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機械社區

標題: 已知面角，如何求歐拉角，機器人坐標變換怎么求？ [打印本頁]

作者: 水水5 時間: 2025-7-26 18:44
標題: 已知面角，如何求歐拉角，機器人坐標變換怎么求？
問題的來源是這樣的：

有一個項目，機器人末端的手爪，因為種種情況，設計了一個傾斜的吸盤。需要在3D視覺的引導下，去吸取一個傾斜的物體。
機器人編程工程師嫌手工做工具坐標系比較費時費力，問我能否通過三維軟件，求得坐標變換的數值，直接填入機器人系統中的工具坐標系的標定參數中。
我感覺應該挺簡單的呀，于是就在三維模型中（我是用solidworks進行的建模）建立了兩個坐標系，一個是安裝法蘭的坐標系，一個是吸盤面的坐標系。
然后測量了兩個坐標系的位移，和角度，然后給了機器人編程工程師

結果發現不對（測試方法：走軸坐標ABC，并不能繞坐標系原點旋轉，證明坐標系不對）

兩個坐標系的位移很好測量。兩個坐標系的角度，我是這樣測量的，我的solidworks版本低，沒法直接給出數，于是我建了三個面，例如要測量Z軸之間的角度，我就測量了兩個XY平面的角度。

于是我將這個問題抽象出來了，花了大量的時間研究面角，歐拉角，也沒研究明白。發現這個歐拉角，這個三個軸的旋轉順序還有要求，有ZYZ，有XYZ，可能各個品牌的機器人還不一樣。

我抽象了模型，問了AI，竟然說我這樣的坐標系不存在？

下面是我抽象出來的數學模型：兩個坐標系的三個面之間的角度都是30度，坐標系原點重合，求坐標變換歐拉角。

有沒有高手給解答一下。

以下截圖是這個兩個坐標系的空間位置
[attach]577212[/attach]
[attach]577213[/attach]
[attach]577214[/attach]
[attach]577215[/attach]

作者: 學者11 時間: 2025-7-26 19:12
機械手變換坐標系要是這么容易，那何來機械臂動力學和D-H建模法呢。
先了解點基本常識吧，https://zhuanlan.zhihu.com/p/692369673

作者: ckc521 時間: 2025-7-26 20:52
樓上正解；五軸機床轉換你懂不？你可以把機器人看成一個五軸機床，用DH法建模來求解旋轉角度，從機械手末端到基座，或者從基座到機械手末端，都可以推導出來。

作者: ckc521 時間: 2025-7-26 20:53
還有別問國內的AI，國內的AI，連歐拉角動態旋轉和靜態旋轉的等效性都不會給你正確的推導出來。

作者: 夢里啥都有 時間: 2025-7-26 21:40
不懂,但是AI只能夠搜資料,有時候給不了出處的還不能夠信.
何況復雜的建模肯定少不了計算的優化.
矩陣肯定少不了需要高效的算法.
我只會簡單的x^x+y^2=1
x=cos(theta)，y=sin(thea)
這些東西肯定少不了各種知識.
與其糾結,不如先把路走遠,再走深.

作者: cc851 時間: 2025-7-27 07:22
機械工程師解決不了現場調試的痛，模型上永遠都是理論的，何況這么多零件組裝在一起的累積誤差，對于相機和機械手的計算補償來說都是災難。最近幾年一直做復合機器人的項目，一直頭痛精度問題，都和這些有關系。

作者: 冷月梧桐 時間: 2025-7-27 14:23
直接把機械手模型和治具導入SW/各類機械手軟件，模擬點位，然后出各個軸的角度數據就好了

作者: DaedraMech 時間: 2025-7-28 11:56
本帖最后由 DaedraMech 于 2025-7-28 12:32 編輯

不知道我有沒有正確理解樓主的意思，我先談談自己對坐標變換的理解：
坐標變換矩陣既是變換參數（轉角、位移），又是變換后坐標系的基底在原坐標系上的坐標組合。

樓主在SW中使用的方法是控制三個正交平面和原平面各成30°，我個人更喜歡直接建立坐標系，由于x軸是YZ面法向量/y軸是XZ面法向量/z軸是XY面法向量，所以我約束3個新坐標軸和原坐標軸各成30°達到效果和樓主應該是一樣的。三個基底（[ix iy iz]，[jx jy jz]，[kx ky kz]）有9個未知坐標值，有【3個基底長度為1】、【新基底和原坐標軸各成30°】、【基底之間互成90°】這9個約束一定能在SW中畫出3個代表基底的線段，由此即可建立新坐標系，測量線段端點的坐標值即可獲得變換矩陣。
[attach]577235[/attach]
[attach]577228[/attach]
我們來測試一下，我們假設工具坐標系上有一點[0.5 0.6 0.7]'，我們想知道該點在法蘭坐標系上的坐標值，那就可以用變換矩陣左乘這個向量：
[attach]577230[/attach]
把獲得向量的坐標值輸入SW，測量下它在工具坐標系下的坐標，果然還是[0.5 0.6 0.7]'，變換矩陣是正確的：
[attach]577234[/attach]
[attach]577233[/attach]
如果坐標系還有位移，可以使用齊次變換矩陣進行變換：
[attach]577228[/attach][attach]577231[/attach]
上面的演示中，樓主可以看到，矩陣里的坐標值就是特定角度的正弦/余弦值，所以歐拉角可以從這些角度中拆解出來，也就是總變換矩陣可以拆解成一系列單軸角度變換矩陣連續左乘，由此可以表示出坐標系繞各軸旋轉的角度和先后順序，這也就是樓主說的“面角轉換為歐拉角”，過程較為麻煩，我個人不推薦這種方式。

作者: DaedraMech 時間: 2025-7-28 14:23
本帖最后由 DaedraMech 于 2025-7-28 15:41 編輯

DaedraMech 發表于 2025-7-28 11:56, ~! M* H/ \3 H1 Z5 b0 a
不知道我有沒有正確理解樓主的意思，我先談談自己對坐標變換的理解：% G% K% y" F% `6 W9 G/ Y' K
坐標變換矩陣既是變換參數（轉角、位 ...

一般對算法這邊來說最直接的就是拿到變換矩陣了，不知道為什么還要舍近求遠獲得歐拉角，不過樓主需要的話可以按照下圖解方程，獲得各軸轉角和順序。另外，方程是多解的，比如【先繞z軸逆時針旋轉17.927°，再繞y軸順時針旋轉24.465°，再繞x軸順時針旋轉17.927°】就是其中一個解：

[attach]577238[/attach]

作者: sen1234 時間: 2025-7-28 18:11
線性代數嗎，都忘得差不多了

作者: 水水5 時間: 2025-7-29 19:18

DaedraMech 發表于 2025-7-28 14:23/ i( U2 I6 b! w, D, B
一般對算法這邊來說最直接的就是拿到變換矩陣了，不知道為什么還要舍近求遠獲得歐拉角，不過樓主需要的話 ...

感謝層主，膜拜

我一定把它付諸實踐

我又搜索了一些其他的方法，再次請樓主給于指導。一些方法貼入后面的回復。

作者: 水水5 時間: 2025-7-29 19:20

方法一本文轉載自簡書，作者是梁間。表示感謝: J# d5 Y" E& g2 e, P! o/ `$ S
數學模型已知兩個坐標系在各方向上尺度縮放比例一致，兩個坐標系的轉換關系可以用7個參數來表示，3個旋轉參數，3個平移參數，1個比例參數。已知三點在A、B兩個坐標系中的坐標，那么這7個參數可以唯一確定。
坐標轉換的數學模型為：
$\begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}_A = λ \left( \begin{bmatrix} ΔX \\ ΔY \\ ΔZ \end{bmatrix} + R\begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}_B \right) ...(1)$
其中，λ是比例參數，R是旋轉矩陣，Δ是平移向量，A、B分別是兩個坐標系中的坐標。
比例參數λ最容易計算
$λ = \frac{|P_1P_2|_A}{|P_1P_2|_B} = \frac{|P_2P_3|_A}{|P_2P_3|_B} = \frac{|P_3P_1|_A}{|P_3P_1|_B}$
其中

為

兩點在A坐標系中的距離。
旋轉矩陣R是一個3x3的正交矩陣，有3個自由度。可利用反對稱矩陣S來構造旋轉矩陣R：
$S= \begin{bmatrix} 0&-c&-b \\ c&0&-a \\ b&a&0 \end{bmatrix}$
那么
$R=\frac{I+S}{I−S} ...(2)$
其中I是單位矩陣，這里R只有a、b、c三個變量，解出a、b、c即可確定旋轉矩陣R。
把

兩點帶入(1)式并相減消去ΔX、ΔY、ΔZ
$\begin{bmatrix} P_{1AX}-P_{2AX} \\ P_{1AY}-P_{2AY} \\P_{1AZ}-P_{2AZ} \end{bmatrix} = λR\begin{bmatrix} P_{1BX}-P_{2BX} \\ P_{1BY}-P_{2BY} \\P_{1BZ}-P_{2BZ} \end{bmatrix} ...(3)$
這里 $P_{1AX}$ 為

點在A坐標系X軸向坐標值，為已知量。我們簡化一下寫法設定：
$X_{A12} = P_{1AX}-P_{2AX}$
這樣(3)式可寫為
$\begin{bmatrix} X_{A12}\\ Y_{A12} \\ Z_{A12} \end{bmatrix} = λR\begin{bmatrix} X_{B12}\\ Y_{B12} \\ Z_{B12} \end{bmatrix} ...(4)$
把(2)式帶入(4)
$(I-S)\begin{bmatrix} X_{A12}\\ Y_{A12} \\ Z_{A12} \end{bmatrix} = λ(I+S)\begin{bmatrix} X_{B12}\\ Y_{B12} \\ Z_{B12} \end{bmatrix}$
帶入S
$\begin{bmatrix} 1&c&b \\ -c&1&a \\ -b&-a&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} X_{A12}\\ Y_{A12} \\ Z_{A12} \end{bmatrix} = λ\begin{bmatrix} 1&-c&-b \\ c&1&-a \\ b&a&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X_{B12}\\ Y_{B12} \\ Z_{B12} \end{bmatrix}$
展開
$\begin{bmatrix} X_{A12}+cY_{A12}+bZ_{A12} \\ -cX_{A12}+Y_{A12}+aZ_{A12} \\ -bX_{A12}-aY_{A12}+Z_{A12}\end{bmatrix} = λ\begin{bmatrix} X_{B12}-cY_{B12}-bZ_{B12}\\ cX_{B12}+Y_{B12}-aZ_{B12} \\ bX_{B12}+aY_{B12}+Z_{B12} \end{bmatrix}$
整理可得
$\begin{bmatrix} X_{A12} -λX_{B12} \\ Y_{A12} - λY_{B12} \\ Z_{A12} - λ Z_{B12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-c(λY_{B12}+Y_{A12})-bλ(Z_{B12}+bZ_{A12})\\ c(λX_{B12}+X_{A12})-a(λZ_{B12} +Z_{A12} )\\ b(λX_{B12}+X_{A12})+a(λY_{B12}+Y_{A12} )\end{bmatrix}...(5)$
(5)式只有兩個獨立方程，解不出a、b、c三個未知量。帶入

點得到和(5)式類似的方程組，兩個方程組聯立，取3個獨立方程
$\begin{bmatrix} X_{A12} -λX_{B12} \\ Y_{A12} - λY_{B12} \\ Z_{A13} - λ Z_{B13} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -b( λZ_{B12}+Z_{A12}) -c(λY_{B12}+Y_{A12}) \\ -a(λZ_{B12} +Z_{A12} )+c(λX_{B12}+X_{A12})\\ a(λY_{B13}+Y_{A13} )+b(λX_{B13 }+X_{A13})\end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 0 & -b(λZ_{B12}+Z_{A12}) &-c(λY_{B12}+Y_{A12}) \\ -a(λZ_{B12} +Z_{A12} )& 0 & c(λX_{B12}+X_{A12})\\ a(λY_{B13}+Y_{A13} )&b(λX_{B13 }+X_{A13})&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b \\c \end{bmatrix}$
可結出
$\begin{bmatrix} a\\ b \\c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -(λZ_{B12}+Z_{A12}) &-(λY_{B12}+Y_{A12}) \\ -(λZ_{B12} +Z_{A12} )& 0 & (λX_{B12}+X_{A12})\\ (λY_{B13}+Y_{A13} )&(λX_{B13 }+X_{A13})&0\end{bmatrix} ^{-1 }\begin{bmatrix} X_{A12} -λX_{B12} \\ Y_{A12} - λY_{B12} \\ Z_{A13} - λ Z_{B13} \end{bmatrix}$
把a、b、c帶入(2)式可到旋轉矩陣R，把任意一點坐標帶入(1)式可得Δ。

作者：梁間
鏈接：https://www.jianshu.com/p/58cf5655f9a9
來源：簡書
著作權歸作者所有。商業轉載請聯系作者獲得授權，非商業轉載請注明出處。

作者: 水水5 時間: 2025-7-29 19:23

方法二，這里提到了SVD算法

通過實際的坐標點例子，來直觀解釋通過SVD求對應的坐標系關系。

已知四個點在坐標系A中的坐標為：

（0， 0， 0）; （1，0，0）; （1，1，0）; （0，1，0）

可得矩陣A為

矩陣A

這四個點在坐標系B中的坐標為：

（2，2， 2）; （3，2，2）; （3，3，2）; （2，3，2）

可得矩陣B為

矩陣B步驟一：求兩個數據集的質心

根據上述公式，可得質心為

步驟二：將兩個數據集的質心移動至同一個點，即只存在于一個旋轉的轉換關系。

對應坐標系中的點同時減去質心，計算后的矩陣A和B分別為

計算后的矩陣A

計算后的矩陣B

備注：此處的矩陣A和矩陣B一樣，因為舉得例子較為特殊，只存在平移關系。計算過程通用。

步驟三：通過SVD算法計算旋轉和平移關系。

定義一個3X3的矩陣，將矩陣A的每一行數據與矩陣B進行點乘，會產生四組3X3的矩陣，將這四組數據求和，得到最終的3X3的矩陣，就是我們需要用SVD算法來進行奇異值分解的矩陣H。

上述公式中，顏色相同的框內數據進行點乘，構成3X3的矩陣a1,a2,a3,a4。

矩陣H = a1 + a2 + a3 + a4。計算結果如下

通過SVD算法分解該矩陣，這里直接通過MATLAB接口調用，具體原理在前面的章節中已描述。

步驟四：計算旋轉和平移關系

根據上述求出的u1和v1，可求得旋轉矩陣R為

將該旋轉矩陣轉為歐拉角則Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0。

根據公式

得平移矩陣為

總結：如果在實際項目中，需要獲取多臺設備間的關系，如機器人相對于產品間的關系，或者機床相對于產品的關系，則該方法較為實用。注意：在實際的選擇參考點時，不要在一條線上選點。如上述選的四個點，要求不能共線。要不然會減少有效數據。

作者: DaedraMech 時間: 2025-7-29 20:37
本帖最后由 DaedraMech 于 2025-7-29 20:42 編輯

沒想到水水大俠對此問題如此孜孜以求，鉆研精神和信息獲取能力令小弟佩服，我比較功利，方法能解決問題就行。

我把之前回復中的齊次變換矩陣改一下符號，樓主可以對比下和文章中的表達方式是不是一回事：
[attach]577263[/attach]
[attach]577264[/attach]
平移、旋轉、縮放這類坐標變換我們統稱為線性變換。平移和縮放非常簡單，沒什么好說的，重點就是如何求得旋轉矩陣R，上述兩種方法就是通過純代數的方法求解R。
你用什么方法和選擇的工具有關，上述兩種方法多用在圖像處理和機器學習中，算法工程師手里的工具是集成編程環境，是代碼，采用代數方法自然是比較直接的。但要知道矩陣可是聯系代數和幾何的橋梁啊，而我們則掌握了強大的幾何工具SW，利用【旋轉矩陣可以表示坐標系】這一幾何意義我們可以直接得到R，完全不需要上面繁瑣的運算。

作者: 水水5 時間: 2025-8-3 20:15
本帖最后由水水5 于 2025-8-3 20:21 編輯

DaedraMech 發表于 2025-7-29 20:37+ V8 h4 X, ?; C j+ [/ d# x
沒想到水水大俠對此問題如此孜孜以求，鉆研精神和信息獲取能力令小弟佩服，我比較功利，方法能解決問題就行 ...

感謝大俠的持續教誨。大俠如果有，從變換矩陣導出歐拉角，的計算公式，恭請再給明示下。

經過又一個周末的摸索和學習，我已經學到了旋轉矩陣的測量方法，并且通過計算一個點的坐標在兩個坐標系中的坐標值進行了驗證。

這是第一步，下一步是求歐拉角。

我最終的目的是：
“在機器人示教工具坐標系的時候，不需要再繁瑣的用6點法搞一個小時示教，而是我作為機械工程師，可以直接從三維中計算出，通過計算，直接可以提供XYZABC的數值”

但是這里面有個難題，我不知道機器人工具坐標系參數他是采用的哪種形式的歐拉角
下圖是我的作業
[attach]577369[/attach]

作者: DaedraMech 時間: 2025-8-6 20:03
本帖最后由 DaedraMech 于 2025-8-6 20:06 編輯

歐拉角其實也不難求出，就是麻煩點。

假設你手上的示教器里面歐拉角就是按照常規的Roll-Pitch-Yaw順序（ZYX順序）定義的，那我們不妨把單獨繞Z、Y、X軸的旋轉矩陣從左到右依次乘起來，看看最終的旋轉矩陣里各個元素的表達式都是啥。
[attach]577485[/attach]
從上面的結果可以看出，通過對矩陣中特定元素之間的運算，我們是能夠分離出繞特定坐標軸的轉角的，即：
[attach]577489[/attach]
如果不知道示教器中歐拉角是如何定義的（并且上述順序錯誤的話），就需要再交換單軸旋轉矩陣的乘法順序，獲得新的表達式再次實驗。（也可以直接在示教器上輸入角度看機械臂到底先繞哪個軸旋轉）

另外可以想象到，空間中一定存在某個軸，能夠讓坐標系一步到位，直接一次旋轉到最終位置，而這就要用到四元數。所以如果示教器還支持四元數輸入的話，也可以將旋轉矩陣轉化為四元數：
[attach]577490[/attach]
四元數中xyz表示了轉軸的方向，w表示了繞這個軸的轉角，其值為轉角的半角余弦值。

[attach]577491[/attach]

作者: 水水5 時間: 2025-8-9 08:15
本帖最后由水水5 于 2025-8-9 08:23 編輯

DaedraMech 發表于 2025-8-6 20:03
/ V: z! k- [. G& l1 L歐拉角其實也不難求出，就是麻煩點。7 r& @9 a4 o5 w
2 o; \+ O( _! a/ l4 R
假設你手上的示教器里面歐拉角就是按照常規的Roll-Pitch-Yaw順序（ZY ...

感謝大俠的熱情回復。匯報下進展：

首先證明了旋轉矩陣是對的，第一步已經完成，
第二步，我找了那些計算歐拉角和四元數的公式，公式應該是沒錯的。雖然歐拉角的解不唯一，但是四元數是唯一解。經過比對，還是和示教器中的數值有一定的差距。
[attach]577592[/attach]
經過分析，機械安裝有一定的誤差，手爪又這么長。所以至少證明了理論計算是正確的。但是實際應用，還是要修正。免不了還是要示教一下。
第三步，通過咨詢得到歐拉角的旋轉方式。還未進一步計算，等下次有機會了再實驗。
[attach]577593[/attach]
這是FANUC對坐標系歐拉角的描述，市面上絕大多數機器人，都是遵循固定坐標系XYZ這樣的一個旋轉順序。

上士聞道，勤而行之；中士聞道；若存若亡；下士聞道，大笑之。不笑不足以為道。
感謝各位的技術支持，感謝論壇。

作者: 水水5 時間: 2025-8-9 08:38

DaedraMech 發表于 2025-8-6 20:038 c. t( P: _! ~$ U0 H6 [
歐拉角其實也不難求出，就是麻煩點。 @0 r7 m9 H1 Q+ ~
# q. Q( \: F7 B
假設你手上的示教器里面歐拉角就是按照常規的Roll-Pitch-Yaw順序（ZY ...

大俠有沒有 mathcad 教程源文件？

您給出的公式的求解，還是有點一知半解。數學沒學好，尷尬

作者: ckc521 時間: 2025-8-12 22:39
歐拉角旋轉很簡單的,不管是什么順規的旋轉,都可以用基本旋轉矩陣推導出來,但是歐拉角的萬向鎖問題很煩人,雖然有算法可以解決.

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