L- T

$ A8 y) N7 J# S& l" U2 g5 n9 A3 \先證定理：a和b兩有理數，如果a!=b,那么一定存在n個c,c=m*(b-a)/n+a, m定義域（0，n)
2 J& d0 @, z. X. l7 l* X# H3 A1 q( m0 ^
顯而易見吧？意思就是它們之間的小區間可以無限再分，從而構成無窮多新的有理數。) x1 a& \( w  ^: D$ N) _
: `! j. n+ X2 R% [; G+ Z2 y' L
回到題目：0.999...999和1是不是不同？! }/ f1 S, r* i, d2 I5 C, G

6 C2 U$ b7 e9 n$ z; h' O) j  \反證法，假設不同： 那么一定存在a,使a=（1+0.999...999）/2
7 l0 n' o& r7 D: t! q8 D9 D. j7 u- N1 u& \$ c
這個數是什么呢？那一定是有一個小數，比0.999...999擁有更多的9. 那是不是表示，這個新的數就應該是你之前的那個數？2 J" h  ?( ~7 i8 s

& L  X; f' d) L$ b* C% V2 i; p所以說明了什么？要么存在一個新數取代了原來的數，要么兩數相等。如果新數取代了原來的數，證明你的9還不夠多。
: v% f$ G$ H# J
1 m& q4 h$ d- T6 z# @" p) t) k' Z所以，0.999...999和1只能相等，證畢
, O5 {" {6 D5 P+ Z; q; D( Q, b
- N9 `9 s* k- q  X3 O" ]
  a* w! _& v* A4 ^9 c1 G更簡單的證明方式也有, 壇子里不少大俠也說過了：' w- @% ?9 i; k9 e7 F( i9 K
1/3=0.33..33， 這個居然還有人質疑？小數（或者說根本不存在小數）和分數是一一對應的，或者說根本就是相等的，這個也不需要質疑的好吧？后面就不證了，有想杠一下的再說。3 w6 [9 d! q- e5 N; k2 q: H" p

7 b5 W4 P( ?; P+ Q- k: K再細說一下第三種。
, t( [4 F5 A8 }7 {9 {+ W6 j* z0.999...999*10=9.999...999
8 {; k1 S5 J7 ]. Y+ P. t這個式子成不成立？顯然成立。但是是不是有一種右邊小數點少一個9的感覺？為什么？; x) E; l. H& T
伽利略悖論有一句話：正偶數和自然數一樣多。
0 B2 g0 a9 g  ~4 {$ C4 N6 [解讀過來，在無窮的層面上，每一個自然數都和他的2倍一一對應，有n個自然數，就有n個正偶數。1 ?+ R$ _# ~6 e( R! |4 }. J
（多提一句：上例可以一一對應，但涉及無理數和實數則不行，實數對于有理數屬于高階包含，不存在映射關系了）) Y( h7 q" q. J5 J/ `" |/ A
同理，每一個左邊的9，都與右邊的等位的9(其實是前一個)一一對應，相當于編程里的n=n+1,沒問題吧？
, d& B* T, Y1 B* G$ _+ B( @. ]因為是循環小數，數位后是n位，在無限的概念下，n和n+1沒有區別。這一點可能不太好理解，但如果你理解了上面的伽利略悖論，就很好懂了。
9 f% a  S) z3 p9 i2 U4 {8 Z& s5 y- ^+ R
另外說什么無限小數不能計算的，純屬扯淡。無限小數是位數不限，不是大小不限。再無限的小數，他的值也是有限的，不能混淆他和無窮大之間的區別。
9 N+ Z$ u( k/ m, ?1 d3 Z8 {2 l% H1 g* _3 ^" S! C$ q& D
大家都是工程師，感覺理解能力和接受能力應該高于各門戶網站的網友群體吧。有問題或者不同意見，歡迎交流。& o. H9 l1 V+ j& z4 a& }
作者: 新手駕駛    時間: 2021-5-21 19:15
c=0.999...
2 P$ d3 R& ]3 x10c=9.999...
" y$ r; s( E4 d+ }10c-c=9.999...-0.999...
& I9 n. x$ _2 r; o& S% a9c=9) }/ q3 I$ N6 b1 e7 d
c=1
4 Q$ P1 s0 R" X* J% j' B
4 C2 X1 l5 \% M9 a
作者: 喝酒不吃肉    時間: 2021-5-22 14:42
第四步代換不對，不滿足一元一次不等式要求，等號左右未知數必須同時替換
作者: majingfeng    時間: 2021-5-23 08:37
吃飽撐的 不務正業的東西
作者: m2006410    時間: 2021-5-24 06:04
本帖最后由 m2006410 于 2021-5-24 10:39 編輯 * ~8 ]# j  {% {6 Y" ^% a

. W6 g6 D+ [" r. ?6 ^. W這個厲害了
作者: 指天為地    時間: 2021-5-24 08:48
雖然你證明了0.999999....=1，但是P夕夕還是不會給你體現的！
+ T0 H# P  m" j2 H
作者: m2006410    時間: 2021-5-24 09:51
本帖最后由 m2006410 于 2021-5-24 10:38 編輯 4 \2 O  m+ F4 h
2 K2 C" S7 X6 d) s$ \/ r8 f" V
這個厲害的
作者: 陳浩南98    時間: 2021-5-24 11:24
微乎其微，忽略
作者: 未來第一站    時間: 2021-5-24 23:33
作者: 鳳笙龍笛    時間: 2021-5-25 06:46
搞機械的都成數學家了
作者: 總點外賣先生    時間: 2021-5-25 11:46
優秀
作者: 一尾錦鯉    時間: 2021-5-25 14:34
請先證明9a＝9
作者: babty    時間: 2021-5-26 08:43
wawaadd 發表于 2012-8-24 03:27# J/ D/ E& J4 N
只能說極限等于1吧，不知道乘法是否有從理論上嚴格地擴充定義到無限小數的情況，如果沒有，第一步到第二步 ...

8 a! x" \1 |' k+1) b7 M- R+ n3 V) ~
作者: oceantomas    時間: 2021-5-27 10:37
不知道對不對，畢竟曾經學的是數學分析
作者: jxzdh1002    時間: 2022-11-16 10:22
讓我想起了宋小寶的小品，吃完湯面不給錢。因為湯面是用炒面換的  }# \6 }+ k  c7 v
作者: 老魚DH    時間: 2022-11-19 17:59
咕咕咕，要有光
作者: 平凡yjr    時間: 2022-12-6 07:56
xiaoshxin 發表于 2012-8-24 06:48
& _4 W) A. C" ^6 W% d+ ]0.999999999=0.333333333+0.333333333+0.3333333333 i, ?0 `* y9 m5 E0 j
0.999999999=1/3+1/3+1/3: E/ a! h( h2 j5 l# ]
0.999999999=1

' t  l6 p/ Z/ p! x+ _$ \* u" s4 h! w9 z0 F# v
作者: 藏鋒聚氣    時間: 2022-12-19 11:19
1:我怎么少了一點？我想想，少了哪一點？. w( @' O& j: n! e
嗯！少了一點腦子
作者: 武漢老虎    時間: 2022-12-20 09:27
模糊的人可以



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